MP Board 9th relation between zeroes and coefficients of a polynomial किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध

•    

  घटाने पर शेष:

• *** QuickLaTeX cannot compile formula:
  \frac{x}{x} = 1<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
  \[1(x - 2) = x - 2$घटाने पर शेष: $0$</li>
  <!-- /wp:list-item --></ul>
  <!-- /wp:list --></li>
  <!-- /wp:list-item --></ol>
  <!-- /wp:list -->
  <!-- wp:paragraph -->
  जो भागफल आया है वही $g(x)$ है।
  <!-- /wp:paragraph -->
  <!-- wp:paragraph -->
  उत्तर:
  <!-- /wp:paragraph -->
  <!-- wp:paragraph -->
  $g(x) = x^2 - x + 1$
  <!-- /wp:paragraph -->
  <!-- wp:separator -->
  <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
  <!-- /wp:separator -->
  <!-- wp:heading {"level":3} -->
  <h3 class="wp-block-heading">5. बहुपदों $p(x)$, $g(x)$, $q(x)$ और $r(x)$ के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा:</h3>
  <!-- /wp:heading -->
  <!-- wp:paragraph -->
  <em>(नोट: इस प्रश्न के कई सही उत्तर हो सकते हैं।)</em>
  <!-- /wp:paragraph -->
  <!-- wp:heading {"level":4} -->
  <h4 class="wp-block-heading">(i) घात $p(x)$ = घात $q(x)$</h4>
  <!-- /wp:heading -->
  <!-- wp:paragraph -->
  <strong>शर्त:</strong> यह तभी संभव है जब <strong>भाजक $g(x)$ की घात $0$ हो</strong> (अर्थात् $g(x)$ एक अचर संख्या हो)।
  <!-- /wp:paragraph -->
  <!-- wp:list -->
  <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
  <li>मान लीजिए $p(x) = 5x^2 + 10x + 15$</li>
  <!-- /wp:list-item -->
  <!-- wp:list-item -->
  <li>मान लीजिए $g(x) = 5$</li>
  <!-- /wp:list-item -->
  <!-- wp:list-item -->
  <li>भाग देने पर, $q(x) = x^2 + 2x + 3$</li>
  <!-- /wp:list-item -->
  <!-- wp:list-item -->
  <li>और $r(x) = 0$</li>
  <!-- /wp:list-item -->
  <!-- wp:list-item -->
  <li><strong>जाँच:</strong> घात $p(x) = 2$ और घात $q(x) = 2$ (बराबर हैं)।</li>
  <!-- /wp:list-item --></ul>
  <!-- /wp:list -->
  <!-- wp:heading {"level":4} -->
  <h4 class="wp-block-heading">(ii) घात $q(x)$ = घात $r(x)$</h4>
  <!-- /wp:heading -->
  <!-- wp:paragraph -->
  <strong>शर्त:</strong> यह तब संभव है जब $\text{घात}(q(x)) = \text{घात}(r(x))$ हो, और यह दोनों $\text{घात}(g(x))$ से कम हों।
  <!-- /wp:paragraph -->
  <!-- wp:list -->
  <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
  <li>मान लीजिए $g(x) = x^2 + 1$ (घात 2)</li>
  <!-- /wp:list-item -->
  <!-- wp:list-item -->
  <li>मान लीजिए $q(x) = x + 1$ (घात 1)</li>
  <!-- /wp:list-item -->
  <!-- wp:list-item -->
  <li>मान लीजिए $r(x) = 2x + 3$ (घात 1)</li>
  <!-- /wp:list-item -->
  <!-- wp:list-item -->
  <li>अब $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ से $p(x)$ बनाते हैं:\]
  *** Error message:
  Display math should end with $$.
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घ
  Unicode character घ (U+0918)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घ
  Unicode character ट (U+091F)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घट
  Unicode character ा (U+093E)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटा
  Unicode character न (U+0928)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटान
  Unicode character े (U+0947)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटाने
  Unicode character प (U+092A)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटाने प
  Unicode character र (U+0930)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटाने पर
  Unicode character श (U+0936)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटाने पर श
  Unicode character े (U+0947)
  leading text: ... - 2) = x - 2$घटाने पर शे
  </pre>p(x) = (x^2 + 1)(x + 1) + (2x + 3)<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a6c31ab5392380fcb53d537a7fae0e1_l3.png" height="1" width="1" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = (x^3 + x^2 + x + 1) + (2x + 3)<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a6c31ab5392380fcb53d537a7fae0e1_l3.png" height="1" width="1" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = x^3 + x^2 + 3x + 4
  
  *** Error message:
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  leading text: \frac{x}{x}
  Extra }, or forgotten $.
  leading text: \frac{x}{x}
  Bad math environment delimiter.
  leading text: \[
  Missing \endgroup inserted.
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$
  Unicode character घ (U+0918)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घ
  Unicode character ट (U+091F)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घट
  Unicode character ा (U+093E)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटा
  Unicode character न (U+0928)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटान
  Unicode character े (U+0947)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटाने
  Unicode character प (U+092A)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटाने प
  Unicode character र (U+0930)
  leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटाने पर
  
  

  q(x) = 1r(x) = 1r(x) = 0r(x)p(x) = x^2 + 3x + 5g(x) = x + 1p(x)g(x)q(x) = x + 2r(x) = 3r(x) = 330$ होती है।

relation between zeroes and coefficients of a polynomial : एक द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) के शून्यकों (zeros) और गुणांकों (coefficients) के बीच के संबंध को समझा रहे हैं।

2.3 किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध

आप पहले ही देख चुके हैं कि एक रैखिक बहुपद (linear polynomial) का शून्यक होता है।

अब हम एक द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) के शून्यकों और उसके गुणांकों के बीच के संबंध पर विचार करेंगे।

उदाहरण 1:

1. शून्यक ज्ञात करना (मध्य पद को विभक्त करके):हम बहुपद के गुणनखंड करते हैं:

      

      

      

      

   का मान शून्य तब होगा जब या हो।अतः, शून्यक 1 और 3 हैं।
2. संबंध की जाँच:
   • शून्यकों का योग =
   • गुणांकों से संबंध =
   • शून्यकों का गुणनफल =
   • गुणांकों से संबंध =

दोनों ही मामलों में, हम देखते हैं कि:

• शून्यकों का योग =
• शून्यकों का गुणनफल =

उदाहरण 2:

1. शून्यक ज्ञात करना (मध्य पद को विभक्त करके):

      

      

      

   का मान शून्य तब होगा जब या हो।अतः, शून्यक और हैं।
2. संबंध की जाँच:
   • शून्यकों का योग =
   • गुणांकों से संबंध =
   • शून्यकों का गुणनफल =
   • गुणांकों से संबंध =

यह संबंध इस उदाहरण के लिए भी सत्य है।

व्यापक रूप (General Form)

व्यापक रूप में, यदि (अल्फा) और (बीटा) एक द्विघात बहुपद , (जहाँ ) के शून्यक हों, तो और , बहुपद के गुणनखंड होते हैं।

अतः, हम लिख सकते हैं:

(जहाँ एक अचर (constant) है)

समीकरण के दाईं ओर (RHS) को हल करने पर:

अब, दोनों ओर , के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर:

इन समीकरणों से, हम और का मान के रूप में निकाल सकते हैं:

निष्कर्ष

किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों () और गुणांकों () के बीच निम्नलिखित संबंध होता है:

• शून्यकों का योग (Sum of Zeros):

     

• शून्यकों का गुणनफल (Product of Zeros):

     

प्रश्न: द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

हल:

हम पाते हैं:

1. शून्यक ज्ञात करना:बहुपद का गुणनखंड करने पर (मध्य पद को तोड़कर):

      

   इसलिए, का मान शून्य है, जब:
   • 
   • या
   अतः, बहुपद के शून्यक और हैं।
2. संबंध की सत्यता की जाँच:यहाँ, बहुपद से तुलना करने पर, हमारे पास , , और है।
   • शून्यकों का योग:

        

     गुणांकों के सूत्र से: (अर्थात् )
   • शून्यकों का गुणनफल:

        

     गुणांकों के सूत्र से: (अर्थात् )

चूँकि दोनों मान (शून्यकों से और गुणांकों से) बराबर हैं, इसलिए संबंध सत्य है।

यहाँ उदाहरण 3 का हल है, जैसा कि आपकी छवियों में दिखाया गया है:

प्रश्न: बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

हल:

1. शून्यक ज्ञात करना:सर्वसमिका (identity) का स्मरण कीजिए। को हम के रूप में लिख सकते हैं।इसलिए,

      

   का मान शून्य होगा, जब:
   • 
   • या
   अतः, के शून्यक और हैं।
2. संबंध की सत्यता की जाँच:यहाँ, बहुपद को से तुलना करने पर, , (क्योंकि का कोई पद नहीं है), और है।
   • शून्यकों का योग:

        

     गुणांकों के सूत्र से: (अर्थात् )
   • शून्यकों का गुणनफल:

        

     गुणांकों के सूत्र से: (अर्थात् )

संबंध सत्य है।

प्रश्न: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः और हैं।

हल:

हमें दिया गया है:

• शून्यकों का योग (Sum of zeros),
• शून्यकों का गुणनफल (Product of zeros),

हम जानते हैं कि यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक और हों, तो उस बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(जहाँ कोई भी शून्येतर (non-zero) वास्तविक संख्या हो सकती है)

या

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

हम का सबसे सरल मान, , ले सकते हैं।

अतः, अभीष्ट (required) द्विघात बहुपद है:

त्रिघात बहुपद (cubic polynomial) के शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध :

व्यापक रूप में, यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि (अल्फा), (बीटा), और (गामा) त्रिघात बहुपद के शून्यक हों, तो:

1. शून्यकों का योग:

      

   (अर्थात )
2. शून्यकों को दो-दो करके लेने पर उनके गुणनफलों का योग:

      

   (अर्थात )
3. शून्यकों का गुणनफल:

      

   (अर्थात )

उदाहरण 5*: जाँच कीजिए कि त्रिघात बहुपद के शून्यक और हैं। इसके पश्चात् शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

उदाहरण 5 का हल :

हमें दिया गया है:

• बहुपद
• जाँच के लिए शून्यक: , , और

भाग 1: शून्यकों की जाँच

हम के दिए गए मानों को में रखकर जाँच करेंगे कि क्या परिणाम शून्य () आता है।

1. रखने पर:

      

      

      

      

2. रखने पर:

      

      

      

      

      

3. रखने पर:

      

      

      

      

      

      

चूँकि , , और है, यह सिद्ध होता है कि , , और बहुपद के शून्यक हैं।

भाग 2: शून्यकों तथा गुणांकों के संबंध की सत्यता की जाँच

• दिए गए बहुपद की तुलना से करने पर:
  • 
  • 
  • 
  • 
• दिए गए शून्यक हैं:
  • 
  • 
  • 

अब हम संबंधों की जाँच करेंगे:

1. शून्यकों का योग ():
   • शून्यकों से:
   • गुणांकों से ():
   • (संबंध सत्य है)
2. शून्यकों को दो-दो करके लेने पर उनके गुणनफलों का योग ():
   • शून्यकों से:

        

   • गुणांकों से ():
   • (संबंध सत्य है)
3. शून्यकों का गुणनफल ():
   • शून्यकों से:
   • गुणांकों से ():
   • (संबंध सत्य है)

इस प्रकार, शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच हो गई।

नमस्ते! आपके ब्लॉग पोस्ट के लिए यहाँ प्रश्नावली 2.2 का संपूर्ण हल दिया गया है। यह WordPress के साथ संगत (compatible) है और इसमें MathJax/LaTeX फ़ॉर्मेटिंग भी शामिल है, जिसे आप सीधे कॉपी और पेस्ट कर सकते हैं।

प्रश्नावली 2.2: बहुपद (NCERT Solutions for Class 10 Maths)

इस प्रश्नावली में, हम द्विघात बहुपदों के शून्यकों (zeros) और उनके गुणांकों (coefficients) के बीच के संबंध को समझेंगे और उस पर आधारित प्रश्नों को हल करेंगे।

1. निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए:

(i)

हल:

1. शून्यक ज्ञात करना:दिए गए बहुपद का गुणनखंड करने के लिए हम मध्य पद को विभक्त (split) करेंगे।

      

      

      

   शून्यकों के लिए, होना चाहिए।

   *** QuickLaTeX cannot compile formula:
   (x - 4) = 0 \implies x = 4<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अतः, शून्यक $\alpha = 4$ और $\beta = -2$ हैं।</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>संबंध की सत्यता की जाँच:बहुपद $x^2 - 2x - 8$ के लिए, $a = 1, b = -2, c = -8$<!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शून्यकों का योग:</strong> $\alpha + \beta = 4 + (-2) = 2$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>सूत्र से:</strong> $\frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शून्यकों का गुणनफल:</strong> $\alpha\beta = (4)(-2) = -8$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-8}{1} = -8$(चूँकि योग और गुणनफल दोनों बराबर हैं, इसलिए संबंध सत्य है।)</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list --></li>
   <!-- /wp:list-item --></ol>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:heading {"level":4} -->
   <h4 class="wp-block-heading"><strong>(ii) $4s^2 - 4s + 1$</strong></h4>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>हल:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list {"ordered":true,"start":1} -->
   <ol start="1" class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>शून्यक ज्ञात करना:दिए गए बहुपद $p(s) = 4s^2 - 4s + 1$ का गुणनखंड करने पर:\]
   *** Error message:
   Display math should end with $$.
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अ
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अ
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अत
   Unicode character ः (U+0903)
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अतः
   Unicode character श (U+0936)
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अतः, श
   Unicode character ू (U+0942)
   leading text: ... + 2) = 0 \implies x = -2$अतः, शू
   Unicode character न (U+0928)
   leading text: ...2) = 0 \implies x = -2$अतः, शून
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: ...= 0 \implies x = -2$अतः, शून्
   Unicode character य (U+092F)
   leading text: ... \implies x = -2$अतः, शून्य
   </pre>p(s) = 4s^2 - 2s - 2s + 1<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a6c31ab5392380fcb53d537a7fae0e1_l3.png" height="1" width="1" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(s) = 2s(2s - 1) - 1(2s - 1)<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a6c31ab5392380fcb53d537a7fae0e1_l3.png" height="1" width="1" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(s) = (2s - 1)(2s - 1)<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[(यह $(2s - 1)^2$ का सूत्र भी है।)शून्यकों के लिए, $p(s) = 0$ होना चाहिए।$(2s - 1) = 0 \implies s = \frac{1}{2}$अतः, दोनों शून्यक $\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = \frac{1}{2}$ हैं।</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>संबंध की सत्यता की जाँच:बहुपद $4s^2 - 4s + 1$ के लिए, $a = 4, b = -4, c = 1$<!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शून्यकों का योग:</strong> $\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>सूत्र से:</strong> $\frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{4} = 1$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शून्यकों का गुणनफल:</strong> $\alpha\beta = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{1}{4}$(संबंध सत्य है।)</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list --></li>
   <!-- /wp:list-item --></ol>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:heading {"level":4} -->
   <h4 class="wp-block-heading"><strong>(iii) $6x^2 - 3 - 7x$</strong></h4>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>हल:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list {"ordered":true,"start":1} -->
   <ol start="1" class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>शून्यक ज्ञात करना:पहले बहुपद को मानक रूप $ax^2 + bx + c$ में व्यवस्थित करते हैं:$p(x) = 6x^2 - 7x - 3$गुणनखंड करने पर ($-18$ के लिए $-9$ और $2$):\]
   *** Error message:
   Unicode character य (U+092F)
   leading text: \[(य
   Unicode character ह (U+0939)
   leading text: \[(यह
   Display math should end with $$.
   leading text: \[(यह $(
   Missing $ inserted.
   leading text: \[(यह $(2s - 1)^
   Unicode character क (U+0915)
   leading text: \[(यह $(2s - 1)^2$ क
   Unicode character ा (U+093E)
   leading text: \[(यह $(2s - 1)^2$ का
   Unicode character स (U+0938)
   leading text: \[(यह $(2s - 1)^2$ का स
   Unicode character ू (U+0942)
   leading text: \[(यह $(2s - 1)^2$ का सू
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: \[(यह $(2s - 1)^2$ का सूत
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: \[(यह $(2s - 1)^2$ का सूत्
   Unicode character र (U+0930)
   leading text: \[(यह $(2s - 1)^2$ का सूत्र
   </pre>p(x) = 6x^2 - 9x + 2x - 3<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a6c31ab5392380fcb53d537a7fae0e1_l3.png" height="1" width="1" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3)<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a6c31ab5392380fcb53d537a7fae0e1_l3.png" height="1" width="1" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = (3x + 1)(2x - 3)<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d68819e7da3573f96dd0b197a167a6d7_l3.png" height="40" width="293" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[शून्यकों के लिए, $p(x) = 0$ होना चाहिए।$(3x + 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{3}\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>(2x - 3) = 0 \implies x = \frac{3}{2}
   
   *** Error message:
   Missing $ inserted.
   leading text: (x - 4) = 0 \implies
   Bad math environment delimiter.
   leading text: \[
   Missing \endgroup inserted.
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अ
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अत
   Unicode character ः (U+0903)
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अतः
   Unicode character श (U+0936)
   leading text: \[(x + 2) = 0 \implies x = -2$अतः, श
   Unicode character ू (U+0942)
   leading text: ... + 2) = 0 \implies x = -2$अतः, शू
   Unicode character न (U+0928)
   leading text: ...2) = 0 \implies x = -2$अतः, शून
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: ...= 0 \implies x = -2$अतः, शून्
   
   

   अतः, शून्यक और हैं।
2. संबंध की सत्यता की जाँच:बहुपद के लिए,
   • शून्यकों का योग:
   • सूत्र से:
   • शून्यकों का गुणनफल:
   • सूत्र से: (संबंध सत्य है।)

(iv)

हल:

1. शून्यक ज्ञात करना:दिए गए बहुपद में उभयनिष्ठ (common) लेने पर:

      

   शून्यकों के लिए, होना चाहिए।

   *** QuickLaTeX cannot compile formula:
   4u = 0 \implies u = 0<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अतः, शून्यक $\alpha = 0$ और $\beta = -2$ हैं।</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>संबंध की सत्यता की जाँच:बहुपद $4u^2 + 8u$ (या $4u^2 + 8u + 0$) के लिए, $a = 4, b = 8, c = 0$<!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शून्यकों का योग:</strong> $\alpha + \beta = 0 + (-2) = -2$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>सूत्र से:</strong> $\frac{-b}{a} = \frac{-(8)}{4} = -2$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शून्यकों का गुणनफल:</strong> $\alpha\beta = (0)(-2) = 0$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{0}{4} = 0$(संबंध सत्य है।)</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list --></li>
   <!-- /wp:list-item --></ol>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:heading {"level":4} -->
   <h4 class="wp-block-heading"><strong>(v) $t^2 - 15$</strong></h4>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>हल:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list {"ordered":true,"start":1} -->
   <ol start="1" class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>शून्यक ज्ञात करना:दिए गए बहुपद $p(t) = t^2 - 15$ को हम $a^2 - b^2$ के सूत्र से हल कर सकते हैं:\]
   *** Error message:
   Display math should end with $$.
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अ
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अ
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अत
   Unicode character ः (U+0903)
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अतः
   Unicode character श (U+0936)
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अतः, श
   Unicode character ू (U+0942)
   leading text: ... + 2) = 0 \implies u = -2$अतः, शू
   Unicode character न (U+0928)
   leading text: ...2) = 0 \implies u = -2$अतः, शून
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: ...= 0 \implies u = -2$अतः, शून्
   Unicode character य (U+092F)
   leading text: ... \implies u = -2$अतः, शून्य
   </pre>p(t) = (t)^2 - (\sqrt{15})^2<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a6c31ab5392380fcb53d537a7fae0e1_l3.png" height="1" width="1" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(t) = (t - \sqrt{15})(t + \sqrt{15})<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a741fcf3546d590f38cb7362b992e336_l3.png" height="39" width="293" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[शून्यकों के लिए, $p(t) = 0$ होना चाहिए।$(t - \sqrt{15}) = 0 \implies t = \sqrt{15}\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>(t + \sqrt{15}) = 0 \implies t = -\sqrt{15}
   
   *** Error message:
   Missing $ inserted.
   leading text: 4u = 0 \implies
   Bad math environment delimiter.
   leading text: \[
   Missing \endgroup inserted.
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अ
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अत
   Unicode character ः (U+0903)
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अतः
   Unicode character श (U+0936)
   leading text: \[(u + 2) = 0 \implies u = -2$अतः, श
   Unicode character ू (U+0942)
   leading text: ... + 2) = 0 \implies u = -2$अतः, शू
   Unicode character न (U+0928)
   leading text: ...2) = 0 \implies u = -2$अतः, शून
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: ...= 0 \implies u = -2$अतः, शून्
   
   

   अतः, शून्यक और हैं।
2. संबंध की सत्यता की जाँच:बहुपद (या ) के लिए,
   • शून्यकों का योग:
   • सूत्र से:
   • शून्यकों का गुणनफल:
   • सूत्र से: (संबंध सत्य है।)

(vi)

हल:

1. शून्यक ज्ञात करना:दिए गए बहुपद का गुणनखंड करने पर ( के लिए और ):

      

      

      

   शून्यकों के लिए, होना चाहिए।

   *** QuickLaTeX cannot compile formula:
   (x + 1) = 0 \implies x = -1<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[(3x - 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$अतः, शून्यक $\alpha = -1$ और $\beta = \frac{4}{3}$ हैं।</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>संबंध की सत्यता की जाँच:बहुपद $3x^2 - x - 4$ के लिए, $a = 3, b = -1, c = -4$<!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शून्यकों का योग:</strong> $\alpha + \beta = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3 + 4}{3} = \frac{1}{3}$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>सूत्र से:</strong> $\frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{3} = \frac{1}{3}$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शून्यकों का गुणनफल:</strong> $\alpha\beta = (-1)(\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-4}{3}$(संबंध सत्य है।)</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list --></li>
   <!-- /wp:list-item --></ol>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading"><strong>2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:</strong></h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   मूल सूत्र:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यदि शून्यकों का योग $(\alpha + \beta)$ और गुणनफल $(\alpha\beta)$ ज्ञात हो, तो द्विघात बहुपद $p(x)$ का मानक रूप है:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   \]
   *** Error message:
   Display math should end with $$.
   leading text: \[(3x - 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$अ
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: \[(3x - 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$अ
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: \[(3x - 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$अत
   Unicode character ः (U+0903)
   leading text: ...- 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$अतः
   Unicode character श (U+0936)
   leading text: ...= 0 \implies x = \frac{4}{3}$अतः, श
   Unicode character ू (U+0942)
   leading text: ... \implies x = \frac{4}{3}$अतः, शू
   Unicode character न (U+0928)
   leading text: ...mplies x = \frac{4}{3}$अतः, शून
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: ...ies x = \frac{4}{3}$अतः, शून्
   Unicode character य (U+092F)
   </pre>p(x) = k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   (जहाँ $k$ एक अचर है, जिसे हम भिन्नों (fractions) को हटाने के लिए उपयोग कर सकते हैं।)
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:heading {"level":4} -->
   <h4 class="wp-block-heading"><strong>(i) $\frac{1}{4}, -1$</strong></h4>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   हल:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   दिया है:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = \frac{1}{4}$
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = -1$
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   सूत्र में मान रखने पर:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   \]
   *** Error message:
   Unicode character ज (U+091C)
   leading text: (ज
   Unicode character ह (U+0939)
   leading text: (जह
   Unicode character ा (U+093E)
   leading text: (जहा
   Unicode character ँ (U+0901)
   leading text: (जहाँ
   Display math should end with $$.
   leading text: (जहाँ $k
   Unicode character ए (U+090F)
   leading text: (जहाँ $k$ ए
   Unicode character क (U+0915)
   leading text: (जहाँ $k$ एक
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: (जहाँ $k$ एक अ
   Unicode character च (U+091A)
   leading text: (जहाँ $k$ एक अच
   Unicode character र (U+0930)
   leading text: (जहाँ $k$ एक अचर
   Unicode character ह (U+0939)
   leading text: (जहाँ $k$ एक अचर ह
   Unicode character ै (U+0948)
   </pre>p(x) = k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = k[x^2 - \frac{x}{4} - 1]<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb541882d52862153ad59ecbf57527b3_l3.png" height="58" width="523" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> भिन्न को हटाने के लिए $k = 4$ रखने पर: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = 4(x^2 - \frac{x}{4} - 1) = 4x^2 - x - 4<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21dd39022c356caced0246f0724d18c5_l3.png" height="167" width="646" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> अभीष्ट बहुपद $4x^2 - x - 4$ है। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":4} --> <h4 class="wp-block-heading"><strong>(ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$</strong></h4> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> हल: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> दिया है: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = \sqrt{2}$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = \frac{1}{3}$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> सूत्र में मान रखने पर: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = k[x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3}]<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = k[x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}]<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37e11908f8622d3cfa76826bf5af0590_l3.png" height="58" width="523" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> भिन्न को हटाने के लिए $k = 3$ रखने पर: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = 3(x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}) = 3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a9766dfa5cd5c3ee7ecf9ba5f18ef40_l3.png" height="168" width="649" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> अभीष्ट बहुपद $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ है। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":4} --> <h4 class="wp-block-heading"><strong>(iii) $0, \sqrt{5}$</strong></h4> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> हल: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> दिया है: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = 0$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = \sqrt{5}$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> सूत्र में मान रखने पर ($k=1$ लेने पर): <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = x^2 - (0)x + \sqrt{5}<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = x^2 + \sqrt{5}<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f68f5af418fab84b10c970bbd4f44f4a_l3.png" height="168" width="634" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> अभीष्ट बहुपद $x^2 + \sqrt{5}$ है। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":4} --> <h4 class="wp-block-heading"><strong>(iv) $1, 1$</strong></h4> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> हल: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> दिया है: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = 1$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = 1$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> सूत्र में मान रखने पर ($k=1$ लेने पर): <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = x^2 - (1)x + 1<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = x^2 - x + 1<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72d873f773bf62e0652e2664ef5bdd41_l3.png" height="167" width="646" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> अभीष्ट बहुपद $x^2 - x + 1$ है। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":4} --> <h4 class="wp-block-heading"><strong>(v) $-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$</strong></h4> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> हल: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> दिया है: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -\frac{1}{4}$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = \frac{1}{4}$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> सूत्र में मान रखने पर: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = k[x^2 - (-\frac{1}{4})x + \frac{1}{4}]<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = k[x^2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4}]<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb541882d52862153ad59ecbf57527b3_l3.png" height="58" width="523" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> भिन्न को हटाने के लिए $k = 4$ रखने पर: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = 4(x^2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4}) = 4x^2 + x + 1<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ac76d8b3a3a641f24b8d12772e809c0_l3.png" height="168" width="634" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> अभीष्ट बहुपद $4x^2 + x + 1$ है। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":4} --> <h4 class="wp-block-heading"><strong>(vi) $4, 1$</strong></h4> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> हल: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> दिया है: <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = 4$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = 1$ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> सूत्र में मान रखने पर ($k=1$ लेने पर): <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = x^2 - (4)x + 1<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>p(x) = x^2 - 4x + 1<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   अभीष्ट बहुपद $x^2 - 4x + 1$ है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:heading -->
   <h2 class="wp-block-heading"><strong>बहुपद विभाजन एल्गोरिथ्म</strong></h2>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   "बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म" (Division Algorithm for Polynomials) एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने की एक विधि है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यह ठीक वैसा ही है जैसे हम साधारण संख्याओं को भाग देते हैं।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading"><strong>1. संख्याओं का विभाजन (सरल उदाहरण)</strong></h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   जब हम 25 को 4 से भाग देते हैं:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>$25 \div 4 = 6$ (भागफल) और $1$ (शेषफल)</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>हम इसे लिख सकते हैं: $25 = (4 \times 6) + 1$</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यहाँ, <strong>शेषफल (1)</strong> हमेशा <strong>भाजक (4)</strong> से छोटा होता है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading"><strong>2. बहुपदों का विभाजन (एल्गोरिथ्म)</strong></h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   बहुपदों में भी यही नियम लागू होता है। यदि हमारे पास दो बहुपद $p(x)$ (भाज्य) और $g(x)$ (भाजक) हैं, जहाँ $g(x) \neq 0$ है, तो हम उन्हें भाग देकर $q(x)$ (भागफल) और $r(x)$ (शेषफल) ज्ञात कर सकते हैं।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   इसका मुख्य सूत्र है:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   \]
   *** Error message:
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: अ
   Unicode character भ (U+092D)
   leading text: अभ
   Unicode character ी (U+0940)
   leading text: अभी
   Unicode character ष (U+0937)
   leading text: अभीष
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: अभीष्
   Unicode character ट (U+091F)
   leading text: अभीष्ट
   Unicode character ब (U+092C)
   leading text: अभीष्ट ब
   Unicode character ह (U+0939)
   leading text: अभीष्ट बह
   Unicode character ु (U+0941)
   leading text: अभीष्ट बहु
   Unicode character प (U+092A)
   leading text: अभीष्ट बहुप
   Unicode character द (U+0926)
   leading text: अभीष्ट बहुपद
   Display math should end with $$.
   leading text: अभीष्ट बहुपद $x
   </pre>p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   अर्थात्:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   सबसे महत्वपूर्ण शर्त:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यह भाग प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list {"ordered":true,"start":1} -->
   <ol start="1" class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>या तो शेषफल $r(x)$ शून्य ($0$) न हो जाए।</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>या शेषफल $r(x)$ की घात (degree), भाजक $g(x)$ की घात से कम न हो जाए। (जैसे $\text{degree}(r(x)) < \text{degree}(g(x))$)</li>
   <!-- /wp:list-item --></ol>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading"><strong>उदाहरण: $p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$ को $g(x) = x^2 - 2$ से भाग देना</strong></h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   जब हम बहुपद का लंबा भाग (long division) करते हैं:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>भाज्य $p(x)$:</strong> $x^3 - 3x^2 + 5x - 3$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>भाजक $g(x)$:</strong> $x^2 - 2$</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   भाग देने पर हमें मिलता है:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>भागफल $q(x)$:</strong> $x - 3$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शेषफल $r(x)$:</strong> $7x - 9$</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   जाँच (सत्यापन):
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   क्या $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ है?
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>$(x^2 - 2) \times (x - 3) + (7x - 9)$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>$= x(x^2 - 2) - 3(x^2 - 2) + 7x - 9$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>$= (x^3 - 2x) - (3x^2 - 6) + 7x - 9$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>$= x^3 - 2x - 3x^2 + 6 + 7x - 9$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>$= x^3 - 3x^2 + 5x - 3$</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यह $p(x)$ के बराबर है। अतः, एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है। यहाँ, शेषफल $7x - 9$ की घात 1 है, जो भाजक $x^2 - 2$ की घात 2 से कम है, इसलिए हमने भाग देना बंद कर दिया।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading"><strong>बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म</strong></h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यह एल्गोरिथ्म यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म (जिसे आपने अध्याय 1 में पढ़ा है) जैसा ही है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   इसके अनुसार:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यदि $p(x)$ और $g(x)$ कोई दो बहुपद हैं, जहाँ $g(x) \neq 0$ है, तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ (भागफल) और $r(x)$ (शेषफल) प्राप्त कर सकते हैं कि:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   \]
   *** Error message:
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: अ
   Unicode character र (U+0930)
   leading text: अर
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: अर्
   Unicode character थ (U+0925)
   leading text: अर्थ
   Unicode character ा (U+093E)
   leading text: अर्था
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: अर्थात
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: अर्थात्
   Unicode character भ (U+092D)
   leading text: भ
   Unicode character ा (U+093E)
   leading text: भा
   Unicode character ज (U+091C)
   leading text: भाज
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: भाज्
   Unicode character य (U+092F)
   leading text: भाज्य
   Unicode character भ (U+092D)
   leading text: भाज्य = (भ
   </pre>p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>जहाँ, $r(x) = 0$ है अथवा $r(x)$ की घात < $g(x)$ की घात है।</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यह निष्कर्ष "बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म" कहलाता है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading">उदाहरण 6</h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>प्रश्न:</strong> $2x^2 + 3x + 1$ को $x + 2$ से भाग दीजिए।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   हल:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यहाँ हम बहुपद $p(x) = 2x^2 + 3x + 1$ को $g(x) = x + 2$ से भाग देंगे।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   भागफल (Quotient) $q(x) = 2x - 1$
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   शेषफल (Remainder) $r(x) = 3$
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   ध्यान दीजिए कि शेषफल $3$ (जिसकी घात $0$ है) की घात, भाजक $x+2$ (जिसकी घात $1$ है) से कम है, इसलिए हम भाग देने की प्रक्रिया को रोक देते हैं।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   जाँच (Verification):
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   \]
   *** Error message:
   Unicode character ज (U+091C)
   leading text: <strong>ज
   Unicode character ह (U+0939)
   leading text: <strong>जह
   Unicode character ा (U+093E)
   leading text: <strong>जहा
   Unicode character ँ (U+0901)
   leading text: <strong>जहाँ
   Display math should end with $$.
   leading text: <strong>जहाँ, $r
   Unicode character ह (U+0939)
   leading text: <strong>जहाँ, $r(x) = 0$ ह
   Unicode character ै (U+0948)
   leading text: <strong>जहाँ, $r(x) = 0$ है
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: <strong>जहाँ, $r(x) = 0$ है अ
   Unicode character थ (U+0925)
   leading text: ...ong>जहाँ, $r(x) = 0$ है अथ
   Unicode character व (U+0935)
   leading text: ...>जहाँ, $r(x) = 0$ है अथव
   </pre>\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>2x^2 + 3x + 1 = (x + 2)(2x - 1) + 3<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= (2x^2 - x + 4x - 2) + 3<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= 2x^2 + 3x - 2 + 3<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= 2x^2 + 3x + 1<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   अतः, एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading">उदाहरण 7</h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>प्रश्न:</strong> $3x^3 + x^2 + 2x + 5$ को $1 + 2x + x^2$ से भाग दीजिए।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   हल:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   हम सर्वप्रथम भाजक एवं भाज्य के पदों को उनकी घटती हुई घातों के क्रम में व्यवस्थित करते हैं (जिसे "मानक रूप" में लिखना कहते हैं)।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>भाज्य $p(x)$:</strong> $3x^3 + x^2 + 2x + 5$ (यह पहले से ही मानक रूप में है)</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>भाजक $g(x)$:</strong> $x^2 + 2x + 1$</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   भागफल (Quotient) $q(x) = 3x - 5$
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   शेषफल (Remainder) $r(x) = 9x + 10$
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यहाँ, शेषफल $9x + 10$ (घात 1) की घात, भाजक $x^2 + 2x + 1$ (घात 2) से कम है, इसलिए हम भाग देना बंद कर देते हैं।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   जाँच (Verification):
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   \]
   *** Error message:
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: अ
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: अत
   Unicode character ः (U+0903)
   leading text: अतः
   Unicode character ए (U+090F)
   leading text: अतः, ए
   Unicode character ल (U+0932)
   leading text: अतः, एल
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: अतः, एल्
   Unicode character ग (U+0917)
   leading text: अतः, एल्ग
   Unicode character ो (U+094B)
   leading text: अतः, एल्गो
   Unicode character र (U+0930)
   leading text: अतः, एल्गोर
   Unicode character ि (U+093F)
   leading text: अतः, एल्गोरि
   Unicode character थ (U+0925)
   leading text: अतः, एल्गोरिथ
   Unicode character ् (U+094D)
   </pre>(\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= (x^2 + 2x + 1) \times (3x - 5) + (9x + 10)<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= [3x(x^2 + 2x + 1) - 5(x^2 + 2x + 1)] + (9x + 10)<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= (3x^3 + 6x^2 + 3x) - (5x^2 + 10x + 5) + 9x + 10<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= 3x^3 + 6x^2 + 3x - 5x^2 - 10x - 5 + 9x + 10<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= 3x^3 + (6x^2 - 5x^2) + (3x - 10x + 9x) + (-5 + 10)<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd0410722b6ef4f5666d9abd9f25ff24_l3.png" height="19" width="462" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[ <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= 3x^3 + x^2 + 2x + 5<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यह भाज्य के बराबर है। अतः, एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:heading -->
   <h2 class="wp-block-heading"><strong>प्रश्नावली 2.3 के हल (Notes)</strong></h2>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading">1. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, $p(x)$ को $g(x)$ से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:</h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   याद रखें: विभाजन एल्गोरिथ्म है:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   भाज्य $p(x)$ = (भाजक $g(x)$ $\times$ भागफल $q(x)$) + शेषफल $r(x)$
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":4} -->
   <h4 class="wp-block-heading">(i) $p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$, $g(x) = x^2 - 2$</h4>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>हल:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यहाँ $p(x)$ और $g(x)$ दोनों मानक रूप में हैं। हम बहुपद $p(x)$ को $g(x)$ से भाग देते हैं।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>चरण 1: $p(x)$ के पहले पद ($x^3$) को $g(x)$ के पहले पद ($x^2$) से भाग दें:$\frac{x^3}{x^2} = x$. यह भागफल का पहला पद है।अब $x$ को $g(x)$ से गुणा करें: $x(x^2 - 2) = x^3 - 2x$इसे $p(x)$ से घटाएँ:$(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) - (x^3 - 2x) = -3x^2 + 7x - 3$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>चरण 2: नए भाज्य ($-3x^2 + 7x - 3$) के पहले पद ($-3x^2$) को $g(x)$ के पहले पद ($x^2$) से भाग दें:$\frac{-3x^2}{x^2} = -3$. यह भागफल का दूसरा पद है।अब $-3$ को $g(x)$ से गुणा करें: $-3(x^2 - 2) = -3x^2 + 6$इसे घटाएँ:$(-3x^2 + 7x - 3) - (-3x^2 + 6) = 7x - 9$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>चरण 3:</strong> शेषफल ($7x - 9$) की घात (1) भाजक ($x^2 - 2$) की घात (2) से कम है, इसलिए विभाजन प्रक्रिया समाप्त होती है।</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>उत्तर:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>भागफल (Quotient) $q(x) = x - 3$</strong></li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शेषफल (Remainder) $r(x) = 7x - 9$</strong></li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":4} -->
   <h4 class="wp-block-heading">(ii) $p(x) = x^4 - 3x^2 + 4x + 5$, $g(x) = x^2 + 1 - x$</h4>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>हल:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>महत्वपूर्ण नोट:</strong> भाग देने से पहले, बहुपदों को उनकी घातों के घटते क्रम (मानक रूप) में लिखना चाहिए।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>$p(x) = x^4 + 0x^3 - 3x^2 + 4x + 5$ (स्पष्टता के लिए $0x^3$ जोड़ा गया)</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>$g(x) = x^2 - x + 1$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>चरण 1: $\frac{x^4}{x^2} = x^2$.$x^2(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2$.घटाने पर: $(x^4 + 0x^3 - 3x^2 + 4x + 5) - (x^4 - x^3 + x^2) = x^3 - 4x^2 + 4x + 5$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>चरण 2: $\frac{x^3}{x^2} = x$.$x(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x$.घटाने पर: $(x^3 - 4x^2 + 4x + 5) - (x^3 - x^2 + x) = -3x^2 + 3x + 5$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>चरण 3: $\frac{-3x^2}{x^2} = -3$.$-3(x^2 - x + 1) = -3x^2 + 3x - 3$.घटाने पर: $(-3x^2 + 3x + 5) - (-3x^2 + 3x - 3) = 8$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>चरण 4:</strong> शेषफल (8) की घात (0) भाजक ($x^2 - x + 1$) की घात (2) से कम है।</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>उत्तर:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>भागफल (Quotient) $q(x) = x^2 + x - 3$</strong></li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शेषफल (Remainder) $r(x) = 8$</strong></li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":4} -->
   <h4 class="wp-block-heading">(iii) $p(x) = x^4 - 5x + 6$, $g(x) = 2 - x^2$</h4>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>हल:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>महत्वपूर्ण नोट:</strong> बहुपदों को मानक रूप में लिखें।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>$p(x) = x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 5x + 6$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>$g(x) = -x^2 + 2$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>चरण 1: $\frac{x^4}{-x^2} = -x^2$.$-x^2(-x^2 + 2) = x^4 - 2x^2$.घटाने पर: $(x^4 + 0x^2 - 5x + 6) - (x^4 - 2x^2) = 2x^2 - 5x + 6$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>चरण 2: $\frac{2x^2}{-x^2} = -2$.$-2(-x^2 + 2) = 2x^2 - 4$.घटाने पर: $(2x^2 - 5x + 6) - (2x^2 - 4) = -5x + 10$</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>चरण 3:</strong> शेषफल ($-5x + 10$) की घात (1) भाजक ($-x^2 + 2$) की घात (2) से कम है।</li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>उत्तर:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list -->
   <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li><strong>भागफल (Quotient) $q(x) = -x^2 - 2$</strong></li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li><strong>शेषफल (Remainder) $r(x) = -5x + 10$</strong></li>
   <!-- /wp:list-item --></ul>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:heading -->
   <h2 class="wp-block-heading"><strong>यहाँ प्रश्नावली 2.3 के प्रश्न 2 का हल:</strong></h2>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>प्रश्न:</strong> पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   मूल सिद्धांत:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यदि पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग देने पर शेषफल (Remainder) शून्य ($0$) आता है, तो पहला बहुपद दूसरे बहुपद का एक गुणनखंड होता है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading">(i) $t^2 - 3$, $2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12$</h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   हल:
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   हम $p(t) = 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12$ को $g(t) = t^2 - 3$ से भाग देंगे।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list {"ordered":true,"start":1} -->
   <ol start="1" class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>$\frac{2t^4}{t^2} = 2t^2\]
   *** Error message:
   Unicode character य (U+092F)
   leading text: य
   Unicode character ह (U+0939)
   leading text: यह
   Unicode character भ (U+092D)
   leading text: यह भ
   Unicode character ा (U+093E)
   leading text: यह भा
   Unicode character ज (U+091C)
   leading text: यह भाज
   Unicode character ् (U+094D)
   leading text: यह भाज्
   Unicode character य (U+092F)
   leading text: यह भाज्य
   Unicode character क (U+0915)
   leading text: यह भाज्य क
   Unicode character े (U+0947)
   leading text: यह भाज्य के
   Unicode character ब (U+092C)
   leading text: यह भाज्य के ब
   Unicode character र (U+0930)
   leading text: यह भाज्य के बर
   Unicode character ा (U+093E)
   </pre>2t^2(t^2 - 3) = 2t^4 - 6t^2
   
   *** Error message:
   Missing $ inserted.
   leading text: (x + 1) = 0 \implies
   Bad math environment delimiter.
   leading text: \[
   Missing \endgroup inserted.
   leading text: \[(3x - 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$
   Unicode character अ (U+0905)
   leading text: \[(3x - 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$अ
   Unicode character त (U+0924)
   leading text: \[(3x - 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$अत
   Unicode character ः (U+0903)
   leading text: ...- 4) = 0 \implies x = \frac{4}{3}$अतः
   Unicode character श (U+0936)
   leading text: ...= 0 \implies x = \frac{4}{3}$अतः, श
   Unicode character ू (U+0942)
   leading text: ... \implies x = \frac{4}{3}$अतः, शू
   Unicode character न (U+0928)
   leading text: ...mplies x = \frac{4}{3}$अतः, शून
   Unicode character ् (U+094D)
   
   

   घटाने पर शेष:

2.    

   घटाने पर शेष:

चूँकि शेषफल = 0 है, अतः बहुपद का एक गुणनखंड है।

(ii) ,

हल:

हम को से भाग देंगे।

1.    

   घटाने पर शेष:

2.    

   घटाने पर शेष:

3. *** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \frac{-x^3}{x^3} = -1<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घटाने पर शेष: $2$</li>
   <!-- /wp:list-item --></ol>
   <!-- /wp:list -->
   <!-- wp:paragraph -->
   चूँकि <strong>शेषफल = 2</strong> (जो $0$ नहीं है), अतः $x^3 - 3x + 1$ बहुपद $x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1$ का <strong>एक गुणनखंड नहीं है।</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यहाँ आपकी छवि में दिए गए <strong>प्रश्नावली 2.3</strong> के प्रश्नों (3, 4, और 5) का हल है, जिसे छात्र नोट्स के रूप में उपयोग कर सकते हैं।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:separator -->
   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
   <!-- /wp:separator -->
   <!-- wp:heading {"level":3} -->
   <h3 class="wp-block-heading">3. $3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$ के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक $\sqrt{5/3}$ और $-\sqrt{5/3}$ हैं।</h3>
   <!-- /wp:heading -->
   <!-- wp:paragraph -->
   <strong>हल:</strong>
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:paragraph -->
   यहाँ दिया गया बहुपद $p(x) = 3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$ है।
   <!-- /wp:paragraph -->
   <!-- wp:list {"ordered":true,"start":1} -->
   <ol start="1" class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
   <li>दिए गए शून्यकों से गुणनखंड ज्ञात करना:चूँकि $\sqrt{5/3}$ और $-\sqrt{5/3}$ बहुपद के दो शून्यक (zeros) हैं,अतः $\left(x - \sqrt{\frac{5}{3}}\right)$ और $\left(x + \sqrt{\frac{5}{3}}\right)$ बहुपद के गुणनखंड (factors) होंगे।</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>गुणनखंडों का गुणन:इन दोनों गुणनखंडों का गुणनफल भी $p(x)$ का एक गुणनखंड होगा:\]
   *** Error message:
   Display math should end with $$.
   leading text: \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घ
   Unicode character घ (U+0918)
   leading text: \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घ
   Unicode character ट (U+091F)
   leading text: \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घट
   Unicode character ा (U+093E)
   leading text: \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घटा
   Unicode character न (U+0928)
   leading text: ...(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घटान
   Unicode character े (U+0947)
   leading text: ...3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घटाने
   Unicode character प (U+092A)
   leading text: ...3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घटाने प
   Unicode character र (U+0930)
   leading text: ...+ 1) = -x^3 + 3x - 1$घटाने पर
   Unicode character श (U+0936)
   leading text: ... = -x^3 + 3x - 1$घटाने पर श
   </pre>\left(x - \sqrt{\frac{5}{3}}\right) \left(x + \sqrt{\frac{5}{3}}\right) = (x)^2 - \left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^2<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a6c31ab5392380fcb53d537a7fae0e1_l3.png" height="1" width="1" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>= x^2 - \frac{5}{3}<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
   \[हम इसे $(3x^2 - 5)$ के रूप में भी लिख सकते हैं (3 से गुणा करने पर)।अतः, $g(x) = 3x^2 - 5$ दिए गए बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।</li>
   <!-- /wp:list-item -->
   <!-- wp:list-item -->
   <li>विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग:अब हम $p(x)$ को $g(x)$ से भाग देंगे ताकि अन्य गुणनखंड (भागफल) प्राप्त हो सकें।$(3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5) \div (3x^2 - 5)$<ul><li>$\frac{3x^4}{3x^2} = x^2\]
   *** Error message:
   Unicode character ह (U+0939)
   leading text: \[ह
   Unicode character म (U+092E)
   leading text: \[हम
   Unicode character इ (U+0907)
   leading text: \[हम इ
   Unicode character स (U+0938)
   leading text: \[हम इस
   Unicode character े (U+0947)
   leading text: \[हम इसे
   Display math should end with $$.
   leading text: \[हम इसे $(
   Missing $ inserted.
   leading text: \[हम इसे $(3x^
   Unicode character क (U+0915)
   leading text: \[हम इसे $(3x^2 - 5)$ क
   Unicode character े (U+0947)
   leading text: \[हम इसे $(3x^2 - 5)$ के
   Unicode character र (U+0930)
   leading text: \[हम इसे $(3x^2 - 5)$ के र
   Unicode character ू (U+0942)
   leading text: \[हम इसे $(3x^2 - 5)$ के रू
   </pre>x^2(3x^2 - 5) = 3x^4 - 5x^2
   
   *** Error message:
   Missing $ inserted.
   leading text: \frac{-x^3}{x^3}
   Missing $ inserted.
   leading text: \frac{-x^3}{x^3}
   Missing $ inserted.
   leading text: \frac{-x^3}{x^3}
   Extra }, or forgotten $.
   leading text: \frac{-x^3}{x^3}
   Bad math environment delimiter.
   leading text: \[
   Missing \endgroup inserted.
   leading text: \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$
   Unicode character घ (U+0918)
   leading text: \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घ
   Unicode character ट (U+091F)
   leading text: \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घट
   Unicode character ा (U+093E)
   leading text: \[-1(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घटा
   Unicode character न (U+0928)
   leading text: ...(x^3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घटान
   Unicode character े (U+0947)
   leading text: ...3 - 3x + 1) = -x^3 + 3x - 1$घटाने
   
   

   घटाने पर शेष:

4.    

   घटाने पर शेष:
भाग देने पर भागफल (quotient) प्राप्त होता है।
5. अन्य शून्यक ज्ञात करना:अन्य शून्यक हमें भागफल को के बराबर रखने पर मिलेंगे।

      

   यह का सूत्र है।

      

   इससे और प्राप्त होता है।

उत्तर:

दिए गए बहुपद के अन्य सभी शून्यक और हैं।

4. यदि को एक बहुपद से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः और हैं तो ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ हमें दिया गया है:

• भाज्य =
• भाजक = ? (ज्ञात करना है)
• भागफल =
• शेषफल =

विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm) के अनुसार:

ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

1. की गणना:

      

      

      

2. भाग देना:अब हम को से भाग देंगे।

   •    

     घटाने पर शेष:

   • *** QuickLaTeX cannot compile formula:
     \frac{x}{x} = 1<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
     \[1(x - 2) = x - 2$घटाने पर शेष: $0$</li>
     <!-- /wp:list-item --></ul>
     <!-- /wp:list --></li>
     <!-- /wp:list-item --></ol>
     <!-- /wp:list -->
     <!-- wp:paragraph -->
     जो भागफल आया है वही $g(x)$ है।
     <!-- /wp:paragraph -->
     <!-- wp:paragraph -->
     उत्तर:
     <!-- /wp:paragraph -->
     <!-- wp:paragraph -->
     $g(x) = x^2 - x + 1$
     <!-- /wp:paragraph -->
     <!-- wp:separator -->
     <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>
     <!-- /wp:separator -->
     <!-- wp:heading {"level":3} -->
     <h3 class="wp-block-heading">5. बहुपदों $p(x)$, $g(x)$, $q(x)$ और $r(x)$ के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा:</h3>
     <!-- /wp:heading -->
     <!-- wp:paragraph -->
     <em>(नोट: इस प्रश्न के कई सही उत्तर हो सकते हैं।)</em>
     <!-- /wp:paragraph -->
     <!-- wp:heading {"level":4} -->
     <h4 class="wp-block-heading">(i) घात $p(x)$ = घात $q(x)$</h4>
     <!-- /wp:heading -->
     <!-- wp:paragraph -->
     <strong>शर्त:</strong> यह तभी संभव है जब <strong>भाजक $g(x)$ की घात $0$ हो</strong> (अर्थात् $g(x)$ एक अचर संख्या हो)।
     <!-- /wp:paragraph -->
     <!-- wp:list -->
     <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
     <li>मान लीजिए $p(x) = 5x^2 + 10x + 15$</li>
     <!-- /wp:list-item -->
     <!-- wp:list-item -->
     <li>मान लीजिए $g(x) = 5$</li>
     <!-- /wp:list-item -->
     <!-- wp:list-item -->
     <li>भाग देने पर, $q(x) = x^2 + 2x + 3$</li>
     <!-- /wp:list-item -->
     <!-- wp:list-item -->
     <li>और $r(x) = 0$</li>
     <!-- /wp:list-item -->
     <!-- wp:list-item -->
     <li><strong>जाँच:</strong> घात $p(x) = 2$ और घात $q(x) = 2$ (बराबर हैं)।</li>
     <!-- /wp:list-item --></ul>
     <!-- /wp:list -->
     <!-- wp:heading {"level":4} -->
     <h4 class="wp-block-heading">(ii) घात $q(x)$ = घात $r(x)$</h4>
     <!-- /wp:heading -->
     <!-- wp:paragraph -->
     <strong>शर्त:</strong> यह तब संभव है जब $\text{घात}(q(x)) = \text{घात}(r(x))$ हो, और यह दोनों $\text{घात}(g(x))$ से कम हों।
     <!-- /wp:paragraph -->
     <!-- wp:list -->
     <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
     <li>मान लीजिए $g(x) = x^2 + 1$ (घात 2)</li>
     <!-- /wp:list-item -->
     <!-- wp:list-item -->
     <li>मान लीजिए $q(x) = x + 1$ (घात 1)</li>
     <!-- /wp:list-item -->
     <!-- wp:list-item -->
     <li>मान लीजिए $r(x) = 2x + 3$ (घात 1)</li>
     <!-- /wp:list-item -->
     <!-- wp:list-item -->
     <li>अब $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ से $p(x)$ बनाते हैं:\]
     *** Error message:
     Display math should end with $$.
     leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घ
     Unicode character घ (U+0918)
     leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घ
     Unicode character ट (U+091F)
     leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घट
     Unicode character ा (U+093E)
     leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटा
     Unicode character न (U+0928)
     leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटान
     Unicode character े (U+0947)
     leading text: \[1(x - 2) = x - 2$घटाने
     Unicode character प (U+092A)
     leading text: \[1(