MP Board 9th Mathematics Perpendicular from the Centre to a Chord केन्द्र से जीवा पर लम्ब

MP Board 9th Mathematics Perpendicular from the Centre to a Chord

यहाँ कक्षा 9 के गणित विषय के अध्याय “वृत्त” (Circles) के अंतर्गत “केन्द्र से जीवा पर लम्ब” (Perpendicular from the Centre to a Chord) विषय पर विस्तृत और सचित्र नोट्स दिए गए हैं। यह सामग्री आपके ब्लॉग के लिए पूरी तरह तैयार है।

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अध्याय 9: वृत्त – केन्द्र से जीवा पर लम्ब (Perpendicular from the Centre to a Chord)

1. परिचय और परिभाषाएँ (Introduction and Definitions)

ज्यामिति में वृत्त की जीवा (Chord) और केन्द्र (Centre) के बीच का संबंध बहुत महत्त्वपूर्ण है। केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की कुंजी है।

• केन्द्र (Centre – O): वृत्त का वह स्थिर बिन्दु जिससे वृत्त पर स्थित सभी बिन्दुओं की दूरी समान होती है।
• जीवा (Chord – AB): वृत्त पर स्थित किन्हीं भी दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड।
• लम्ब (Perpendicular – OM): एक ऐसी रेखा जो दूसरी रेखा के साथ ठीक (समकोण) का कोण बनाती है।

2. मुख्य प्रमेय (Key Theorems)

इस विषय पर दो मुख्य प्रमेय हैं, जो एक-दूसरे के विलोम (Converse) हैं।

प्रमेय 1: केन्द्र से जीवा पर लम्ब (Theorem 1)

“एक वृत्त के केन्द्र से एक जीवा पर डाला गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित (bisect) करता है।”
(The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.)

• व्याख्या (Explanation): मान लीजिए एक वृत्त का केन्द्र है और उसकी जीवा है। यदि हम केन्द्र से जीवा पर एक लम्ब खींचते हैं (अर्थात् ), तो यह लम्ब जीवा को दो बराबर भागों में बाँट देगा। इसका अर्थ है कि होगा।

प्रमेय 2: विलोम प्रमेय (Theorem 2 – Converse)

“एक वृत्त के केन्द्र और एक जीवा के मध्य-बिन्दु को मिलाने वाली रेखा, जीवा पर लम्ब होती है।”
(The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord.)

• व्याख्या (Explanation): यह पहले प्रमेय का ठीक उल्टा है। यदि एक वृत्त के केन्द्र को जीवा के मध्य-बिन्दु (जहाँ है) से मिलाया जाता है, तो बनने वाली रेखा , जीवा पर निश्चित रूप से लम्ब होगी (अर्थात् ).

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3. प्रमेय का प्रमाण (Proof of Theorem 1)

परीक्षा के दृष्टिकोण से इस प्रमेय का प्रमाण अत्यंत महत्त्वपूर्ण है।

दिया है (Given): एक वृत्त जिसका केन्द्र है। उसकी एक जीवा है और रेखाखण्ड , जीवा पर लम्ब है ().

सिद्ध करना है (To Prove): , जीवा को समद्विभाजित करता है, अर्थात् .

रचना (Construction): केन्द्र को बिन्दु और बिन्दु से मिलाइए ( और त्रिज्याएँ हैं)।

प्रमाण (Proof): समकोण और समकोण में:

1. कर्ण कर्ण (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं – Hypotenuse)
2. भुजा (उभयनिष्ठ/Common भुजा है – Side)
3. (दिया है – Right angle)

अतः RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से:

   

चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCT), इसलिए:
सिद्ध हुआ।

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4. परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Q&A for Exam)

इन प्रश्नों को हल करने के लिए हम पाइथागोरस प्रमेय () का उपयोग करते हैं, जहाँ कर्ण त्रिज्या (r) होती है.

प्रश्न 1: एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। केन्द्र से 3 सेमी की दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:
मान लीजिए वृत्त का केन्द्र है, त्रिज्या () = 5 सेमी है, और लम्बवत दूरी () = 3 सेमी है।
समकोण में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

   

   

   

   

   

चूँकि केन्द्र से लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः पूरी जीवा
सेमी।

प्रश्न 2: 26 सेमी व्यास (diameter) वाले एक वृत्त में, 24 सेमी लंबी जीवा की केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
व्यास = 26 सेमी, अतः त्रिज्या () = व्यास / 2 = 13 सेमी।
जीवा () = 24 सेमी। चूँकि लम्ब जीवा को आधा करता है, 12 सेमी।
समकोण में, हमें (दूरी) ज्ञात करना है:

   

   

   

   

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[OM = \sqrt{25} =$ <strong>$5$ सेमी</strong>।
<!-- /wp:paragraph -->
<!-- wp:paragraph -->
<strong>प्रश्न 3: सिद्ध कीजिए कि वृत्त के केन्द्र से बराबर दूरियों पर स्थित जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।</strong>
<!-- /wp:paragraph -->
<!-- wp:paragraph -->
<strong>हल:</strong>मान लीजिए दो जीवाएँ $AB$ और $CD$ हैं। केन्द्र $O$ से उन पर डाले गए लम्ब $OM$ और $ON$ बराबर हैं ($OM = ON$).समकोण $\Delta OMA$ और $\Delta ONC$ में:
<!-- /wp:paragraph -->
<!-- wp:list -->
<ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
<li>कर्ण $OA =$ कर्ण $OB$ (त्रिज्याएँ)</li>
<!-- /wp:list-item -->
<!-- wp:list-item -->
<li>भुजा $OM = ON$ (दिया है)RHS सर्वांगसमता से, $\Delta OMA \cong \Delta ONC$।CPCT से, $AM = CN$।जीवा की लंबाई $AB = 2 \times AM$ और $CD = 2 \times CN$।चूँकि $AM = CN$ है, अतः <strong>$AB = CD$</strong> सिद्ध हुआ।</li>
<!-- /wp:list-item --></ul>
<!-- /wp:list -->
<!-- wp:paragraph -->
<strong>प्रश्न 4: एक वृत्त की जीवा $AB$, जिसकी लंबाई 16 सेमी है, केन्द्र $O$ से 6 सेमी की दूरी पर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।</strong>
<!-- /wp:paragraph -->
<!-- wp:paragraph -->
<strong>हल:</strong>जीवा ($AB$) = 16 सेमी, अतः $AM = AB / 2 = 8$ सेमी।दूरी ($OM$) = 6 सेमी। हमें त्रिज्या ($OA$) ज्ञात करनी है।समकोण $\Delta OMA$ में:\]

*** Error message:
Display math should end with $$.
leading text: \[OM = \sqrt{25} =$ 
Unicode character स (U+0938)
leading text: \[OM = \sqrt{25} =$ <strong>$5$ स
Unicode character े (U+0947)
leading text: \[OM = \sqrt{25} =$ <strong>$5$ से
Unicode character म (U+092E)
leading text: \[OM = \sqrt{25} =$ <strong>$5$ सेम
Unicode character ी (U+0940)
leading text: \[OM = \sqrt{25} =$ <strong>$5$ सेमी
Unicode character । (U+0964)
leading text: ...25} =$ <strong>$5$ सेमी</strong>।
Unicode character प (U+092A)
leading text: <strong>प
Unicode character ् (U+094D)
leading text: <strong>प्
Unicode character र (U+0930)
leading text: <strong>प्र
Unicode character श (U+0936)
leading text: <strong>प्रश
Unicode character ् (U+094D)

OA^2 = AM^2 + OM^2

   

OA^2 = 8^2 + 6^2

   

OA^2 = 64 + 36 = 100

   

OA = \sqrt{100} =10

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
सेमी</strong>।
<!-- /wp:paragraph -->

<!-- wp:paragraph -->
<strong>प्रश्न 5: त्रिज्या 5 सेमी और 3 सेमी वाले दो संकेन्द्री (concentric) वृत्तों में, बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।</strong>
<!-- /wp:paragraph -->

<!-- wp:paragraph -->
<strong>हल:</strong>संकेन्द्री वृत्तों का केन्द्र

*** Error message:
Unicode character स (U+0938)
leading text: $स
Unicode character े (U+0947)
leading text: $से
Unicode character म (U+092E)
leading text: $सेम
Unicode character ी (U+0940)
leading text: $सेमी
Unicode character । (U+0964)
leading text: $सेमी</strong>।
Missing $ inserted.
Unicode character प (U+092A)
leading text: <strong>प
Unicode character ् (U+094D)
leading text: <strong>प्
Unicode character र (U+0930)
leading text: <strong>प्र
Unicode character श (U+0936)
leading text: <strong>प्रश
Unicode character ् (U+094D)
leading text: <strong>प्रश्
Unicode character न (U+0928)
leading text: <strong>प्रश्न
Unicode character त (U+0924)
leading text: <strong>प्रश्न 5: त

OOM = 3OA = 5ABMOM \perp AB\Delta OMA

   

AB = 2 \times AM = 2 \times 4 =8$ सेमी।