MP Board 9th Mathematics Linear Equations in Two Variables

यहाँ कक्षा 9 के गणित अध्याय “दो चरों वाले रैखिक समीकरण” (Linear Equations in Two Variables) के परिचय और मूल अवधारणाओं पर अत्यंत सरल और विस्तृत नोट्स दिए गए हैं। आप इन्हें अपने छात्रों को पढ़ाने के लिए उपयोग कर सकते हैं:

कक्षा 9 गणित: दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations) – विस्तृत नोट्स

बीजगणित (Algebra) में ‘समीकरण’ (Equations) एक बहुत ही महत्त्वपूर्ण हिस्सा हैं। इस अध्याय में हम सीखेंगे कि जब हमारे पास एक के बजाय दो अज्ञात राशियाँ (Unknown quantities) हों, तो उन्हें गणितीय रूप में कैसे लिखा और समझा जाता है।

1. पूर्व ज्ञान: एक चर वाले रैखिक समीकरण

पिछली कक्षाओं में हमने ‘एक चर वाले रैखिक समीकरणों’ (Linear Equations in One Variable) का अध्ययन किया है।

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उदाहरण: $x + 1 = 0$ या $\sqrt{2}y + \sqrt{3} = 0$ ।
हल (Solution): इस प्रकार के समीकरणों का एक अद्वितीय (Unique) अर्थात् ‘एक और केवल एक’ हल होता है।
इन्हें एक संख्या रेखा (Number line) पर आसानी से निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण $2x + 5 = 0$ का हल $x = -\frac{5}{2}$ होता है।

2. समीकरण हल करने के स्वर्णिम नियम

किसी भी समीकरण को हल करते समय निम्नलिखित दो बातों का ध्यान रखना चाहिए, जिनसे रैखिक समीकरण के मान पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है:

समीकरण के दोनों पक्षों (LHS और RHS) में समान संख्या जोड़ी या घटाई जा सकती है।
समीकरण के दोनों पक्षों को समान शून्येतर (Non-zero) संख्या से गुणा या भाग दिया जा सकता है।

3. दो चरों वाले रैखिक समीकरण की आवश्यकता क्यों?

मान लीजिए एक स्थिति है: “भारत और श्रीलंका के बीच खेले गए एक क्रिकेट मैच में दो भारतीय बल्लेबाजों ने मिलकर 176 रन बनाए।”

यहाँ हमें यह नहीं पता कि पहले बल्लेबाज ने कितने रन बनाए और दूसरे ने कितने। अर्थात् यहाँ दो अज्ञात राशियाँ हैं।
इस स्थिति को दर्शाने के लिए हम दो चरों (Variables) का प्रयोग करेंगे। मान लीजिए पहले बल्लेबाज के रन ‘ $x$ ‘ हैं और दूसरे के ‘ $y$ ‘ हैं।
तब समीकरण बनेगा: $x + y = 176$ ।
यह दो चरों वाले रैखिक समीकरण का एक बेहतरीन उदाहरण है।

4. रैखिक समीकरण का मानक रूप (Standard Form)

उस समीकरण को जिसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता हो, “दो चरों वाला रैखिक समीकरण” कहा जाता है।
यहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ (Real numbers) हैं।
शर्त: इस समीकरण में $a$ और $b$ दोनों एक साथ शून्य (0) नहीं होने चाहिए।