MP Board 9th Mathematics Euclid's Definitions Axioms and Postulates

MP Board 9th Mathematics Euclid’s Definitions Axioms and Postulates

यहाँ कक्षा 9 के गणित विषय के अध्याय “यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय” के अंतर्गत यूक्लिड की परिभाषाओं, अभिगृहीतों और अभिधारणाओं पर विस्तृत और परीक्षा-उपयोगी नोट्स दिए गए हैं।

कक्षा 9 गणित: यूक्लिड की परिभाषाएँ, अभिगृहीत और अभिधारणाएँ

यूक्लिड (जिन्हें ‘ज्यामिति का जनक’ कहा जाता है) ने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक ‘एलिमेंट्स’ (Elements) में उस समय तक के ज्ञात सभी गणितीय ज्ञान को इकट्ठा किया। उन्होंने ज्यामिति को एक ठोस आधार देने के लिए कुछ बुनियादी परिभाषाएँ और ऐसे नियम दिए जिन्हें सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं होती।

आइए इन्हें विस्तार से समझते हैं:

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1. यूक्लिड की परिभाषाएँ (Euclid’s Definitions)

यूक्लिड ने ज्यामिति के मूल शब्दों को समझाने के लिए 23 परिभाषाएँ दी थीं, जिनमें से कक्षा 9 के लिए सबसे महत्त्वपूर्ण 7 परिभाषाएँ निम्नलिखित हैं:

बिंदु (Point): एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग (हिस्सा) नहीं होता है। (अर्थात् इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं होती)।
रेखा (Line): एक रेखा चौड़ाई-रहित लंबाई होती है।
रेखा के सिरे (Ends of a Line): एक रेखा के सिरे हमेशा बिंदु होते हैं।
सीधी रेखा (Straight Line): एक सीधी रेखा वह है जो स्वयं पर बिंदुओं के साथ सपाट रूप से स्थित होती है।
पृष्ठ या तल (Surface): पृष्ठ वह है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है (मोटाई नहीं)।
पृष्ठ के किनारे (Edges of a Surface): किसी पृष्ठ के किनारे हमेशा रेखाएँ होती हैं।
समतल पृष्ठ (Plane Surface): एक समतल पृष्ठ वह पृष्ठ है जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

2. यूक्लिड के अभिगृहीत (Euclid’s Axioms)

अभिगृहीत वे सर्वमान्य सत्य (Universal truths) हैं जिनका उपयोग संपूर्ण गणित (बीजगणित, ज्यामिति आदि) में किया जाता है। इन्हें सिद्ध करने की कोई आवश्यकता नहीं होती। यूक्लिड के प्रमुख 7 अभिगृहीत इस प्रकार हैं:

वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के भी बराबर होती हैं। (यदि $A = C$ और $B = C$ , तो $A = B$ होगा)।
यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण (Total) भी बराबर होते हैं।
यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल (Remainder) भी बराबर होते हैं।
वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती (Coincide) हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं। (संपाती का अर्थ है जो एक-दूसरे को पूरी तरह ढक लें)।
पूर्ण (Whole) हमेशा अपने भाग (Part) से बड़ा होता है।
एक ही वस्तु के दुगने परस्पर बराबर होते हैं। (यदि $x = y$ है, तो $2x = 2y$ होगा)।
एक ही वस्तु के आधे परस्पर बराबर होते हैं। (यदि $x = y$ है, तो $x/2 = y/2$ होगा)।

3. यूक्लिड की अभिधारणाएँ (Euclid’s Postulates)

अभिधारणाएँ वे सर्वमान्य सत्य हैं जिनका उपयोग केवल ज्यामिति (Geometry) से संबंधित धारणाओं के लिए किया गया। यूक्लिड ने 5 प्रमुख अभिधारणाएँ दीं:

अभिधारणा 1: एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
अभिधारणा 2: एक सांत रेखा (Terminated line या रेखाखंड) को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
अभिधारणा 3: किसी भी बिंदु को केंद्र मानकर और किसी भी त्रिज्या (Radius) से एक वृत्त (Circle) खींचा जा सकता है।
अभिधारणा 4: सभी समकोण (Right angles / 90°) एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
अभिधारणा 5 (सबसे महत्त्वपूर्ण): यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतः कोण (Interior angles) इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोणों (180°) से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं (प्रतिच्छेद करती हैं), जिस ओर यह योग दो समकोणों से कम होता है।

परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण टिप: अक्सर परीक्षा में “अभिगृहीत” और “अभिधारणा” के बीच का अंतर पूछा जाता है। हमेशा याद रखें कि अभिगृहीत पूरे गणित में लागू होते हैं, जबकि अभिधारणाएँ विशेष रूप से केवल ज्यामिति के लिए होती हैं।

बिल्कुल! कक्षा 9 की परीक्षा में ‘यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय’ अध्याय से कुछ बहुत ही विशिष्ट प्रश्न पूछे जाते हैं।

यहाँ परीक्षा के दृष्टिकोण से सबसे महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके उत्तर दिए गए हैं। आप इन्हें अपनी परीक्षा की तैयारी के लिए उपयोग कर सकते हैं:

परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर: यूक्लिड की ज्यामिति

प्रश्न 1: यूक्लिड के ‘अभिगृहीत’ (Axiom) और ‘अभिधारणा’ (Postulate) में क्या मुख्य अंतर है?

उत्तर: * अभिगृहीत (Axioms): ये वे सर्वमान्य सत्य या नियम हैं जिनका उपयोग पूरे गणित (जैसे बीजगणित, अंकगणित आदि) में किया जाता है।

अभिधारणाएँ (Postulates): ये वे सर्वमान्य सत्य हैं जिनका उपयोग विशेष रूप से केवल ज्यामिति (Geometry) के लिए किया जाता है।

प्रश्न 2: यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा (Fifth Postulate) क्या है? इसे सरल शब्दों में लिखिए।

उत्तर: यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा सबसे महत्त्वपूर्ण है। सरल शब्दों में:

“यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं को इस प्रकार काटे कि एक ही ओर बनने वाले दोनों अंतः कोणों (Interior angles) का योग 180° (दो समकोण) से कम हो, तो वे दोनों रेखाएँ उसी ओर आगे बढ़ाने पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करेंगी (काटेंगी), जिस ओर कोणों का योग 180° से कम है।”

प्रश्न 3: बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य? अपने उत्तर का कारण भी दीजिए।

(i) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।

उत्तर: असत्य (False)। एक बिंदु से होकर अनंत (असंख्य) रेखाएँ खींची जा सकती हैं। (आप एक बिंदु बनाकर उससे होकर जाने वाली कई रेखाएँ खींच सकते हैं)।

(ii) दो भिन्न (अलग-अलग) बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ होती हैं।

उत्तर: असत्य (False)। यूक्लिड के अनुसार, किन्हीं दो दिए गए भिन्न बिंदुओं से होकर एक और केवल एक ही (अद्वितीय) सीधी रेखा खींची जा सकती है।

(iii) एक सांत रेखा (Terminated line या रेखाखंड) को दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।

उत्तर: सत्य (True)। यह यूक्लिड की दूसरी अभिधारणा है कि किसी भी सांत रेखा (रेखाखंड) को दोनों ओर अनंत तक बढ़ाया जा सकता है।

प्रश्न 4: यदि एक बिंदु $C$ , रेखाखंड $AB$ के बीच में इस प्रकार स्थित है कि $AC = BC$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $AC = \frac{1}{2}AB$ है। स्पष्ट कीजिए कि इसमें यूक्लिड का कौन-सा अभिगृहीत प्रयोग हुआ है।

उत्तर:

उपपत्ति (Proof):

दिया गया है: $AC = BC$

हम जानते हैं कि बिंदु C, A और B के बीच में है, इसलिए पूरा रेखाखंड AB, AC और BC से मिलकर बना है।

अर्थात्, $AC + BC = AB$

चूँकि $AC = BC$ दिया गया है, इसलिए $BC$ की जगह $AC$ रखने पर:

$AC + AC = AB$

$2AC = AB$

$AC = \frac{1}{2}AB$

प्रयुक्त अभिगृहीत: यहाँ यूक्लिड का दूसरा और चौथा अभिगृहीत प्रयोग हुआ है – “यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं” और “वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं” (क्योंकि $AC+BC$ रेखा $AB$ के संपाती है)।

प्रश्न 5: “प्लेफेयर का अभिगृहीत” (Playfair’s Axiom) क्या है? यह किस अभिधारणा से संबंधित है?

उत्तर:

प्लेफेयर का अभिगृहीत यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का ही एक सरल और समतुल्य (Equivalent) रूप है।

इसके अनुसार: “किसी दी गई रेखा और उस रेखा पर स्थित न होने वाले किसी बिंदु से होकर, दी गई रेखा के समांतर एक और केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।”

(अर्थात् दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकतीं)।

प्रश्न 6: यूक्लिड के अनुसार ‘बिंदु’ (Point) और ‘रेखा’ (Line) की क्या परिभाषा है?

उत्तर:

बिंदु: एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग (लंबाई, चौड़ाई या मोटाई) नहीं होता है।
रेखा: एक रेखा चौड़ाई-रहित लंबाई होती है (अर्थात् इसकी केवल लंबाई होती है, चौड़ाई नहीं)।

छात्रों के लिए टिप: परीक्षा में सत्य/असत्य (True/False) वाले प्रश्न (जैसे प्रश्न 3) और सिद्ध करने वाले प्रश्न (जैसे प्रश्न 4) बहुत बार पूछे जाते हैं। इन्हें लिख कर ज़रूर अभ्यास करें।