MP Board 9th Mathematics Equal Chords and their Distances from the Centre
यहाँ कक्षा 9 के गणित विषय के अध्याय “वृत्त” (Circles) के अत्यंत महत्त्वपूर्ण विषय “समान जीवाएँ और उनकी केंद्र से दूरियाँ” (Equal Chords and their Distances from the Centre) पर विस्तृत, सरल और परीक्षा-उपयोगी नोट्स दिए गए हैं।
अध्याय 9: वृत्त – समान जीवाएँ और उनकी केंद्र से दूरियाँ (Equal Chords and their Distances from the Centre)
1. केंद्र से जीवा की दूरी का अर्थ (Meaning of Distance of a Chord from Centre)
ज्यामिति में, जब भी हम किसी बिंदु (Point) से किसी रेखा (Line) की ‘दूरी’ (Distance) की बात करते हैं, तो उसका अर्थ हमेशा लंबवत दूरी (Perpendicular Distance) होता है, क्योंकि यह सबसे छोटी दूरी होती है।
- अर्थात्: वृत्त के केंद्र
से जीवा 
की दूरी का मतलब है, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब (Perpendicular) 
। - नोट: वृत्त की सबसे लंबी जीवा उसका व्यास (Diameter) होता है, जो केंद्र से होकर गुजरता है। अतः केंद्र से व्यास की दूरी हमेशा शून्य (Zero) होती है।
2. महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems)
इस विषय पर दो मुख्य प्रमेय हैं जो ज्यामिति के कई सवालों को आसानी से हल करने में मदद करते हैं:
प्रमेय 1 (Theorem 1):
“एक वृत्त की (या सर्वांगसम वृत्तों की) बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।”
(Equal chords of a circle (or of congruent circles) are equidistant from the centre.)
- व्याख्या (Explanation): मान लीजिए एक वृत्त का केंद्र है। इसमें दो जीवाएँ और
हैं, जिनकी लंबाई बिल्कुल बराबर है (
)। यदि हम केंद्र से पर लंब 
और पर लंब 
खींचें, तो इस प्रमेय के अनुसार लंबों की लंबाई भी बराबर होगी (अर्थात् 
)।
प्रमेय 2 / विलोम प्रमेय (Theorem 2 / Converse):
“एक वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ (समान दूरी पर स्थित) जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।”
(Chords equidistant from the centre of a circle are equal in length.)
- व्याख्या (Explanation): यह पहले प्रमेय का ठीक उल्टा है। यदि आपको प्रश्न में यह दिया गया है कि केंद्र से दो जीवाओं की लंबवत दूरी बराबर है (), तो आप बिना मापे यह कह सकते हैं कि दोनों जीवाओं की लंबाई भी बिल्कुल बराबर होगी (अर्थात् )।
3. परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Q&A for Exams)
प्रश्न 1 (Question 1): किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा की केंद्र से दूरी कितनी होती है?
उत्तर: वृत्त की सबसे लंबी जीवा उसका ‘व्यास’ (Diameter) होती है, जो हमेशा केंद्र से होकर गुजरती है। इसलिए, इसकी केंद्र से दूरी शून्य (0) होती है।
प्रश्न 2 (Question 2): एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। इसमें 8 सेमी लंबी दो बराबर जीवाएँ और हैं। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
हम जानते हैं कि बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
सबसे पहले हम जीवा की केंद्र से दूरी निकालते हैं।
वृत्त का केंद्र और त्रिज्या 
सेमी है। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब () जीवा को आधा करता है।
अतः 
सेमी।
समकोण 
में पाइथागोरस प्रमेय से:
![\[OA^2 = AM^2 + OM^2\]](https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41b1d24634ec0d0f3c3f78dab32d9fd5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[5^2 = 4^2 + OM^2\]](https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c0d3574c91c6352ecdc7299cdffbe4b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[25 = 16 + OM^2 \implies OM^2 = 9 \implies OM = 3 \text{ सेमी}\]](https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1437791ac6d3cbd3d3e3ec0e508aca44_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
चूँकि
की दूरी 3 सेमी है, अतः जीवा की दूरी भी 3 सेमी ही होगी (प्रमेय 1 के अनुसार)।
प्रश्न 3 (Question 3): एक वृत्त की दो जीवाएँ 
और 
केंद्र से 4 सेमी की समान दूरी पर स्थित हैं। यदि 
सेमी है, तो की लंबाई क्या होगी?
उत्तर:
प्रमेय 2 (विलोम) के अनुसार, यदि दो जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हों, तो उनकी लंबाई भी बराबर होती है।
चूँकि दोनों जीवाओं की केंद्र से दूरी 4 सेमी है, इसलिए 
होगा।
अतः 
सेमी।
प्रश्न 4 (Question 4): यदि एक वृत्त की दो प्रतिच्छेदी (intersecting) जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करती हैं, और वे केंद्र से समान दूरी पर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जीवाएँ बराबर हैं।
उत्तर:
मान लीजिए जीवा और बिंदु 
पर प्रतिच्छेद करती हैं।
दिया है: केंद्र से उनकी दूरी बराबर है, अर्थात् 
(जहाँ 
और 
)।
प्रमेय: हम सीधे प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं कि “केंद्र से समदूरस्थ जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।”
चूँकि दिया गया है,
अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न 5 (Question 5): सत्य या असत्य बताइए और कारण दीजिए: “जैसे-जैसे किसी जीवा की लंबाई बढ़ती है, उसकी केंद्र से दूरी भी बढ़ती जाती है।”
उत्तर:
असत्य (False)।
कारण: जैसे-जैसे जीवा की लंबाई बढ़ती है, वह केंद्र के और अधिक करीब आती जाती है (अर्थात् उसकी केंद्र से दूरी कम होती जाती है)। जब जीवा अधिकतम लंबाई (व्यास) प्राप्त कर लेती है, तो केंद्र से उसकी दूरी शून्य हो जाती है।
प्रश्न 6 (Question 6): यदि दो सर्वांगसम वृत्तों (Congruent Circles) में दो जीवाएँ केंद्र से 2 सेमी की दूरी पर हैं, तो उनकी लंबाइयों का अनुपात क्या होगा?
उत्तर:
सर्वांगसम वृत्तों का अर्थ है कि उनकी त्रिज्याएँ समान हैं।
प्रमेय 1 के अनुसार, सर्वांगसम वृत्तों में समान दूरी पर स्थित जीवाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए, दोनों जीवाओं की लंबाई बराबर होगी (जैसे 
और )।
अतः उनका अनुपात 
होगा।