Class 10 Mathematics chapter real numbers : वास्तविक संख्याएं

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परिभाषा (Definition)

Class 10 Mathematics chapter real numbers : वास्तविक संख्याएं (Real Numbers) वे संख्याएं हैं जो परिमेय संख्याओं (Rational Numbers) और अपरिमेय संख्याओं (Irrational Numbers) के समुच्चय से मिलकर बनती हैं। ये संख्याएं संख्या रेखा (Number Line) पर किसी भी बिंदु को निरूपित कर सकती हैं।

  • परिमेय संख्याएं (Rational Numbers): ऐसी संख्याएं जो p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं, जहां p और q पूर्णांक (Integers) हैं और q ≠ 0। उदाहरण: 1/2, -3, 0.75।
  • अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers): ऐसी संख्याएं जो p/q के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं और जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी (Non-terminating) और अपुनरावृत्त (Non-repeating) होते हैं। उदाहरण: √2, π।

वास्तविक संख्याएं (Real Numbers) सकारात्मक, नकारात्मक, या शून्य हो सकती हैं। इनमें पूर्ण संख्याएं (Whole Numbers), भिन्न (Fractions), दशमलव (Decimals), और अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers) शामिल हैं।

अपरिमेय संख्याओं के प्रकार (Types of Irrational Numbers)

अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers) दो मुख्य प्रकारों में वर्गीकृत की जा सकती हैं:

  1. बीजीय अपरिमेय संख्याएं (Algebraic Irrational Numbers)
    • परिभाषा (Definition): ये ऐसी अपरिमेय संख्याएं हैं जो किसी बीजीय समीकरण (Algebraic Equation) का हल होती हैं, जैसे कि बहुपद समीकरण (Polynomial Equation) जिनके गुणांक पूर्णांक या परिमेय होते हैं।
    • उदाहरण (Examples):
      • √2 (यह x² – 2 = 0 का हल है)
      • √3 (यह x² – 3 = 0 का हल है)
      • ∛5 (यह x³ – 5 = 0 का हल है)
  2. अभ्यंतर अपरिमेय संख्याएं (Transcendental Irrational Numbers)
    • परिभाषा (Definition): ये ऐसी अपरिमेय संख्याएं हैं जो किसी भी बीजीय समीकरण का हल नहीं होतीं। इनका दशमलव प्रसार अनवसानी और अपुनरावृत्त होता है।
    • उदाहरण (Examples):
      • π (Pi, लगभग 3.14159…, गणित में वृत्त से संबंधित)
      • e (Euler’s Number, लगभग 2.71828…, प्राकृतिक लघुगणक में उपयोगी)
      • √2 + √3 (यह भी अभ्यंतर हो सकता है, क्योंकि यह सरल बीजीय समीकरण का हल नहीं है)

संख्या रेखा (Number Line)

संख्या रेखा (Number Line) एक सीधी रेखा है जिस पर वास्तविक संख्याएं (Real Numbers) बिंदुओं के रूप में दर्शाई जाती हैं।

  • मुख्य बिंदु:
    • शून्य (0/Zero) रेखा का केंद्र होता है।
    • दाईं ओर सकारात्मक संख्याएं (Positive Numbers) जैसे +1, +2, √2, π।
    • बाईं ओर नकारात्मक संख्याएं (Negative Numbers) जैसे -1, -2, -√2।
    • परिमेय (Rational) और अपरिमेय (Irrational) संख्याएं दोनों रेखा पर बिंदुओं के रूप में मौजूद होती हैं।
  • विशेषताएं:
    • प्रत्येक वास्तविक संख्या (Real Number) संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु को दर्शाती है।
    • अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers) जैसे √2, π, e को सटीक स्थान पर चिह्नित करना जटिल हो सकता है, लेकिन वे रेखा पर मौजूद होती हैं।

संख्या रेखा का पाठ्य निरूपण (Textual Representation of Number Line)

<---|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|----->
   -3    -2    -1     0    1     2     3
        -√2         -1/2        √2    e     π
  • विवरण:
    • शून्य (0/Zero) केंद्र में है।
    • सकारात्मक संख्याएं (Positive Numbers): 1, 2, 3, √2 (लगभग 1.414), e (लगभग 2.718), π (लगभग 3.14159) दाईं ओर।
    • नकारात्मक संख्याएं (Negative Numbers): -1, -2, -3, -√2 (लगभग -1.414) बाईं ओर।
    • परिमेय संख्या (Rational Number) जैसे -1/2 (-0.5) और अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers) जैसे √2, π, e रेखा पर चिह्नित हैं।

उदाहरण (Examples)

  1. परिमेय संख्याएं (Rational Numbers):
    • 6 (पूर्ण संख्या/Whole Number, 6/1)
    • -5/4 (नकारात्मक भिन्न/Negative Fraction)
    • 0.2 (दशमलव/Decimal, 2/10)
    • 0 (शून्य/Zero, 0/1)
  2. अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers):
    • बीजीय अपरिमेय (Algebraic Irrational):
      • √2 (लगभग 1.414213…, x² – 2 = 0 का हल)
      • √5 (लगभग 2.236067…, x² – 5 = 0 का हल)
      • ∛2 (लगभग 1.259921…, x³ – 2 = 0 का हल)
    • अभ्यंतर अपरिमेय (Transcendental Irrational):
      • π (लगभग 3.14159…, अनवसानी और अपुनरावृत्त/Non-terminating, Non-repeating)
      • e (लगभग 2.71828…, अनवसानी और अपुनरावृत्त/Non-terminating, Non-repeating)
      • √3 + √2 (लगभग 3.146…, बीजीय समीकरण का सरल हल नहीं)

विशेष बिंदु (Key Points)

  • सभी परिमेय संख्याएं (Rational Numbers) और अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers) वास्तविक संख्याएं (Real Numbers) हैं।
  • वास्तविक संख्याएं (Real Numbers) संख्या रेखा (Number Line) पर अनंत बिंदुओं को कवर करती हैं।
  • काल्पनिक संख्याएं (Imaginary Numbers, जैसे √-1) वास्तविक संख्याएं (Real Numbers) नहीं होतीं।
  • अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers) या तो बीजीय (Algebraic) या अभ्यंतर (Transcendental) हो सकती हैं, जो उनके गणितीय गुणों को दर्शाता है।

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