MP Board 9th Mathematics Graphical Representation of Data

यहाँ कक्षा 9 के गणित अध्याय 12 “सांख्यिकी” (Statistics) के अंतर्गत “आँकड़ों का आलेखीय निरूपण” (Graphical Representation of Data) पर विस्तृत नोट्स और परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर दिए गए हैं।

अध्याय 12: आँकड़ों का आलेखीय निरूपण (Graphical Representation of Data)

1. परिचय (Introduction)

आँकड़ों को सारणी के रूप में पढ़ने की तुलना में आलेख (Graph) के रूप में समझना कहीं अधिक सरल और प्रभावशाली होता है। आलेखीय निरूपण से हम आँकड़ों के बीच तुलना और उनके रुझान (Trends) को आसानी से देख सकते हैं।

2. आलेखीय निरूपण के प्रकार (Types of Graphical Representation)

कक्षा 9 के पाठ्यक्रम में मुख्य रूप से निम्नलिखित तीन प्रकार के आलेख हैं:

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(A) दंड आलेख (Bar Graph)

इसका उपयोग अवर्गीकृत आँकड़ों (Discrete data) को दर्शाने के लिए किया जाता है।
इसमें समान चौड़ाई के ऊर्ध्वाधर (Vertical) या क्षैतिज (Horizontal) दंड खींचे जाते हैं।
दंडों के बीच की दूरी समान रखी जाती है।
दंड की ऊँचाई संबंधित बारंबारता (Frequency) के समानुपाती होती है।

(B) आयत चित्र (Histogram)

इसका उपयोग सतत वर्गीकृत आंकड़ों (Continuous grouped data) के लिए किया जाता है।
इसमें दंडों के बीच कोई रिक्त स्थान (Gap) नहीं होता क्योंकि वर्ग अंतराल सतत होते हैं (जैसे 0-10, 10-20)।
यदि वर्ग अंतराल समान नहीं हैं, तो आयतों की चौड़ाई बदल जाती है और ऊँचाई को संशोधित किया जाता है।

(C) बारंबारता बहुभुज (Frequency Polygon)

यह एक बंद आकृति होती है जो वर्गीकृत आँकड़ों को दर्शाती है।
इसे दो तरह से बनाया जा सकता है:
1. आयत चित्र के स्तंभों के ऊपरी मध्य-बिंदुओं को जोड़कर।
2. सीधे वर्ग चिह्नों (Class Marks) का उपयोग करके।
वर्ग चिह्न = $\frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निम्न सीमा}}{2}$

3. परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (Important Q&A)

प्रश्न 1: एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए एक सर्वेक्षण किया और निम्नलिखित आँकड़े (%) प्राप्त किए:

क्रम संख्या	कारण	महिला मृत्यु दर (%)
1.	जनन स्वास्थ्य अवस्था	31.8
2.	तंत्रिका मनोनोविकारी अवस्था	25.4
3.	क्षति	12.4
4.	हृदय वाहिका अवस्था	4.3
5.	श्वसन अवस्था	4.1
6.	अन्य कारण	22.0

(i) इन आँकड़ों को दंड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
(ii) कौन-सी अवस्था पूरे विश्व की महिलाओं की खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का मुख्य कारण है?

उत्तर:
(i) दंड आलेख बनाने के लिए, ‘कारण’ को X-अक्ष पर और ‘मृत्यु दर’ को Y-अक्ष पर दर्शाया जाएगा। (प्रत्येक कारण के लिए एक अलग दंड बनेगा)।
(ii) तालिका को देखने पर स्पष्ट है कि “जनन स्वास्थ्य अवस्था” (31.8%) महिलाओं की मृत्यु का मुख्य कारण है।

प्रश्न 2: एक राज्य के विधानसभा चुनाव में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं:

राजनीतिक पार्टी	A	B	C	D	E	F
जीती गई सीटें	75	55	37	29	10	37

(i) मतदान के परिणामों को दर्शाने वाला एक दंड आलेख खींचिए।
(ii) किस राजनीतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं?

उत्तर:
(ii) पार्टी ‘A’ ने अधिकतम (75) सीटें जीती हैं।

प्रश्न 3: एक आयत चित्र और बारंबारता बहुभुज में मुख्य अंतर क्या है?
उत्तर:

आयत चित्र में आंकड़ों को आयताकार स्तंभों (Bars) के माध्यम से दर्शाया जाता है जो एक-दूसरे से सटे होते हैं।
बारंबारता बहुभुज में वर्ग अंतरालों के मध्य-बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर एक रेखाचित्र बनाया जाता है। बहुभुज को बंद करने के लिए इसे X-अक्ष पर काल्पनिक शून्य बारंबारता वाले बिंदुओं से जोड़ा जाता है।

प्रश्न 4: वर्ग अंतराल 10-20 का वर्ग चिह्न (Class Mark) क्या होगा?
उत्तर:
वर्ग चिह्न = $\frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15$ ।

4. आलेख बनाते समय ध्यान रखने योग्य बातें (Tips for Graphing)

पैमाना (Scale): Y-अक्ष पर पैमाना सही चुनें (जैसे 1 इकाई = 10 व्यक्ति) ताकि पूरा ग्राफ पेपर पर आ जाए।
नामकरण (Labeling): X-अक्ष और Y-अक्ष पर क्या दर्शाया गया है, इसका नाम अवश्य लिखें।
निकाली (Kink/Broken line): यदि आँकड़े शून्य से शुरू न होकर किसी बड़ी संख्या (जैसे 100) से शुरू हो रहे हों, तो X-अक्ष पर ‘निकुंच’ या टेढ़ी-मेढ़ी रेखा ( $\approx$ ) का प्रयोग करें।

निश्चित रूप से! सांख्यिकी के इस महत्वपूर्ण भाग “केंद्रीय प्रवृत्ति के माप” (Measures of Central Tendency) पर ये रहे विस्तृत नोट्स और अभ्यास प्रश्न:

सांख्यिकी: केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (Measures of Central Tendency)

जब हमारे पास बहुत सारा डेटा (आँकड़े) होता है, तो हमें एक ऐसी संख्या की आवश्यकता होती है जो पूरे डेटा का प्रतिनिधित्व कर सके। इसे ही ‘केंद्रीय प्रवृत्ति’ कहते हैं। इसके तीन मुख्य माप हैं:

1. माध्य (Mean – $\bar{x}$ )

यह सभी प्रेक्षणों (observations) का औसत मान होता है।

सूत्र: $\text{माध्य} (\bar{x}) = \frac{\text{प्रेक्षणों का कुल योग}}{\text{प्रेक्षणों की कुल संख्या}}$
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

2. माध्यक (Median – $M$ )

यह डेटा को आरोही (ascending) या अवरोही (descending) क्रम में व्यवस्थित करने पर प्राप्त बीच का मान होता है।

यदि $n$ (संख्या) विषम (Odd) है: $\text{माध्यक} = \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\text{वां}}$ पद।
यदि $n$ (संख्या) सम (Even) है: $\text{माध्यक} = \frac{\left(\frac{n}{2}\right)^{\text{वां}} \text{पद} + \left(\frac{n}{2} + 1\right)^{\text{वां}} \text{पद}}{2}$
[Image illustrating how to find the median in odd and even data sets by ordering numbers]

3. बहुलक (Mode – $Z$ )

दिए गए आँकड़ों में जो संख्या सबसे अधिक बार (जिसकी बारंबारता सबसे अधिक हो) आती है, उसे बहुलक कहते हैं।

महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (Important Q&A)

प्रश्न 1: एक क्रिकेट मैच में 11 खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रन इस प्रकार हैं: 6, 15, 120, 50, 100, 80, 10, 15, 8, 10, 15। इनका माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:

माध्य: $\frac{6+15+120+50+100+80+10+15+8+10+15}{11} = \frac{429}{11} = 39$
माध्यक: आँकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर: 6, 8, 10, 10, 15, 15, 15, 50, 80, 100, 120।
यहाँ $n = 11$ (विषम) है, अतः $\left(\frac{11+1}{2}\right) = 6^{\text{वां}}$ पद 15 है।
बहुलक: संख्या 15 सबसे अधिक बार (3 बार) आई है। अतः बहुलक 15 है।

प्रश्न 2: यदि 5 प्रेक्षणों $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ का माध्य 11 है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
$\frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8)}{5} = 11$
$\frac{5x + 20}{5} = 11 \implies x + 4 = 11$
$x = 11 - 4 =$ 7

प्रश्न 3: प्रथम 5 पूर्ण संख्याओं (Whole Numbers) का माध्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
प्रथम 5 पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4
$\text{माध्य} = \frac{0+1+2+3+4}{5} = \frac{10}{5} =$ 2

प्रश्न 4: आँकड़ों 14, 25, 14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18 का बहुलक क्या है?
उत्तर:
संख्या 14 सबसे अधिक बार (4 बार) आई है। अतः बहुलक 14 है।

याद रखने योग्य ‘शॉर्टकट’ टिप्स (Quick Tips)

बहुलक (Mode): सबसे ‘पॉपुलर’ नंबर।
माध्यक (Median): डेटा की ‘बीच वाली गली’। (क्रम में जमाना कभी न भूलें!)
माध्य (Mean): सबका साथ, सबका विकास (सबको जोड़कर भाग देना)।