MP Board 9th Mathamatics Area of a Triangle by Heron's Formula

MP Board 9th Mathamatics Area of a Triangle by Heron’s Formula

यहाँ कक्षा 9 के गणित विषय के अध्याय “हीरोन का सूत्र” (Heron’s Formula) के अंतर्गत “त्रिभुज का क्षेत्रफल – हीरोन के सूत्र द्वारा” (Area of a Triangle – by Heron’s Formula) पर विस्तृत और परीक्षा-उपयोगी नोट्स दिए गए हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल – हीरोन के सूत्र द्वारा (Area of a Triangle – by Heron’s Formula)

1. परिचय (Introduction)

आमतौर पर, जब हमें किसी त्रिभुज का आधार (Base) और उसकी लंबवत ऊँचाई (Height/Altitude) ज्ञात होती है, तो हम त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए इस सरल सूत्र का उपयोग करते हैं:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$

लेकिन, कई बार ऐसी स्थिति आती है जब हमें त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई (All three sides) तो पता होती है, लेकिन उसकी ऊँचाई ज्ञात नहीं होती। ऐसी स्थिति में, त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए मिस्र (Egypt) के महान गणितज्ञ हीरोन (Heron) द्वारा दिए गए सूत्र का उपयोग किया जाता है। इसे ‘हीरो (Hero) का सूत्र’ भी कहा जाता है।

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2. हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula)

हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ क्रमशः $a, b,$ और $c$ हैं, तो उसका क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

जहाँ:

$a, b, c$ = त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ हैं।
$s$ = त्रिभुज का अर्ध-परिमाप (Semi-perimeter) है।

अर्ध-परिमाप ( $s$ ) कैसे निकालें?
परिमाप का अर्थ होता है तीनों भुजाओं का योग ( $a + b + c$ )। अर्ध-परिमाप (s) इसका आधा होता है।

$s = \frac{a + b + c}{2}$

3. इस सूत्र का उपयोग कब और कहाँ करें? (When and Where to use this formula?)

विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle): जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ अलग-अलग हों और ऊँचाई न दी गई हो, तब यह सूत्र सबसे अधिक उपयोगी होता है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने में: यदि किसी चतुर्भुज की चारों भुजाएँ और एक विकर्ण (Diagonal) दिया गया हो, तो विकर्ण उस चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँट देता है। हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करके दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल अलग-अलग निकाल सकते हैं और फिर उन्हें जोड़कर पूरे चतुर्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त कर सकते हैं।

4. परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Q&A for Exams)

प्रश्न 1: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 8 सेमी और 11 सेमी हैं और जिसका परिमाप 32 सेमी है।
उत्तर:
मान लीजिए भुजाएँ $a = 8$ सेमी और $b = 11$ सेमी हैं। तीसरी भुजा $c$ हमें ज्ञात करनी है।
दिया गया है: परिमाप ( $a + b + c$ ) = 32 सेमी
$8 + 11 + c = 32$
$19 + c = 32 \implies c = 32 - 19 =$ $13$ सेमी।
अब, अर्ध-परिमाप ( $s$ ) = $\frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{32}{2} =$ $16$ सेमी।
हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{16(16 - 8)(16 - 11)(16 - 13)}$
$= \sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3}$
$= \sqrt{4 \times 4 \times 4 \times 2 \times 5 \times 3}$
$= 4 \times 2 \sqrt{2 \times 5 \times 3}$
= $8\sqrt{30} \text{ सेमी}^2$

प्रश्न 2: एक त्रिभुजाकार भूखंड (Plot) की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है और उसका परिमाप 300 मी है। इस भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
मान लीजिए भुजाएँ $3x, 5x$ और $7x$ हैं।
परिमाप = $300$ मी
$3x + 5x + 7x = 300$
$15x = 300 \implies x = \frac{300}{15} = 20$
अतः भुजाएँ होंगी:
$a = 3 \times 20 = 60$ मी
$b = 5 \times 20 = 100$ मी
$c = 7 \times 20 = 140$ मी
अर्ध-परिमाप ( $s$ ) = $\frac{300}{2} = 150$ मी।
क्षेत्रफल = $\sqrt{150(150 - 60)(150 - 100)(150 - 140)}$
$= \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10}$
$= \sqrt{15 \times 10 \times 9 \times 10 \times 5 \times 10 \times 10}$
$= \sqrt{3 \times 5 \times 10 \times 3 \times 3 \times 10 \times 5 \times 10 \times 10}$
$= 10 \times 10 \times 3 \times 5 \sqrt{3}$
= $1500\sqrt{3} \text{ मी}^2$

प्रश्न 3: एक समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle) का परिमाप 30 सेमी है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी लंबाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं।
अतः, $a = 12$ सेमी और $b = 12$ सेमी। तीसरी भुजा $c$ ज्ञात करनी है।
परिमाप = 30 सेमी
$12 + 12 + c = 30$
$24 + c = 30 \implies c = 30 - 24 = 6$ सेमी।
अर्ध-परिमाप ( $s$ ) = $\frac{30}{2} = 15$ सेमी।
क्षेत्रफल = $\sqrt{15(15 - 12)(15 - 12)(15 - 6)}$
$= \sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9}$
$= \sqrt{5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}$
$= 3 \times 3 \sqrt{15}$
= $9\sqrt{15} \text{ सेमी}^2$

प्रश्न 4: एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी हैं। हीरोन के सूत्र का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
यहाँ $a = 5$ सेमी, $b = 12$ सेमी, $c = 13$ सेमी।
$s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$ सेमी।
क्षेत्रफल = $\sqrt{15(15 - 5)(15 - 12)(15 - 13)}$
$= \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2}$
$= \sqrt{3 \times 5 \times 5 \times 2 \times 3 \times 2}$
$= 3 \times 5 \times 2$
= $30 \text{ सेमी}^2$
(ध्यान दें: चूँकि $5^2 + 12^2 = 13^2$ है, यह एक समकोण त्रिभुज भी है, जिसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$ सेमी² सीधे निकाला जा सकता है।)

प्रश्न 5: क्या हीरोन का सूत्र समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) पर लागू होता है? यदि हाँ, तो $a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से निकाल कर दिखाइए।
उत्तर:
हाँ, हीरोन का सूत्र किसी भी प्रकार के त्रिभुज पर लागू होता है।
समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं: $a, a, a$
$s = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2}$
क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{\frac{3a}{2} \left(\frac{3a}{2} - a\right) \left(\frac{3a}{2} - a\right) \left(\frac{3a}{2} - a\right)}$
$= \sqrt{\frac{3a}{2} \left(\frac{a}{2}\right) \left(\frac{a}{2}\right) \left(\frac{a}{2}\right)}$
$= \sqrt{\frac{3a^4}{16}}$
= $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ (यही समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का मानक सूत्र है)।