MP Board 9th Mathematics Solution of a Linear Equation

यहाँ कक्षा 9 के छात्रों के लिए “रैखिक समीकरण का हल” (Solution of a Linear Equation) विषय पर अत्यंत सरल, विस्तृत और परीक्षा-उपयोगी नोट्स दिए गए हैं। इसमें महत्त्वपूर्ण प्रश्नों को हल सहित समझाया गया है।

कक्षा 9 गणित: दो चरों वाले रैखिक समीकरण का हल (Solution of a Linear Equation) – विस्तृत नोट्स

1. ‘समीकरण के हल’ का क्या अर्थ है?

एक चर वाले समीकरण का हल: एक चर वाले रैखिक समीकरण (जैसे $2x + 5 = 0$ ) का एक अद्वितीय (Unique) अर्थात् केवल एक ही हल होता है।
दो चरों वाले समीकरण का हल: चूँकि दो चरों वाले रैखिक समीकरण (जैसे $2x + 3y = 12$ ) में दो चर ( $x$ और $y$ ) होते हैं, इसलिए इसके हल का अर्थ है $x$ और $y$ के मानों का वह जोड़ा जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता हो (अर्थात् बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष हो जाए)।
हल लिखने का तरीका: हल को हमेशा एक क्रमित युग्म (Ordered pair) $(x, y)$ के रूप में कोष्ठक के अंदर लिखा जाता है, जिसमें हमेशा पहला मान $x$ का और दूसरा मान $y$ का होता है।

2. सबसे महत्त्वपूर्ण नियम (स्वर्णिम तथ्य)

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely many solutions) होते हैं।
कारण: आप अपनी इच्छानुसार $x$ का कोई भी मान रख सकते हैं, और उसके संगत आपको $y$ का एक नया मान प्राप्त हो जाएगा। इसी प्रकार $y$ का मान रखने पर $x$ का नया मान प्राप्त होगा।

3. हल ज्ञात करने की सबसे आसान विधि (Method to find solutions)

किसी समीकरण के हल ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका यह है:

सबसे पहले समीकरण में $x = 0$ रखें और $y$ का मान ज्ञात कर लें।
फिर समीकरण में $y = 0$ रखें और $x$ का मान ज्ञात कर लें।
और अधिक हल चाहिए तो $x = 1, 2, -1$ आदि रखकर $y$ के संगत मान निकाल लें।

परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण अभ्यास प्रश्न और उनके हल (Important Q&A)

प्रश्न 1: समीकरण $y = 3x + 5$ के कितने हल हैं, और क्यों?

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(a) एक अद्वितीय हल है

(b) केवल दो हल हैं

उत्तर: (c) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

कारण: क्योंकि $x$ के प्रत्येक मान के लिए $y$ का एक संगत मान होता है और इसी प्रकार $y$ के प्रत्येक मान के लिए $x$ का एक संगत मान होता है। यह दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।

प्रश्न 2: समीकरण $x + 2y = 6$ के चार अलग-अलग हल ज्ञात कीजिए।

हल:

समीकरण है: $x + 2y = 6$

पहला हल: $x = 0$ रखने पर, $0 + 2y = 6 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$ अतः पहला हल $(0, 3)$ है।
दूसरा हल: $y = 0$ रखने पर, $x + 2(0) = 6 \Rightarrow x = 6$ अतः दूसरा हल $(6, 0)$ है।
तीसरा हल: $x = 2$ रखने पर, $2 + 2y = 6 \Rightarrow 2y = 6 - 2 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$ अतः तीसरा हल $(2, 2)$ है।
चौथा हल: $y = 1$ रखने पर, $x + 2(1) = 6 \Rightarrow x + 2 = 6 \Rightarrow x = 4$ अतः चौथा हल $(4, 1)$ है।उत्तर: चार हल $(0, 3), (6, 0), (2, 2)$ और $(4, 1)$ हैं।

प्रश्न 3: समीकरण $2x + 5y = 0$ के दो हल ज्ञात कीजिए।

हल:

पहला हल: $x = 0$ रखने पर, $2(0) + 5y = 0 \Rightarrow 5y = 0 \Rightarrow y = 0$ अतः पहला हल $(0, 0)$ है।
दूसरा हल: $x = 1$ रखने पर, $2(1) + 5y = 0 \Rightarrow 2 + 5y = 0 \Rightarrow 5y = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{5}$ अतः दूसरा हल $(1, -\frac{2}{5})$ है।

प्रश्न 4: बताइए कि बिंदु $(0, 2)$ और $(4, 0)$ समीकरण $x - 2y = 4$ के हल हैं या नहीं।

हल:

दिया गया समीकरण: $x - 2y = 4$ (यहाँ बायाँ पक्ष $LHS = x - 2y$ और दायाँ पक्ष $RHS = 4$ )

बिंदु $(0, 2)$ के लिए जाँच: $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर: $LHS = 0 - 2(2) = 0 - 4 = -4$ चूँकि $LHS \neq RHS$ ( $-4 \neq 4$ ), अतः $(0, 2)$ समीकरण का हल नहीं है।
बिंदु $(4, 0)$ के लिए जाँच: $x = 4$ और $y = 0$ रखने पर: $LHS = 4 - 2(0) = 4 - 0 = 4$ चूँकि $LHS = RHS$ ( $4 = 4$ ), अतः $(4, 0)$ समीकरण का हल है।