MP Board 9th Mathematics Linear Equations in Two Variables Introduction

यहाँ कक्षा 9 के छात्रों के लिए “दो चरों वाले रैखिक समीकरण” (Linear Equations in Two Variables) के परिचय पर विस्तृत और सरल नोट्स दिए गए हैं।

पिछली कक्षाओं में हमने एक चर वाले रैखिक समीकरणों का अध्ययन किया है, जैसे: $x+1=0$ या $\sqrt{2}y+\sqrt{3}=0$ ।
इस प्रकार के समीकरणों का एक अद्वितीय (unique) अर्थात् केवल एक ही हल होता है ।
इन समीकरणों के हल (मूल) को संख्या रेखा (Number line) पर निरूपित किया जा सकता है । उदाहरण के लिए, समीकरण $2x+5=0$ का हल $x = -\frac{5}{2}$ है ।

एक समीकरण को हल करते समय निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना चाहिए, जिनसे रैखिक समीकरण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है:

समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जा सकती है ।
समीकरण के दोनों पक्षों को समान शून्येतर (non-zero) संख्या से गुणा या भाग दिया जा सकता है ।

जब किसी स्थिति में दो अज्ञात राशियाँ (unknown quantities) हों, तो उन्हें दर्शाने के लिए हम दो चरों (जैसे $x$ और $y$ ) का प्रयोग करते हैं ।
उदाहरण: मान लीजिए कि एक क्रिकेट मैच में दो बल्लेबाजों ने एक साथ मिलकर 176 रन बनाए । यहाँ दोनों बल्लेबाजों द्वारा बनाए गए रन अज्ञात हैं । यदि एक बल्लेबाज के रन $x$ और दूसरे के रन $y$ मान लिए जाएँ, तो इसे समीकरण के रूप में $x + y = 176$ लिखा जाएगा ।
यह दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण का उदाहरण है ।
सामान्यतः चरों को $x$ और $y$ से प्रकट किया जाता है, परंतु अन्य अक्षरों का भी प्रयोग किया जा सकता है, जैसे: $1.2s + 3t = 5$ या $p + 4q = 7$ ।

उस समीकरण को जिसे $ax+by+c=0$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता हो, “दो चरों वाला रैखिक समीकरण” (linear equation in two variables) कहा जाता है ।
यहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं ।
इसके लिए आवश्यक शर्त यह है कि $a$ और $b$ दोनों शून्य नहीं होने चाहिए ।
उदाहरण: समीकरण $2x+3y=4.37$ को $2x+3y-4.37=0$ के रूप में लिखा जा सकता है । इस स्थिति में तुलना करने पर $a=2, b=3$ और $c=-4.37$ प्राप्त होता है ।

एक चर वाले समीकरण (जैसे $ax+b=0$ ) को भी दो चरों वाले समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ।
इसे दर्शाने के लिए दूसरे (अनुपस्थित) चर का गुणांक (coefficient) शून्य (0) मान लिया जाता है, अर्थात् $ax+0.y+b=0$ ।
उदाहरण: समीकरण $x=-5$ को $1.x + 0.y + 5 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है । इसी प्रकार, $y=2$ को $0.x + 1.y - 2 = 0$ लिखा जा सकता है ।