MP Board 9th Mathematics Algebraic Identities

by

MP Board 9th Mathematics Algebraic Identities

कक्षा 9 गणित: बीजीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities) – संपूर्ण नोट्स और प्रश्न-उत्तर

गणित में बहुपदों का गुणा करने और उनके गुणनखंड (Factorization) ज्ञात करने के लिए बीजीय सर्वसमिकाओं का बहुत महत्त्व है। आइए इन्हें विस्तार से समझते हैं और परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्नों का अभ्यास करते हैं।

1. बीजीय सर्वसमिका क्या है? (What is an Algebraic Identity?)

बीजीय सर्वसमिका (Algebraic Identity) एक ऐसा बीजीय समीकरण होता है जो उसमें उपस्थित चरों (variables) के सभी मानों के लिए सत्य होता है । इसका उपयोग अभिकलनों (computations) को आसान बनाने और व्यंजकों का गुणनखंडन करने में किया जाता है 。

WhatsApp Channel Join Now
Telegram Channel Join Now

2. कक्षा 9 के लिए महत्त्वपूर्ण बीजीय सर्वसमिकाएँ (Standard Algebraic Identities)

कक्षा 9 के पाठ्यक्रम में मुख्य रूप से 8 बीजीय सर्वसमिकाएँ दी गई हैं, जिन्हें आपको अच्छी तरह याद कर लेना चाहिए

  • सर्वसमिका I: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 
  • सर्वसमिका II: (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 
  • सर्वसमिका III: x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) 
  • सर्वसमिका IV: (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab 
  • सर्वसमिका V: (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx 
  • सर्वसमिका VI: (x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) 
  • सर्वसमिका VII: (x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y) 
  • सर्वसमिका VIII: x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) 

3. परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (Important Q&A)

आइए अब ऊपर दी गई सर्वसमिकाओं का उपयोग करके कुछ महत्त्वपूर्ण प्रश्नों को हल करते हैं।

प्रश्न 1: उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करके (x+3)(x+3) का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ हम सर्वसमिका I (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 का प्रयोग कर सकते हैं 
इस सर्वसमिका में y=3 रखने पर:
(x+3)(x+3) = (x+3)^2
= x^2 + 2(x)(3) + (3)^2
= x^2 + 6x + 9 [cite: 2]

प्रश्न 2: सीधे गुणा न करके 105 \times 106 का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: 105 \times 106 = (100+5) \times (100+6) 
यहाँ सर्वसमिका IV: (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab लागू करने पर:
= (100)^2 + (5+6)(100) + (5 \times 6) 
= 10000 + 1100 + 30 
= 11130 

प्रश्न 3: गुणनखंड ज्ञात कीजिए: 49a^2 + 70ab + 25b^2

हल:
यहाँ आप देख सकते हैं कि: 
49a^2 = (7a)^2
25b^2 = (5b)^2
70ab = 2(7a)(5b) 
इसकी तुलना सर्वसमिका I x^2 + 2xy + y^2 से करने पर, हम पाते हैं कि x = 7a और y = 5b है 
= (7a + 5b)^2 
= (7a + 5b)(7a + 5b) 

प्रश्न 4: सर्वसमिका का प्रयोग करके (3a + 4b + 5c)^2 को प्रसारित रूप में लिखिए।

हल:
दिए हुए व्यंजक की तुलना सर्वसमिका V: (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx से करने पर, हम पाते हैं कि x = 3a, y = 4b और z = 5c है 
अतः,
(3a+4b+5c)^2 = (3a)^2 + (4b)^2 + (5c)^2 + 2(3a)(4b) + 2(4b)(5c) + 2(5c)(3a)
= 9a^2 + 16b^2 + 25c^2 + 24ab + 40bc + 30ac

प्रश्न 5: उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके (104)^3 का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
हम इसे लिख सकते हैं: (104)^3 = (100 + 4)^3 
सर्वसमिका VI: (x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) का प्रयोग करने पर: 
= (100)^3 + (4)^3 + 3(100)(4)(100 + 4) 
= 1000000 + 64 + 124800 
= 1124864 

प्रश्न 6: 8x^3 + 27y^3 + 36x^2y + 54xy^2 का गुणनखंडन कीजिए।

हल:
दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 
(2x)^3 + (3y)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 
यह सर्वसमिका VI x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2 = (x+y)^3 का प्रसारित रूप है 
अतः,
= (2x + 3y)^3 
= (2x + 3y)(2x + 3y)(2x + 3y) 

नोट: इन प्रश्नों का अभ्यास बार-बार करें। बीजीय सर्वसमिकाएँ न केवल कक्षा 9 की परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण हैं, बल्कि आगे की कक्षाओं के लिए भी ये एक बहुत बड़ा आधार हैं!

Leave a Comment