MP Board 9th Mathematics Zeros on a Polynomial

कक्षा 9 गणित: बहुपद के शून्यक (Zeroes of a Polynomial) – विस्तृत नोट्स और प्रश्न-उत्तर

गणित में ‘बहुपद’ (Polynomials) का अध्ययन करते समय ‘बहुपद के शून्यक’ (Zeroes of a Polynomial) एक बहुत ही महत्त्वपूर्ण विषय है । इस पोस्ट में हम समझेंगे कि बहुपद का मान कैसे निकालते हैं, शून्यक क्या होता है और इसे कैसे ज्ञात किया जाता है । साथ ही, परीक्षा की तैयारी के लिए हम कुछ महत्त्वपूर्ण प्रश्नों को भी हल करेंगे।

1. किसी बिंदु पर बहुपद का मान (Value of a Polynomial)

मान लीजिए $p(x)$ चर $x$ में एक बहुपद है । यदि हम $x$ के स्थान पर कोई वास्तविक संख्या प्रतिस्थापित करते हैं, तो जो परिणाम प्राप्त होता है, उसे उस बिंदु पर $p(x)$ का मान कहते हैं ।

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उदाहरण: यदि $p(x) = 5x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ है, और हम $x = 1$ रखते हैं:

$p(1) = 5(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2$
$p(1) = 5 - 2 + 3 - 2 = 4$

अतः, $x=1$ पर बहुपद $p(x)$ का मान 4 है ।

2. बहुपद का शून्यक क्या है? (What is a Zero of a Polynomial?)

व्यापक रूप में, हम यह कहते हैं कि बहुपद $p(x)$ का शून्यक एक ऐसी संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो ।

दूसरे शब्दों में, चर का वह मान जिसे बहुपद में रखने पर पूरे बहुपद का मान शून्य (0) हो जाए, उसे बहुपद का शून्यक कहते हैं ।
बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण $p(x) = 0$ को हल करना । इस स्थिति में शून्यक को समीकरण का “मूल” (root) भी कहा जाता है ।

3. शून्यक के बारे में महत्त्वपूर्ण तथ्य (Key Properties of Zeroes)

बहुपदों के शून्यकों के संबंध में निम्नलिखित बातें हमेशा याद रखनी चाहिए:

आवश्यक नहीं है कि बहुपद का शून्यक शून्य ही हो ।
0 (शून्य), बहुपद का एक शून्यक हो सकता है ।
प्रत्येक रैखिक बहुपद का एक और केवल एक शून्यक होता है ।
एक बहुपद के एक से अधिक शून्यक हो सकते हैं ।
एक शून्येतर अचर बहुपद (Non-zero constant polynomial) का कोई शून्यक नहीं होता है ।
प्रत्येक वास्तविक संख्या शून्य बहुपद का एक शून्यक होती है ।

4. रैखिक बहुपद का शून्यक कैसे निकालें? (How to find the zero of a Linear Polynomial)

यदि $p(x) = ax + b$ , जहाँ $a \neq 0$ एक रैखिक बहुपद है, तो इसका शून्यक ज्ञात करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखते हैं ।

$ax + b = 0$
$ax = -b$
$x = -\frac{b}{a}$

अतः, $x = -\frac{b}{a}$ रैखिक बहुपद का एक और केवल एक शून्यक होता है ।

5. परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (Important Questions with Solutions)

प्रश्न 1: $x = 1$ पर बहुपद $p(x) = 5x^2 - 3x + 7$ का मान ज्ञात कीजिए । हल: $x = 1$ पर बहुपद $p(x)$ का मान यह होता है: $p(1) = 5(1)^2 - 3(1) + 7$ $p(1) = 5 - 3 + 7 = 9$ अतः, बहुपद का मान 9 है ।

प्रश्न 2: जाँच कीजिए कि -2 और 2 बहुपद $x + 2$ के शून्यक हैं या नहीं । हल: मान लीजिए $p(x) = x + 2$ $x = 2$ रखने पर: $p(2) = 2 + 2 = 4$ $x = -2$ रखने पर: $p(-2) = -2 + 2 = 0$ अतः -2 बहुपद $x + 2$ का एक शून्यक है, परन्तु 2 बहुपद $x + 2$ का शून्यक नहीं है ।

प्रश्न 3: बहुपद $p(x) = 2x + 1$ का एक शून्यक ज्ञात कीजिए । हल: $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण $p(x) = 0$ को हल करना । $2x + 1 = 0$ $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$ अतः, $-\frac{1}{2}$ बहुपद $2x + 1$ का एक शून्यक है ।

प्रश्न 4: सत्यापित कीजिए कि 2 और 0 बहुपद $x^2 - 2x$ के शून्यक हैं । हल: मान लीजिए $p(x) = x^2 - 2x$ $x = 2$ रखने पर: $p(2) = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$ $x = 0$ रखने पर: $p(0) = 0^2 - 2(0) = 0 - 0 = 0$ अतः, 2 और 0 दोनों ही बहुपद $x^2 - 2x$ के शून्यक हैं ।

प्रश्न 5: बहुपद $p(x) = cx + d$ का शून्यक ज्ञात कीजिए, जहाँ $c \neq 0$ है तथा $c$ और $d$ वास्तविक संख्याएँ हैं । हल: शून्यक ज्ञात करने के लिए, $p(x) = 0$ रखने पर: $cx + d = 0$ $cx = -d$ $x = -\frac{d}{c}$ अतः, इस बहुपद का शून्यक $-\frac{d}{c}$ है ।