बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ : MP Board 10th Mathematics Geometrical Meaning of Polynomial

MP Board 10th Mathematics Geometrical Meaning of Polynomial : गणित में किसी बहुपद (Polynomial) के शून्यक (Zero) वे संख्याएँ होती हैं जिनके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। इनका ज्यामितीय अर्थ ग्राफ के संदर्भ में समझा जाता है—यह उन बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को काटता है।

शून्यकों का परिभाषा

यदि कोई बहुपद ( P(x) ) दिया गया हो, तो उसका शून्यक वह मान ( x ) होगा जिसके लिए:

( P(x) = 0 )

यह x-अक्ष पर बहुपद ग्राफ के छूने या काटने वाले बिंदु को दर्शाता है।

ज्यामितीय अर्थ

बहुपद ( P(x) ) के शून्यकों को x-अक्ष पर ग्राफ के साथ इसके प्रतिच्छेद (intersection points) के रूप में देखा जा सकता है।

यदि किसी बहुपद का एक शून्यक है, तो वह ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है।
यदि बहुपद के एक से अधिक शून्यक हैं, तो ग्राफ कई स्थानों पर x-अक्ष को काटता है।
यदि कोई शून्यक दोहराया जाता है, तो ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श करता है लेकिन पार नहीं करता।

उदाहरण और स्पष्टीकरण

1. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)

बहुपद: ( P(x) = x – 3 )
शून्यक: ( P(3) = 3 – 3 = 0 )
ज्यामितीय व्याख्या:

इस बहुपद का ग्राफ एक सीधी रेखा है।
यह x-अक्ष को (3,0) बिंदु पर काटता है।

2. द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial)

बहुपद: ( P(x) = x^2 – 5x + 6 )
शून्यक खोजें:

( x^2 – 5x + 6 = 0 )
( (x – 2)(x – 3) = 0 )
( x = 2, 3 )

ज्यामितीय व्याख्या:

इसका ग्राफ एक परबोला (Parabola) है।
यह x-अक्ष को (2,0) और (3,0) पर काटता है।

3. घनात्मक बहुपद (Cubic Polynomial)

बहुपद: ( P(x) = x^3 – 4x^2 + x + 6 )
शून्यक खोजें:

( x^3 – 4x^2 + x + 6 = 0 )
शून्यकों की गणना से मान प्राप्त होते हैं: ( x = -1, 2, 3 )

ज्यामितीय व्याख्या:

इसका ग्राफ एक घनात्मक वक्र (Cubic Curve) है।
यह x-अक्ष को तीन बिंदुओं (-1,0), (2,0), (3,0) पर काटता है।

निष्कर्ष

बहुपद के शून्यक ज्यामितीय रूप से x-अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेद को दर्शाते हैं। रैखिक बहुपद में एक शून्यक, द्विघात में अधिकतम दो, और घनात्मक में तीन शून्यक होते हैं। इनका अध्ययन गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण है।