MP Board 9th Mathematics Pairs of Angles

यहाँ कक्षा 9 के गणित विषय के अध्याय “रेखाएँ और कोण” के एक बहुत ही महत्त्वपूर्ण टॉपिक “कोणों के युग्म” (Pairs of Angles) पर विस्तृत नोट्स और पर्याप्त उदाहरण दिए गए हैं। आप इन्हें अपनी पढ़ाई के लिए उपयोग कर सकते हैं:

कक्षा 9 गणित: कोणों के युग्म (Pairs of Angles) – संपूर्ण नोट्स

ज्यामिति (Geometry) में जब दो कोण एक साथ मिलकर कोई विशेष स्थिति या संबंध बनाते हैं, तो उन्हें ‘कोणों का युग्म’ (जोड़ा) कहा जाता है। ज्यामिति के अधिकांश प्रश्न इन्हीं युग्मों के नियमों पर आधारित होते हैं। आइए इन्हें विस्तार से और उदाहरणों के साथ समझते हैं:

1. आसन्न कोण (Adjacent Angles)

दो कोण ‘आसन्न कोण’ कहलाते हैं, यदि वे एक-दूसरे से बिल्कुल सटे हुए हों (यानी पड़ोसी हों)। आसन्न कोण होने के लिए निम्नलिखित तीन शर्तें पूरी होनी चाहिए:

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उनका शीर्ष (Vertex) एक ही (उभयनिष्ठ) हो।
उनकी एक भुजा (Arm) उभयनिष्ठ (Common) हो।
जो भुजाएँ उभयनिष्ठ नहीं हैं, वे उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत ओर (एक बाईं तरफ और एक दाईं तरफ) स्थित हों।

उदाहरण: यदि आप एक पिज्जा के स्लाइस को बीच से काट दें, तो बनने वाले दोनों नए कोण एक-दूसरे के आसन्न कोण होंगे क्योंकि वे एक ही किनारे (भुजा) से जुड़े हैं।

2. कोणों का रैखिक युग्म (Linear Pair of Angles)

यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण नियम है!

जब दो आसन्न कोणों का योग (Total) ठीक 180° हो जाता है, तो उनकी बाहरी भुजाएँ मिलकर एक बिल्कुल सीधी रेखा (Straight line) बना लेती हैं। ऐसे कोणों के जोड़े को ‘कोणों का रैखिक युग्म’ कहते हैं।

रैखिक युग्म अभिगृहीत (Axiom): यदि एक सीधी रेखा पर कोई किरण खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
उदाहरण: मान लीजिए एक सीधी रेखा $AB$ पर एक किरण $OC$ खड़ी है। यदि $\angle AOC = 60^\circ$ है, तो $\angle BOC$ का मान $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ होगा। $(60^\circ, 120^\circ)$ एक रैखिक युग्म है।

3. शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angles)

जब दो सीधी रेखाएँ एक-दूसरे को किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (काटती हैं), तो ‘X’ के आकार की आकृति बनती है। इस प्रतिच्छेदन बिंदु पर आमने-सामने (विपरीत दिशा) में बनने वाले कोणों को ‘शीर्षाभिमुख कोण’ कहते हैं।

प्रमेय (Theorem): यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण हमेशा एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
उदाहरण: दो रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर काटती हैं। यदि ऊपर का कोण $\angle AOC = 50^\circ$ है, तो ठीक उसके नीचे (सामने) वाला कोण $\angle BOD$ भी $50^\circ$ ही होगा।

4. पूरक कोण (Complementary Angles)

जब किन्हीं दो कोणों के मापों का योग ठीक 90° (एक समकोण) होता है, तो ऐसे कोणों को एक-दूसरे का ‘पूरक कोण’ कहते हैं।

उदाहरण 1: $30^\circ$ और $60^\circ$ एक-दूसरे के पूरक कोण हैं (क्योंकि $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ )।
उदाहरण 2: यदि आपसे पूछा जाए कि $45^\circ$ का पूरक कोण क्या है?हल: $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ (अतः $45^\circ$ का पूरक कोण $45^\circ$ ही है)।

5. संपूरक कोण (Supplementary Angles)

जब किन्हीं दो कोणों के मापों का योग ठीक 180° (एक ऋजु कोण या सीधी रेखा) होता है, तो ऐसे कोणों को एक-दूसरे का ‘संपूरक कोण’ कहते हैं। (ध्यान दें: रैखिक युग्म बनाने वाले कोण भी हमेशा संपूरक होते हैं)।

उदाहरण 1: $110^\circ$ और $70^\circ$ संपूरक कोण हैं (क्योंकि $110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ )।
उदाहरण 2: यदि एक कोण $105^\circ$ है, तो उसका संपूरक कोण ज्ञात कीजिए।हल: $180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ ।

💡 छात्रों के लिए परीक्षा टिप्स (Exam Tips):

पूरक vs संपूरक की पहचान: ‘पूरक’ (Complementary) शब्द छोटा है, इसलिए इसका योग छोटा (90°) होता है। ‘संपूरक’ (Supplementary) शब्द बड़ा है, इसलिए इसका योग बड़ा (180°) होता है।
$x$ का मान निकालने वाले प्रश्न: यदि किसी चित्र में एक सीधी रेखा (Straight Line) दिखाई दे, तो उस पर बनने वाले सभी कोणों का योग $180^\circ$ के बराबर रखकर समीकरण हल करें। (रैखिक युग्म नियम)।

यहाँ आपके वर्डप्रेस ब्लॉग के लिए “रेखाएँ और कोण” (Lines and Angles) अध्याय के कुछ सबसे महत्त्वपूर्ण और परीक्षा में बार-बार पूछे जाने वाले चित्र-आधारित (Figure-based) प्रश्न और उनके हल दिए गए हैं।

इनमें दिए गए “ टैग्स की जगह आप आसानी से अपनी किताब (NCERT) या इंटरनेट से मिलते-जुलते चित्र लगा सकते हैं।

कक्षा 9 गणित अध्याय 6: ‘रेखाएँ और कोण’ – चित्र-आधारित महत्त्वपूर्ण प्रश्न और हल

परीक्षा में ‘रेखाएँ और कोण’ अध्याय से ज्यामिति के चित्र (Diagrams) देकर $x, y, z$ या अज्ञात कोणों का मान निकालने वाले प्रश्न ज़रूर आते हैं। आइए कुछ सबसे महत्त्वपूर्ण प्रश्नों का अभ्यास करते हैं:

प्रश्न 1: शीर्षाभिमुख कोण और रैखिक युग्म पर आधारित

प्रश्न: दी गई आकृति में, रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle AOC + \angle BOE = 70^\circ$ है और $\angle BOD = 40^\circ$ है, तो $\angle BOE$ और प्रतिवर्ती (Reflex) $\angle COE$ ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ $AB$ और $CD$ प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।

हम जानते हैं कि शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए:

$\angle AOC = \angle BOD$

चूँकि $\angle BOD = 40^\circ$ दिया गया है,

अतः $\angle AOC = 40^\circ$

अब, प्रश्न में दिया है: $\angle AOC + \angle BOE = 70^\circ$

$40^\circ + \angle BOE = 70^\circ$

$\angle BOE = 70^\circ - 40^\circ$

$\angle BOE = 30^\circ$

अब, चूँकि $AOB$ एक सीधी रेखा है, इसलिए इस पर बनने वाले सभी कोणों का योग $180^\circ$ होगा (रैखिक युग्म):

$\angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^\circ$

$40^\circ + \angle COE + 30^\circ = 180^\circ$

$70^\circ + \angle COE = 180^\circ$

$\angle COE = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

हमें ‘प्रतिवर्ती $\angle COE$ ‘ निकालना है:

प्रतिवर्ती $\angle COE = 360^\circ - \angle COE$

प्रतिवर्ती $\angle COE = 360^\circ - 110^\circ =$ $250^\circ$

प्रश्न 2: समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा पर आधारित

प्रश्न: दी गई आकृति में, यदि $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$ है। साथ ही $y : z = 3 : 7$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

चूँकि $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$ है,

इसलिए नियम के अनुसार, एक ही रेखा के समांतर खींची गई रेखाएँ आपस में भी समांतर होती हैं। अतः $AB \parallel EF$ होगा।

जब $AB \parallel EF$ है और एक तिर्यक रेखा उन्हें काट रही है, तो एकांतर अंतः कोण (Alternate Interior Angles) बराबर होते हैं:

अतः $x = z$ …(समीकरण 1)

अब, $AB \parallel CD$ के लिए, तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का योग $180^\circ$ होता है (सह-अंतः कोण):

$x + y = 180^\circ$

समीकरण 1 से $x$ की जगह $z$ रखने पर:

$z + y = 180^\circ$

दिया गया है कि $y : z = 3 : 7$

मान लीजिए $y = 3a$ और $z = 7a$

$7a + 3a = 180^\circ$

$10a = 180^\circ$

$a = 18^\circ$

अब $z$ का मान: $z = 7 \times 18^\circ = 126^\circ$

चूँकि $x = z$ है, इसलिए:

$x = 126^\circ$

प्रश्न 3: सहायक रेखा (Auxiliary Line) खींचने वाला प्रश्न

प्रश्न: दी गई आकृति में, यदि $PQ \parallel ST$ है, $\angle PQR = 110^\circ$ और $\angle RST = 130^\circ$ है, तो $\angle QRS$ ज्ञात कीजिए।

हल:

(संकेत: बिंदु $R$ से होकर रेखा $ST$ के समांतर एक रेखा $XY$ खींचिए।)

रचना: बिंदु $R$ से $ST \parallel XY$ खींची। चूँकि $PQ \parallel ST$ है, इसलिए $PQ \parallel XY$ भी होगा।

अब, $ST \parallel XY$ है और $SR$ एक तिर्यक रेखा है:

$\angle RST + \angle SRY = 180^\circ$ (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण)

$130^\circ + \angle SRY = 180^\circ$

$\angle SRY = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

इसी प्रकार, $PQ \parallel XY$ है और $QR$ तिर्यक रेखा है:

$\angle PQR + \angle QRX = 180^\circ$

$110^\circ + \angle QRX = 180^\circ$

$\angle QRX = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

अब, $XY$ एक सीधी रेखा है, इसलिए बिंदु $R$ पर बनने वाले सभी कोणों का योग $180^\circ$ होगा:

$\angle QRX + \angle QRS + \angle SRY = 180^\circ$

$70^\circ + \angle QRS + 50^\circ = 180^\circ$

$120^\circ + \angle QRS = 180^\circ$

$\angle QRS = 180^\circ - 120^\circ$

$\angle QRS = 60^\circ$

प्रश्न 4: त्रिभुज का बहिष्कोण गुण (Exterior Angle Property)

प्रश्न: दी गई आकृति में, $\Delta PQR$ की भुजाओं $QP$ और $RQ$ को क्रमशः बिंदुओं $S$ और $T$ तक बढ़ाया गया है। यदि $\angle SPR = 135^\circ$ है और $\angle PQT = 110^\circ$ है, तो $\angle PRQ$ ज्ञात कीजिए।