MP Board 9th Mathematics Lines Parallel to the Same Line

यहाँ कक्षा 9 गणित के अध्याय “रेखाएँ और कोण” के एक बहुत ही महत्त्वपूर्ण और स्कोरिंग टॉपिक “एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ” (Lines Parallel to the Same Line) पर विस्तृत नोट्स और परीक्षा-उपयोगी प्रश्न-उत्तर दिए गए हैं।

कक्षा 9 गणित: एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ (Lines Parallel to the Same Line)

जब हम ज्यामिति में कई रेखाओं के साथ काम करते हैं, तो अक्सर ऐसा होता है कि दो अलग-अलग रेखाएँ किसी तीसरी रेखा के समांतर होती हैं। इस स्थिति को हल करने के लिए ज्यामिति में एक बहुत ही महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Theorem) दिया गया है।

महत्त्वपूर्ण प्रमेय 6.6 (NCERT)

कथन: “वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर (एक-दूसरे के भी) समांतर होती हैं।”

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सरल शब्दों में समझें:

मान लीजिए आपके पास तीन रेखाएँ हैं— $l$ , $m$ , और $n$ ।

यदि रेखा $l$ , रेखा $m$ के समांतर है ( $l \parallel m$ )
और रेखा $n$ भी, रेखा $m$ के समांतर है ( $n \parallel m$ )
तो इसका सीधा अर्थ यह है कि $l$ और $n$ भी एक-दूसरे के समांतर होंगी ( $l \parallel n$ )।

प्रमाण (Proof) का मुख्य विचार:

यदि हम एक तिर्यक रेखा (Transversal) $t$ खींचें जो इन तीनों रेखाओं को काटती हो, तो संगत कोणों (Corresponding angles) के नियम से:

$l \parallel m$ होने के कारण, $\angle 1 = \angle 2$ होगा।
$n \parallel m$ होने के कारण, $\angle 3 = \angle 2$ होगा।चूँकि $\angle 1$ और $\angle 3$ दोनों ही $\angle 2$ के बराबर हैं, इसलिए $\angle 1 = \angle 3$ होगा। और क्योंकि ये संगत कोण हैं, इसलिए रेखा $l \parallel n$ सिद्ध हो जाती है।

परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (Important Q&A)

बोर्ड और वार्षिक परीक्षाओं में इस प्रमेय पर आधारित कई प्रश्न पूछे जाते हैं, जिनमें हमें एक अपनी तरफ से ‘रचना’ (Construction) करनी होती है। आइए कुछ सबसे महत्त्वपूर्ण प्रश्नों को हल करते हैं:

प्रश्न 1: अनुपातों (Ratios) पर आधारित प्रश्न

प्रश्न: दी गई आकृति में, यदि $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$ है। साथ ही $y : z = 3 : 7$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

चूँकि $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$ दिया गया है।

प्रमेय 6.6 के अनुसार, एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।

अतः, $AB \parallel EF$ होगा।

जब $AB \parallel EF$ है और एक तिर्यक रेखा उन्हें काट रही है, तो एकांतर अंतः कोण (Alternate Interior Angles) बराबर होते हैं:

अतः $x = z$ …(समीकरण 1)

अब, $AB \parallel CD$ के लिए, तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180° होता है (सह-अंतः कोण):

$x + y = 180^\circ$

समीकरण 1 से $x$ की जगह $z$ रखने पर:

$z + y = 180^\circ$

दिया गया है कि $y : z = 3 : 7$

मान लीजिए $y = 3a$ और $z = 7a$

$7a + 3a = 180^\circ$

$10a = 180^\circ$

$a = 18^\circ$

अब $z$ का मान निकालते हैं: $z = 7 \times 18^\circ = 126^\circ$

चूँकि $x = z$ है, इसलिए:

$x = 126^\circ$

प्रश्न 2: लंबवत रेखाओं (Perpendicular lines) का समावेश

प्रश्न: दी गई आकृति में, $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$ है। यदि $EA \perp AB$ है और $\angle BEF = 55^\circ$ है, तो $x$ , $y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए।