MP Board Class 10 Maths Chapter 5: Arithmetic Progressions (समांतर श्रेढ़ी) - Complete Solutions

Class 10 Maths Chapter 5: Arithmetic Progressions : : MP Board कक्षा 10 गणित अध्याय 5 (समांतर श्रेढ़ी) के महत्वपूर्ण अभ्यास प्रश्नों के विस्तृत और सटीक हल (Solutions)। बोर्ड परीक्षा में पूरे अंक प्राप्त करने के लिए Step-by-Step उत्तर।

MP Board Class 10 Maths Chapter 5: Arithmetic Progressions (समांतर श्रेढ़ी) – Complete Solutions

बोर्ड परीक्षा में गणित के अध्याय “समांतर श्रेढ़ी (A.P.)” से आने वाले प्रश्न बहुत ही स्कोरिंग होते हैं। MPEducator.co.in के इस आर्टिकल में हमने आपकी पाठ्यपुस्तक की प्रश्नावली के सबसे महत्वपूर्ण 14 प्रश्नों (प्रश्न 4 से 17) के सटीक और चरणबद्ध हल (Step-by-step Solutions) प्रदान किए हैं। इन हलों का अभ्यास करके आप परीक्षा के लिए स्वयं को पूरी तरह से तैयार कर सकते हैं।

प्रश्नावली के महत्वपूर्ण प्रश्नों के हल (Solutions of Important Exercise Questions)

प्रश्न 4: A.P. : $3, 8, 13, 18, \dots$ का कौन सा पद $78$ है?

WhatsApp Channel Join Now

Telegram Channel Join Now

हल:

दी गई A.P. में:

प्रथम पद ( $a$ ) = $3$

सार्व अंतर ( $d$ ) = $8 - 3 = 5$

मान लीजिए $n$ वाँ पद $78$ है, अर्थात् $a_n = 78$

सूत्र: $a_n = a + (n - 1)d$

$78 = 3 + (n - 1)5$

$75 = 5(n - 1)$

$n - 1 = 15 \Rightarrow n = 16$

उत्तर: दी गई A.P. का 16वाँ पद $78$ है।

प्रश्न 5: निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?

(i) $7, 13, 19, \dots, 205$

हल:

यहाँ $a = 7$ , $d = 13 - 7 = 6$ , और अंतिम पद $a_n = 205$ है।

$a_n = a + (n - 1)d$

$205 = 7 + (n - 1)6$

$198 = 6(n - 1)$

$n - 1 = 33 \Rightarrow n = 34$

उत्तर: इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं।

(ii) $18, 15\frac{1}{2}, 13, \dots, -47$

हल:

यहाँ $a = 18$ , $d = 15\frac{1}{2} - 18 = \frac{31}{2} - 18 = -\frac{5}{2}$ , और $a_n = -47$ है।

$-47 = 18 + (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right)$

$-65 = (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right)$

$n - 1 = -65 \times \left(-\frac{2}{5}\right)$

$n - 1 = 26 \Rightarrow n = 27$

उत्तर: इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं।

प्रश्न 6: क्या A.P., $11, 8, 5, 2, \dots$ का एक पद $-150$ है? क्यों?

हल:

यहाँ $a = 11$ और $d = 8 - 11 = -3$ है।

माना $n$ वाँ पद $-150$ है, अर्थात् $a_n = -150$

$-150 = 11 + (n - 1)(-3)$

$-161 = -3(n - 1)$

$n - 1 = \frac{161}{3}$

$n = \frac{161}{3} + 1 = \frac{164}{3}$

चूँकि पदों की संख्या ( $n$ ) एक धनात्मक पूर्णांक (Positive Integer) होनी चाहिए, और $\frac{164}{3}$ एक पूर्णांक नहीं है।

उत्तर: नहीं, $-150$ इस A.P. का पद नहीं है।

प्रश्न 7: उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद $38$ है और 16वाँ पद $73$ है।

हल:

$a_{11} = a + 10d = 38$ — (समीकरण 1)

$a_{16} = a + 15d = 73$ — (समीकरण 2)

समीकरण 2 में से 1 को घटाने पर:

$5d = 35 \Rightarrow d = 7$

$d$ का मान समीकरण 1 में रखने पर:

$a + 10(7) = 38 \Rightarrow a = 38 - 70 = -32$

अब, 31वाँ पद ( $a_{31}$ ):

$a_{31} = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178$

उत्तर: A.P. का 31वाँ पद $178$ है।

प्रश्न 8: एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद $12$ है और अंतिम पद $106$ है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

पदों की कुल संख्या $n = 50$ , अतः अंतिम पद 50वाँ पद होगा ( $a_{50} = 106$ )।

$a_3 = a + 2d = 12$ — (समीकरण 1)

$a_{50} = a + 49d = 106$ — (समीकरण 2)

समीकरण 2 में से 1 को घटाने पर:

$47d = 94 \Rightarrow d = 2$

$d$ का मान समीकरण 1 में रखने पर:

$a + 2(2) = 12 \Rightarrow a = 8$

अब, 29वाँ पद ( $a_{29}$ ):

$a_{29} = a + 28d = 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64$

उत्तर: 29वाँ पद $64$ है।

प्रश्न 9: यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः $4$ और $-8$ हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

हल:

$a_3 = a + 2d = 4$ — (समीकरण 1)

$a_9 = a + 8d = -8$ — (समीकरण 2)

समीकरण 2 में से 1 को घटाने पर:

$6d = -12 \Rightarrow d = -2$

समीकरण 1 से:

$a + 2(-2) = 4 \Rightarrow a - 4 = 4 \Rightarrow a = 8$

माना $n$ वाँ पद शून्य है ( $a_n = 0$ ):

$0 = 8 + (n - 1)(-2)$

$-8 = -2(n - 1)$

$n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5$

उत्तर: इस A.P. का 5वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10: किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से $7$ अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्नानुसार: $a_{17} = a_{10} + 7$

$(a + 16d) = (a + 9d) + 7$

$16d - 9d = 7$

$7d = 7 \Rightarrow d = 1$

उत्तर: सार्व अंतर $1$ है।

प्रश्न 11: A.P. : $3, 15, 27, 39, \dots$ का कौन-सा पद उसके 54वें पद से $132$ अधिक होगा?

हल:

यहाँ $a = 3$ और $d = 15 - 3 = 12$ है।

सबसे पहले 54वाँ पद ( $a_{54}$ ) निकालें:

$a_{54} = a + 53d = 3 + 53(12) = 3 + 636 = 639$

माना $n$ वाँ पद 54वें पद से $132$ अधिक है:

$a_n = 639 + 132 = 771$

$771 = 3 + (n - 1)12$

$768 = 12(n - 1)$

$n - 1 = 64 \Rightarrow n = 65$

उत्तर: 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक होगा।

प्रश्न 12: दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

हल:

माना पहली A.P. का प्रथम पद $a$ और दूसरी का $b$ है। दोनों का सार्व अंतर $d$ है।

100वें पदों का अंतर:

$a_{100} - b_{100} = (a + 99d) - (b + 99d) = a - b$

दिया गया है: $a - b = 100$

अब 1000वें पदों का अंतर:

$a_{1000} - b_{1000} = (a + 999d) - (b + 999d) = a - b$

चूँकि $a - b = 100$ है, इसलिए 1000वें पदों का अंतर भी $100$ ही होगा।

उत्तर: 1000वें पदों का अंतर $100$ होगा।

प्रश्न 13: तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

हल:

3 अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 7 से विभाज्य है = $105$

3 अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 7 से विभाज्य है = $994$

A.P. बनेगी: $105, 112, 119, \dots, 994$

यहाँ $a = 105$ , $d = 7$ , और $a_n = 994$ है।

$994 = 105 + (n - 1)7$

$889 = 7(n - 1)$

$n - 1 = 127 \Rightarrow n = 128$

उत्तर: 3 अंकों वाली 128 संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

प्रश्न 14: 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

हल:

10 के बाद 4 का पहला गुणज = $12$

250 से पहले 4 का अंतिम गुणज = $248$

A.P. बनेगी: $12, 16, 20, \dots, 248$

यहाँ $a = 12$ , $d = 4$ , $a_n = 248$ है।

$248 = 12 + (n - 1)4$

$236 = 4(n - 1)$

$n - 1 = 59 \Rightarrow n = 60$

उत्तर: 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं।

प्रश्न 15: $n$ के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों $63, 65, 67, \dots$ और $3, 10, 17, \dots$ के $n$ वें पद बराबर होंगे?

हल:

प्रथम A.P. के लिए: $a = 63, d = 2$

$n$ वाँ पद = $63 + (n - 1)2 = 61 + 2n$

दूसरी A.P. के लिए: $a = 3, d = 7$

$n$ वाँ पद = $3 + (n - 1)7 = -4 + 7n$

प्रश्नानुसार, दोनों के $n$ वें पद बराबर हैं:

$61 + 2n = -4 + 7n$

$65 = 5n \Rightarrow n = 13$

उत्तर: 13वें पद के लिए दोनों श्रेढ़ियों के मान बराबर होंगे।

प्रश्न 16: वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद $16$ है और 7वाँ पद 5वें पद से $12$ अधिक है।

हल:

$a_3 = a + 2d = 16$ — (समीकरण 1)

$a_7 = a_5 + 12$

$(a + 6d) = (a + 4d) + 12$

$2d = 12 \Rightarrow d = 6$

$d$ का मान समीकरण 1 में रखने पर:

$a + 2(6) = 16 \Rightarrow a + 12 = 16 \Rightarrow a = 4$

उत्तर: अभीष्ट A.P. : $4, 10, 16, 22, \dots$ है।

प्रश्न 17: A.P. : $3, 8, 13, \dots, 253$ में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ A.P. का सार्व अंतर $d = 5$ है। अंतिम पद से $n$ वाँ पद निकालने के लिए, हम A.P. को विपरीत क्रम में लिखते हैं।

नयी A.P. का प्रथम पद ( $a$ ) = $253$

नया सार्व अंतर ( $d$ ) = $-5$

अब हमें इस नयी A.P. का 20वाँ पद ( $a_{20}$ ) निकालना है:

$a_{20} = a + 19d = 253 + 19(-5)$

$a_{20} = 253 - 95 = 158$

उत्तर: अंतिम पद से 20वाँ पद $158$ है।