MP Board Class 10 Maths: Sum of First n Terms of an A.P. (A.P. के प्रथम n पदों का योग )

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Sum of First n Terms of an A.P. : MP Board कक्षा 10 गणित के अध्याय “समांतर श्रेढ़ी” (A.P.) के अंतर्गत ‘प्रथम n पदों का योग’ ज्ञात करने के सभी सूत्र, महत्वपूर्ण उदाहरण और प्रश्नावली 5.3 के प्रश्न यहाँ प्राप्त करें।

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MP Board Class 10 Maths: 5.4 A.P. के प्रथम n पदों का योग (Sum of First n Terms of an A.P.)

कक्षा 10वीं की बोर्ड परीक्षा (Board Exams) में गणित विषय के अंतर्गत “समांतर श्रेढ़ी (A.P.)” एक बहुत ही महत्वपूर्ण अध्याय है। इस अध्याय का सबसे स्कोरिंग और विस्तृत भाग “A.P. के प्रथम n पदों का योग” (Sum of first n terms) है।

MPEducator.co.in के इस आर्टिकल में, हमने आपकी पाठ्यपुस्तक में दिए गए योगफल के सभी सूत्रों (Formulas), महत्वपूर्ण उदाहरणों (Examples) और प्रश्नावली 5.3 (Exercise 5.3) के सभी प्रश्नों को संकलित किया है। छात्र इन प्रश्नों को अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखकर परीक्षा की तैयारी कर सकते हैं।

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1. A.P. के प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के सूत्र (Formulas)

सवालों को हल करने से पहले आपको निम्नलिखित मुख्य सूत्रों को अच्छी तरह से याद कर लेना चाहिए:

  • किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग S निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त होता है: S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]।
  • हम इसे इस रूप में भी लिख सकते हैं: S = \frac{n}{2}(a + a_n)।
  • यदि किसी A.P. में केवल n ही पद हैं, तो a_n अंतिम पद l के बराबर होगा। अतः हम देखते हैं कि S = \frac{n}{2}(a + l)।
  • परिणाम का यह रूप उस स्थिति में उपयोगी है, जब A.P. के प्रथम और अंतिम पद दिए हों तथा सार्व अंतर नहीं दिया गया हो।

2. पाठ्यपुस्तक के महत्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples)

बोर्ड परीक्षा में अक्सर सीधे उदाहरणों से प्रश्न पूछे जाते हैं। नीचे दिए गए उदाहरणों का अभ्यास अवश्य करें:

  • उदाहरण 11: A.P. : 8, 3, -2, \dots के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
  • उदाहरण 12: यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है तथा इसका प्रथम पद 10 है तो 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
  • उदाहरण 13: A.P. : 24, 21, 18, \dots के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग 78 हो?
  • उदाहरण 15: संख्याओं की उस सूची के प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका nवाँ पद a_n = 3 + 2n से दिया जाता है।
  • उदाहरण 16: टी.वी. सेटों का निर्माता तीसरे वर्ष में 600 टी.वी. तथा 7वें वर्ष में 700 टी.वी. सेटों का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए: (i) प्रथम वर्ष में उत्पादन (ii) 10वें वर्ष में उत्पादन (iii) प्रथम 7 वर्षों में कुल उत्पादन।

3. प्रश्नावली 5.3 के महत्वपूर्ण प्रश्न (Exercise 5.3 Questions)

यहाँ प्रश्नावली 5.3 के सभी महत्वपूर्ण अभ्यास प्रश्न दिए गए हैं। आप स्वयं इन्हें हल करने का प्रयास करें:

  • प्रश्न 1: निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
    • (i) 2, 7, 12, \dots, 10 पदों तक
    • (ii) -37, -33, -29, \dots, 12 पदों तक
    • (iii) 0.6, 1.7, 2.8, \dots, 100 पदों तक
    • (iv) \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \dots, 11 पदों तक
  • प्रश्न 2: नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
    • (i) 7 + 10\frac{1}{2} + 14 + \dots + 84
    • (ii) 34 + 32 + 30 + \dots + 10
    • (iii) -5 + (-8) + (-11) + \dots + (-230)
  • प्रश्न 3: एक A.P. में,
    • (i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
    • (ii) a = 7 और a_{13} = 35 दिया है। d और S_{13} ज्ञात कीजिए।
    • (iii) a_{12} = 37 और d = 3 दिया है। a और S_{12} ज्ञात कीजिए।
    • (iv) a_3 = 15 और S_{10} = 125 दिया है। d और a_{10} ज्ञात कीजिए।
    • (v) d = 5 और S_9 = 75 दिया है। a और a_9 ज्ञात कीजिए।
    • (vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
    • (vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
    • (viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
    • (ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
    • (x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
  • प्रश्न 5: किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
  • प्रश्न 6: किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
  • प्रश्न 7: उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
  • प्रश्न 8: उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
  • प्रश्न 9: यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
  • प्रश्न 10: दर्शाइए कि a_1, a_2, \dots, a_n, \dots से एक A.P. बनती है, यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित है : (i) a_n = 3 + 4n (ii) a_n = 9 - 5n साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
  • प्रश्न 11: यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n - n^2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S_1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
  • प्रश्न 12: ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
  • प्रश्न 13: 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
  • प्रश्न 14: 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
  • प्रश्न 15: निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?
  • प्रश्न 16: किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
  • प्रश्न 17: एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
  • प्रश्न 18: केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, \dots वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? (\pi = \frac{22}{7} लीजिए।)

निष्कर्ष (Conclusion):

“A.P. के प्रथम n पदों का योग” (Sum of First n Terms) से संबंधित प्रश्न दिखने में बड़े लग सकते हैं, लेकिन यदि आपको सूत्र सही से याद है और आप a, d और n के मान सही से निकाल लेते हैं, तो ये प्रश्न बहुत आसानी से हल हो जाते हैं। MPEducator द्वारा संकलित इन प्रश्नों का बार-बार अभ्यास करें। बोर्ड परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!