MP Board Class 11 matematics practical and Project List 2025-26 : कक्षा 11 विषय गणित प्रयोग एवं प्रायोजना सूची

MP Board Class 11 matematics practical and Project List 2025-26 : कक्षा 11 विषय गणित प्रयोग एवं प्रायोजना सूची त्रैमासिक, अर्धवार्षिक और वार्षिक परीक्षाओं के आधार पर छात्र के द्वारा किए जाने वाले MP Board Class 11 matematics practical and Project List 2025-26 Exam के लिए निर्धारित किया गया है 

माध्यमिक शिक्षा मण्डल, मध्यप्रदेश, भोपाल
हायर सेकेण्डरी परीक्षा सत्र 2025-26
सुझावात्मक प्रायोजना कार्य
कक्षा – 11वी विषय: गणित

• कुल अंक: 20
• अंक वितरण:
  • वर्कबुक: 5 अंक
  • त्रैमासिक परीक्षा से पहले कोई एक परियोजना: 5 अंक
  • अर्धवार्षिक परीक्षा से पहले कोई एक परियोजना: 5 अंक
  • वार्षिक परीक्षा से पहले कोई एक परियोजना: 5 अंक
• नोट: उपरोक्त अंक वितरण केवल वार्षिक परीक्षा के लिए निर्धारित है। त्रैमासिक और अर्ध-वार्षिक परीक्षाओं में, 20 अंकों का एक आंतरिक मूल्यांकन स्कूल स्तर पर किया जाएगा।
• सुझाए गए परियोजना कार्य:
  • एक इकाई वृत्त की मदद से साइन और कोसाइन कोणों के योग और अंतर सूत्रों को व्युत्पन्न करना।
  • फिबोनाची अनुक्रम, उसके गुणों और प्रकृति में पाए जाने वाले समान प्रतिमानों पर एक परियोजना तैयार करना।
  • पास्कल के त्रिभुज के विभिन्न प्रतिमानों और गुणों का निरीक्षण करना।
  • विभिन्न प्रकार के परवलयों का एक चार्ट बनाना और उनके संबंधित सूत्रों को सारणीबद्ध करना। दैनिक जीवन में परवलय के उपयोग की व्याख्या करें और सूत्र y2=4ax स्थापित करें।
  • किन्हीं तीन भारतीय गणितज्ञों का जीवन परिचय और गणित में योगदान लिखें।
  • अपनी कक्षा के चयनित बिंदुओं के निर्देशांक और तीन-आयामी ज्यामिति की अवधारणाओं का उपयोग करके इन बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें।
  • यह प्रदर्शित करें कि दो अलग-अलग धनात्मक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य हमेशा ज्यामितीय माध्य से अधिक होता है।
  • मैपिंग के माध्यम से फलन और संबंध के बीच अंतर करें।
  • त्रिकोणमितीय फलनों के दो कोणों के योग और अंतर की व्याख्या करें।
  • समुच्चय का परिचय और प्रकार का वर्णन करें और उन्हें वेन आरेख द्वारा समझाएं।
  • तीन-आयामी ज्यामिति का परिचय, तीन-आयामी अंतरिक्ष में निर्देशांक, समन्वय तल और विभाजन सूत्र की व्याख्या करें।
  • दीर्घवृत्त की व्याख्या करें और उसके संबंधित सूत्रों की गणना करें।
  • सूत्रों की मदद से क्रमचय और संचय के बीच संबंध की व्याख्या करें।
• नोट: शिक्षक कक्षा के पाठ्यक्रम के अनुसार उपरोक्त के अलावा भी परियोजनाएं तैयार करा सकते हैं।

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एक इकाई वृत्त की मदद से साइन और कोसाइन कोणों के योग और अंतर सूत्रों को व्युत्पन्न करना।

एक इकाई वृत्त, जिसे कभी-कभी त्रिकोणमितीय वृत्त भी कहा जाता है, एक त्रिज्या का वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु (0,0) पर होता है। इस वृत्त पर कोई भी बिंदु (x,y) को x=cosθ और y=sinθ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ θ वह कोण है जो x-अक्ष के धनात्मक भाग और वृत्त के बिंदु तक की त्रिज्या के बीच बनता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक इकाई वृत्त के लिए, x2+y2=1, जो त्रिकोणमितीय पहचान cos2θ+sin2θ=1 के बराबर है।

इस परियोजना में, हम इस ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग करके साइन और कोसाइन के योग और अंतर सूत्रों को व्युत्पन्न करेंगे।

कोसाइन अंतर सूत्र का व्युत्पन्न

यह सभी चार योग और अंतर सूत्रों का आधार है। हम दो कोणों, A और B के लिए cos(A−B) के लिए सूत्र व्युत्पन्न करेंगे।

1. अंकों को परिभाषित करें: इकाई वृत्त पर दो बिंदु P1​ और P2​ पर विचार करें, जो क्रमशः कोण A और B से मेल खाते हैं।
   • P1​=(cosA,sinA)
   • P2​=(cosB,sinB)
2. एक समान त्रिभुज बनाएं: अब, एक तीसरे बिंदु P3​ पर विचार करें जो कोण (A−B) से मेल खाता है।
   • P3​=(cos(A−B),sin(A−B))
   • एक चौथे बिंदु P4​ पर विचार करें जो कोण 0 से मेल खाता है, जो (1,0) है।
   • चूंकि चाप P1​P2​ और चाप P3​P4​ दोनों का कोण माप (A−B) है, इसलिए जीवा P1​P2​ की लंबाई जीवा P3​P4​ की लंबाई के बराबर होनी चाहिए। इसका मतलब है कि (लंबाई P1​P2​)2=(लंबाई P3​P4​)2.
3. दूरी सूत्र का उपयोग करें: दो बिंदुओं (x1​,y1​) और (x2​,y2​) के बीच की दूरी का वर्ग सूत्र है: d2=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2.
4. P1​P2​ की दूरी का वर्ग ज्ञात करें:
   • (लंबाई P1​P2​)2=(cosB−cosA)2+(sinB−sinA)2
   • (cos2B−2cosAcosB+cos2A)+(sin2B−2sinAsinB+sin2A)
   • पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: (cos2B+sin2B)+(cos2A+sin2A)−2cosAcosB−2sinAsinB
   • चूंकि cos2θ+sin2θ=1, हमें मिलता है: 1+1−2cosAcosB−2sinAsinB=2−2(cosAcosB+sinAsinB)
5. P3​P4​ की दूरी का वर्ग ज्ञात करें:
   • (लंबाई P3​P4​)2=(cos(A−B)−1)2+(sin(A−B)−0)2
   • (cos2(A−B)−2cos(A−B)+1)+(sin2(A−B))
   • पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: (cos2(A−B)+sin2(A−B))−2cos(A−B)+1
   • फिर से cos2θ+sin2θ=1 का उपयोग करके, हमें मिलता है: 1−2cos(A−B)+1=2−2cos(A−B)
6. व्यंजकों को बराबर करें:
   • 2−2(cosAcosB+sinAsinB)=2−2cos(A−B)
   • दोनों तरफ से 2 घटाएँ: −2(cosAcosB+sinAsinB)=−2cos(A−B)
   • दोनों तरफ से −2 से विभाजित करें:
     cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB यह कोसाइन अंतर सूत्र है।

अन्य सूत्रों का व्युत्पन्न

अब हम कोसाइन अंतर सूत्र का उपयोग करके अन्य तीन सूत्रों को व्युत्पन्न करेंगे।

1. कोसाइन योग सूत्र

कोसाइन अंतर सूत्र में B को −B से प्रतिस्थापित करें:

• cos(A−(−B))=cosAcos(−B)+sinAsin(−B)
• चूंकि cos(−B)=cosB और sin(−B)=−sinB, हमें मिलता है:
  cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB

2. साइन योग सूत्र

साइन और कोसाइन के बीच संबंध का उपयोग करें: sinθ=cos(90∘−θ)।

• sin(A+B)=cos(90∘−(A+B))
• इसे फिर से लिखें: cos((90∘−A)−B)
• अब कोसाइन अंतर सूत्र का उपयोग करें: cos(90∘−A)cosB+sin(90∘−A)sinB
• चूंकि cos(90∘−A)=sinA और sin(90∘−A)=cosA, हमें मिलता है:
  sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

3. साइन अंतर सूत्र

साइन योग सूत्र में B को −B से प्रतिस्थापित करें:

• sin(A+(−B))=sinAcos(−B)+cosAsin(−B)
• चूंकि cos(−B)=cosB और sin(−B)=−sinB, हमें मिलता है:
  sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB

निष्कर्ष

इकाई वृत्त का उपयोग करके, हमने ज्यामितीय और बीजगणितीय रूप से चार महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय पहचानों को व्युत्पन्न किया है। ये सूत्र त्रिकोणमिति, कैलकुलस और भौतिकी में महत्वपूर्ण हैं।

• cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB
• cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB
• sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
• sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB

यह परियोजना दर्शाती है कि कैसे ज्यामितीय सिद्धांत जटिल सूत्रों के लिए एक सहज और दृश्य आधार प्रदान कर सकते हैं।