MP Board 9th Mathematics Volume of a Right Circular Cone लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन

MP Board 9th Mathematics Volume of a Right Circular Cone

यहाँ कक्षा 9 के गणित अध्याय 11 (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन) के अंतर्गत “लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन” (Volume of a Right Circular Cone) पर विस्तृत नोट्स और परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर दिए गए हैं।

अध्याय 11: लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन (Volume of a Right Circular Cone)

1. शंकु के आयतन की अवधारणा (Concept of Volume)

किसी ठोस वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान की माप को उसका आयतन कहते हैं। एक शंकु का आयतन उसी आधार त्रिज्या और उसी ऊँचाई वाले एक बेलन (Cylinder) के आयतन का एक-तिहाई ( $\frac{1}{3}$ ) होता है।

2. मुख्य सूत्र (Key Formula)

यदि एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ और लम्बवत ऊँचाई $h$ है, तो उसका आयतन ( $V$ ) होगा:

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$\text{शंकु का आयतन} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

महत्त्वपूर्ण बिंदु:

आयतन की इकाई हमेशा घन इकाई (जैसे: $\text{cm}^3, \text{m}^3$ ) में होती है।
यदि प्रश्न में तिर्यक ऊँचाई ( $l$ ) दी गई हो, तो पहले $h$ ज्ञात करें: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ ।
धारिता (Capacity) निकालते समय याद रखें: 1 लीटर = 1000 $\text{cm}^3$ और 1 $\text{m}^3$ = 1000 लीटर (1 किलोलीटर)।

3. परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (Solved Examples)

प्रश्न 1: उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है।
हल:
दिया है: त्रिज्या ( $r$ ) = 6 सेमी, ऊँचाई ( $h$ ) = 7 सेमी
सूत्र: $\text{आयतन} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times 7$

$V = 22 \times 2 \times 6 = 264 \text{ सेमी}^3$

अतः, शंकु का आयतन 264 $\text{cm}^3$ है।

प्रश्न 2: एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। ( $\pi = 3.14$ का प्रयोग करें)
हल:
दिया है: $h = 15$ सेमी, $V = 1570$ सेमी³
सूत्र: $\frac{1}{3} \pi r^2 h = 1570$

$\frac{1}{3} \times 3.14 \times r^2 \times 15 = 1570$

$3.14 \times r^2 \times 5 = 1570$

$15.70 \times r^2 = 1570$

$r^2 = \frac{1570}{15.70} = 100$

$r = \sqrt{100} = 10 \text{ सेमी}$

अतः, आधार की त्रिज्या 10 सेमी है।

प्रश्न 3: शंकु के आकार के उस बर्तन की धारिता लीटरों में ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।
हल:
दिया है: $r = 7$ सेमी, $l = 25$ सेमी
सबसे पहले ऊँचाई ( $h$ ) ज्ञात करेंगे:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ सेमी।
अब आयतन: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24$

$V = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \text{ सेमी}^3$

धारिता (लीटर में) $= \frac{1232}{1000} = 1.232 \text{ लीटर}$ ।

प्रश्न 4: यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन $48\pi$ सेमी³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: $h = 9$ सेमी, $V = 48\pi$ सेमी³
सूत्र: $\frac{1}{3} \pi r^2 h = 48\pi$

$\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times 9 = 48\pi$

$3\pi r^2 = 48\pi$

$3r^2 = 48 \implies r^2 = 16 \implies r = 4 \text{ सेमी}$

व्यास $= 2 \times r = 2 \times 4 = 8$ सेमी।
अतः, आधार का व्यास 8 सेमी है।

4. अभ्यास के लिए सुझाव (Study Tips)

इकाइयों का ध्यान रखें: यदि त्रिज्या सेमी में और ऊँचाई मीटर में दी हो, तो गणना से पहले दोनों को एक ही इकाई में बदलें।
$h$ और $l$ में अंतर: ऊँचाई ( $h$ ) का उपयोग आयतन में होता है, जबकि तिर्यक ऊँचाई ( $l$ ) का उपयोग पृष्ठीय क्षेत्रफल में होता है। इनमें भ्रमित न हों।
गणना को आसान बनाएँ: अक्सर $\frac{1}{3}$ और ऊँचाई ( $h$ ) आपस में कट जाते हैं, इसलिए गुणा करने से पहले काटने (cancel) का प्रयास करें।