MP Board 9th Mathematics urface Area of a Sphere गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

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MP Board 9th Mathematics urface Area of a Sphere

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Sphere)

1. गोले का परिचय (Introduction to Sphere)

एक गोला एक त्रिविमीय (3D) ठोस आकृति है जो पूरी तरह से गोल होती है। आकाश में गेंद, ग्लोब या संतरा इसके प्रमुख उदाहरण हैं।

  • त्रिज्या (Radius – r): गोले के केंद्र से उसकी सतह के किसी भी बिंदु की दूरी।
  • व्यास (Diameter – d): गोले के केंद्र से होकर गुजरने वाली सबसे लंबी रेखा (d = 2r)।

2. मुख्य सूत्र (Key Formulas)

A. गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Sphere): चूँकि गोले में कोई चपटा आधार नहीं होता, इसका ‘वक्र’ और ‘कुल’ क्षेत्रफल एक ही होता है।

    \[\text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 4\pi r^2\]

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B. अर्धगोला (Hemisphere): जब एक गोले को उसके केंद्र से दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो प्राप्त आकृति अर्धगोला कहलाती है।

  1. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area – CSA):

        \[\text{CSA} = 2\pi r^2\]

  2. अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area – TSA): इसमें वक्र हिस्सा और ऊपर का वृत्ताकार हिस्सा (2\pi r^2 + \pi r^2) दोनों शामिल होते हैं।

        \[\text{TSA} = 3\pi r^2\]

3. महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (Important Q&A)

प्रश्न 1: 10.5 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हल: दिया है: r = 10.5 सेमी = \frac{21}{2} सेमी सूत्र: \text{क्षेत्रफल} = 4\pi r^2

    \[= 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\]

    \[= 22 \times 3 \times 21\]

    \[= 1386 \text{ सेमी}^2\]

अतः, गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1386 सेमी² है।

प्रश्न 2: 10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\pi = 3.14 का प्रयोग करें) हल: दिया है: r = 10 सेमी अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 3\pi r^2

    \[= 3 \times 3.14 \times 10 \times 10\]

    \[= 3 \times 314 = 942 \text{ सेमी}^2\]

अतः, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 942 सेमी² है।

प्रश्न 3: एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर उसकी त्रिज्या 7 सेमी से बढ़कर 14 सेमी हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। हल: माना r_1 = 7 सेमी और r_2 = 14 सेमी। अनुपात = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2

    \[= \left(\frac{7}{14}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]

अतः, पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 1 : 4 है।

प्रश्न 4: पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 10.5 सेमी है। इसके आंतरिक पृष्ठ पर ₹16 प्रति 100 सेमी² की दर से कलई (tin-plating) कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। हल: दिया है: व्यास = 10.5 सेमी, अतः r = \frac{10.5}{2} = 5.25 सेमी। कटोरे का आंतरिक वक्र क्षेत्रफल = 2\pi r^2

    \[= 2 \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 = 173.25 \text{ सेमी}^2\]

लागत = 173.25 \times \frac{16}{100}

    \[= ₹27.72\]

अतः, कलई कराने का कुल व्यय ₹27.72 है।

4. परीक्षा के लिए विशेष सुझाव (Exam Tips)

  1. हमेशा जांच लें कि प्रश्न में त्रिज्या (r) दी गई है या व्यास (d)। यदि व्यास दिया है, तो उसे पहले आधा (r = d/2) करें।
  2. अर्धगोले के प्रश्नों में ध्यान दें कि वक्र (Curved) क्षेत्रफल पूछा गया है या कुल (Total) क्षेत्रफल।
  3. यदि प्रश्न में \pi का मान नहीं दिया गया है, तो \frac{22}{7} का उपयोग करना गणना को आसान बनाता है।

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