MP Board 9th Mathematics Polynomials in One Variable

कक्षा 9 गणित के अध्याय “बहुपद” के अंतर्गत “एक चर वाले बहुपद” विषय पर अत्यंत सरल और परीक्षा-उपयोगी नोट्स दिए गए हैं।

कक्षा 9 गणित: एक चर वाले बहुपद (Polynomials in One Variable) – सरल नोट्स

गणित में बीजगणित (Algebra) को समझने के लिए ‘बहुपद’ एक बहुत ही महत्त्वपूर्ण विषय है। इस पोस्ट में हम कक्षा 9 के छात्रों के लिए “एक चर वाले बहुपद” के सभी मूल कॉन्सेप्ट्स (Concepts) को बहुत ही आसान भाषा में समझेंगे।

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1. चर और अचर क्या हैं? (Variables and Constants)

बहुपद को समझने से पहले इन दो शब्दों को समझना सबसे ज़रूरी है:

चर (Variable): चर को एक प्रतीक से प्रकट किया जाता है जो कोई भी वास्तविक मान धारण कर सकता है । हम चरों को अक्षरों $x, y, z$ आदि से प्रकट करते हैं । एक दी हुई समस्या में चर के मान में परिवर्तन होता रहता है ।
अचर (Constant): अचर को प्रकट करने वाले अक्षर चर से भिन्न होते हैं । एक विशेष स्थिति में अचरों के मान सदा समान बने रहते हैं अर्थात् इनमें कोई परिवर्तन नहीं होता है । (जैसे: 2, 5, -7 आदि)।

2. एक चर वाले बहुपद किसे कहते हैं? (What is a Polynomial in One Variable?)

जब हम चर और अचर को मिलाकर बीजीय व्यंजक बनाते हैं, तो वे बहुपद का रूप ले सकते हैं।

ऐसे बीजीय व्यंजक जिनमें चर के घातांक (powers) केवल पूर्ण संख्या (Whole numbers) होते हैं, उन्हें ‘एक चर वाला बहुपद’ कहा जाता है ।
यदि किसी बहुपद में चर $x$ हो, तो हम उसे $p(x), q(x)$ या $r(x)$ आदि से प्रकट करते हैं ।
उदाहरण: $p(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7$ एक चर $x$ में एक बहुपद है ।

कौन-से व्यंजक बहुपद नहीं होते हैं?

यदि किसी व्यंजक में चर की घात पूर्ण संख्या नहीं है (जैसे ऋणात्मक घात या भिन्न), तो वह बहुपद नहीं कहलाता।

उदाहरण 1: व्यंजक $x + \frac{1}{x}$ को $x + x^{-1}$ लिखा जा सकता है । यहाँ दूसरे पद का घातांक -1 है, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है । अतः यह व्यंजक एक बहुपद नहीं है ।
उदाहरण 2: $\sqrt{x} + 3$ को $x^{\frac{1}{2}} + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है । यहाँ $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है, जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है । अतः यह भी एक बहुपद नहीं है ।

3. बहुपद के पद और गुणांक (Terms and Coefficients)

पद (Terms): बहुपद $x^2 + 2x$ में व्यंजक $x^2$ और $2x$ बहुपद के पद (terms) कहे जाते हैं ।
गुणांक (Coefficient): बहुपद के प्रत्येक पद का एक गुणांक (coefficient) होता है । उदाहरण के लिए, बहुपद $-x^3 + 4x^2 + 7x - 2$ में $x^3$ का गुणांक -1 है, $x^2$ का गुणांक 4 है, और $x$ का गुणांक 7 है ।

4. पदों की संख्या के आधार पर बहुपदों के प्रकार

एकपदी (Monomial): केवल एक पद वाले बहुपद को एकपदी (monomial) कहा जाता है । उदाहरण: $2x, 2, 5x^3, y$ ।
द्विपद (Binomial): केवल दो पदों वाले बहुपदों को द्विपद (binomials) कहा जाता है । उदाहरण: $x + 1, x^2 - x$ ।
त्रिपद (Trinomial): केवल तीन पदों वाले बहुपदों को त्रिपद (trinomials) कहा जाता है । उदाहरण: $x + x^2 + \pi$ ।

5. बहुपद की घात (Degree of a Polynomial)

एक बहुपद में चर की अधिकतम घात (Highest power) वाले पद के घातांक को बहुपद की घात (degree of the polynomial) कहा जाता है ।

उदाहरण: बहुपद $3x^7 - 4x^6 + x + 9$ में चर $x$ की अधिकतम घात 7 है, अतः इस बहुपद की घात 7 है ।

6. घात के आधार पर बहुपदों के प्रकार

रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है । इसका मानक रूप $ax + b$ होता है, जहाँ $a \neq 0$ है । उदाहरण: $2x - 1, 2 - u$ ।
द्विघाती बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 वाले बहुपद को द्विघाती या द्विघात बहुपद कहा जाता है । $x$ में कोई भी द्विघाती बहुपद $ax^2 + bx + c$ के रूप का होगा, जहाँ $a \neq 0$ है । उदाहरण: $2x^2 + 5, 5x^2 + 3x + \pi$ ।
त्रिघाती बहुपद (Cubic Polynomial): तीन घात वाले बहुपद को त्रिघाती बहुपद कहा जाता है । उदाहरण: $4x^3, 2x^3 + 4x^2 + 6x + 7$ ।

7. अचर और शून्य बहुपद (Constant and Zero Polynomials)

अचर बहुपद: 2, 5, 7 आदि अचर बहुपदों (constant polynomials) के उदाहरण हैं । एक शून्येतर अचर बहुपद की घात शून्य होती है ।
शून्य बहुपद: अचर बहुपद 0 को शून्य बहुपद कहा जाता है । शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है ।

परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण अभ्यास प्रश्न (Important Q&A)

प्रश्न 1: निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए: (i) $4x^2 - 3x + 7$ (ii) $y + \frac{2}{y}$ उत्तर: (i) यह एक चर $x$ में बहुपद है, क्योंकि यहाँ चर $x$ के सभी घातांक पूर्ण संख्याएँ (2 और 1) हैं। (ii) यह बहुपद नहीं है, क्योंकि इसे $y + 2y^{-1}$ लिखा जा सकता है। यहाँ दूसरे पद में चर की घात -1 है, जो पूर्ण संख्या नहीं है।

प्रश्न 2: निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक में $x^2$ का गुणांक (Coefficient) लिखिए: (i) $2 + x^2 + x$ (ii) $\frac{\pi}{2}x^2 + x$ उत्तर: (i) यहाँ $x^2$ के साथ कोई संख्या नहीं दिख रही है, जिसका मतलब 1 होता है। अतः $x^2$ का गुणांक 1 है। (ii) यहाँ $x^2$ के साथ $\frac{\pi}{2}$ है। अतः $x^2$ का गुणांक $\frac{\pi}{2}$ है।

प्रश्न 3: निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात (Degree) लिखिए: (i) $5x^3 + 4x^2 + 7x$ (ii) $3$ उत्तर: (i) इस व्यंजक में चर $x$ की अधिकतम घात 3 है, अतः बहुपद की घात 3 है। (ii) 3 एक शून्येतर अचर बहुपद है, और हम जानते हैं कि एक शून्येतर अचर बहुपद की घात शून्य (0) होती है ।

प्रश्न 4: बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं: (i) $x^2 + x$ (ii) $x - x^3$ (iii) $1 + x$ उत्तर: (i) यहाँ अधिकतम घात 2 है, अतः यह द्विघाती बहुपद है। (ii) यहाँ अधिकतम घात 3 है, अतः यह त्रिघाती बहुपद है। (iii) यहाँ अधिकतम घात 1 है, अतः यह रैखिक बहुपद है।