MP Board 12th Mathematics Matrix Question Bank कक्षा 12 गणित अध्याय-3: आव्यूह प्रश्न बैंक

MP Board 12th Mathematics Matrix Question Bank : क्षा 12 गणित अध्याय-3: आव्यूह प्रश्न बैंक

अध्याय-3 आव्यूह

स्मरणीय बिंदु –

आव्यूह फलनों या संख्याओं का एक आयताकार क्रम विन्यास है।
आव्यूह को [ ] (बड़े कोष्ठक) के अंदर अवयवों को रखकर प्रदर्शित किया जाता है।
क्षैतिज रेखाओं को पंक्तियां तथा उर्ध्वाधर रेखाओं को स्तंभ कहते है।
$m$ पंक्तियॉ $n$ स्तंभ वाले आव्यूह को $m \times n$ कोटि का आव्यूह कहते है।
आव्यूह को अंग्रेजी के बड़े अक्षर से प्रदर्शित किया जाता है। $A = [a_{ij}]$ जहा $a_{ij}$ पर आव्यूह की प्रविष्टि है। दो आव्यूह का योग तभी संभव है जबकि उनकी कोटि समान हो।
$m \times n$ कोटि का आव्यूह एक वर्ग आव्यूह कहलाता है यदि $m=n$
दो आव्यूह का गुणनफल तभी संभव है जबकि पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या और दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या समान हो।

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनिए-

(i) $3 \times 3$ कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या होगी जिनकी प्रत्येक की प्रविष्टि 0 या 1 है।
(a) 27 (b) 18 (c) 81 (d) 512

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(ii) $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ एक वर्ग आव्यूह है यदि
(a) $m < n$ (b) $m > n$ (c) $m = n$ (d) इनमें से कोई नहीं

(iii) आव्यूह $A$ तथा $B$ एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे यदि
(a) $AB = BA$ (b) $AB - BA = 0$ (c) $AB = 0, BA = I$ (d) $AB = BA = I$

(iv) यदि एक आव्यूह $A$ सममित एवं विषम सममित दोनों ही है तो $A$ :
(a) एक विकर्ण आव्यूह है (b) एक शून्य आव्यूह है (c) एक वर्ग आव्यूह है (d) इनमें से कोई नहीं

(v) यदि $A$ तथा $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह है तो $AB - BA$
(a) विषम सममित आव्यूह है। (b) सममित आव्यूह है। (c) शून्य आव्यूह है। (d) तत्समक आव्यूह है।

(vi) यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह है तो $A$ सममित आव्यूह होगा यदि
(a) $A^2 = A$ (b) $A^2 = I$ (c) $A' = A$ (d) $A' = -A$

(vii) एक विषम सममित आव्यूह के विकर्ण का प्रत्येक अवयव होता है:
(a) शून्य (b) धनात्मक (c) ऋणात्मक (d) अवास्तविक

(viii) $A = [a_{ij}]_{m \times 1}$ एक आव्यूह है।
(a) पंक्ति आव्यूह (b) स्तंभ आव्यूह (c) वर्ग आव्यूह (d) विकर्ण आव्यूह

(ix) $2 \times 3$ कोटि के आव्यूह में अवयवों की संख्या है ।
(a) 5 (b) 1 (c) 6 (d) 8

(x) यदि $\begin{bmatrix} x \ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ तो और के मान ज्ञात करो-
(a) $x = 2, y = 3$ (b) $x = 3, y = 2$ (c) $x = 1, y = 4$ (d) $x = 4, y = 1$

(xi) आव्यूह $A_{m \times n}$ व $B_{l \times p}$ का गुणनफल $AB$ परिभाषित होगा यदि
(a) $m=n$ (b) $n=l$ (c) $l=p$ (d) $m=p$

(xii) एक $2 \times 2$ आव्यूह। $A = [a_{ij}]$ जहाँ $a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}$ की पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव है।
(a) $\frac{3}{2}$ (b) $\frac{9}{2}$ (c) $\frac{2}{9}$ (d) $\frac{2}{3}$

(xiii) यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है तो $A^2$ का मान होगा –
(a) $\begin{bmatrix} 1 & 4 \ 9 & 16 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 7 & 10 \ 15 & 22 \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 9 & 5 \ 1 & 8 \end{bmatrix}$ (d) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 5 \end{bmatrix}$

(xiv) $(AB)'$ का मान निम्न के बराबर है।
(a) $A'B'$ (b) $B'A'$ (c) $A'B$ (d) $AB'$

(xv) यदि $A = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \ 5 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix}$ तो में अवयवों की संख्या होगी-
(a) 1 (b) 6 (c) 6 (d) 9

(xvi) निम्न आव्यूह सममित आव्यूह है –
(a) $\begin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$ (d) $\begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$

प्रश्न 2. सत्य/असत्य लिखिए:

(i) $A = [a_{ij}]<em>{1 \times n}$ एक पंक्ति आव्यूह होता है। (ii) आव्यूहों में योग की संक्रिया के लिए साहचर्य नियम का पालन नही होता है। (iii) किसी $A$ आव्यूह के लिए $A = [a</em>{ij}]_{1 \times n}$ एक स्तंभ आव्यूह होता है।
(iv) आव्यूहों में गुणन की संक्रिया के क्रम विनिमेय नियम का पालन होता है।
(v) तीन आव्यूहों $A, B$ व $C$ के लिए $(AB)C = A(BC)$
(vi) प्रत्येक वर्ग आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह होता है।
(vii) प्रत्येक वर्ग आव्यूह एक अदिश आव्यूह होता है।
(viii) प्रत्येक विकर्ण आव्यूह एक अदिश आव्यूह होता है।
(ix) प्रत्येक अदिश आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह होता है।
(x) प्रत्येक अदिश आव्यूह एक तत्समक आव्यूह होता है।
(xi) प्रत्येक तत्समक आव्यूह एक अदिश आव्यूह होता है।
(xii) प्रत्येक तत्समक आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह होता है।
(xiii) प्रत्येक तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह होता है।
(xiv) किसी आव्यूह के परिवर्त आव्यूह का पुनः परिवर्त आव्यूह मूल आव्यूह के बराबर होता है।
(xv) यदि आव्यूह $A$ इस प्रकार है कि $A' = A$ तो आव्यूह $A$ को विषम सममित आव्यूह कहतें हैं।
(xvi) यदि वर्ग आव्यूह $A$ इस प्रकार है कि $A' = -A$ तो $A$ को विषम सममित आव्यूह कहते हैं।
(xvii) यदि दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि $AB = I$ जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है तो आव्यूह $A$ और $B$ को एक दूसरे का परिवर्त आव्यूह कहते हैं।
(xviii) दो आव्यूहों का योग ज्ञात करने के लिये यह आवश्यक नही है कि उनकी कोटियाँ समान हों।
(xix) यदि आव्यूह $A$ की कोटि $2 \times 3$ व आव्यूह $B$ की कोटि $3 \times 4$ हो तो इनके गुणनफल से प्राप्त आव्यूह $AB$ की कोटि $2 \times 4$ होगी।

प्रश्न 3. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए :

i. यदि $A = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x \ \sin x & \cos x \end{bmatrix}$ तथा $A + A' = I$ है तो $x$ का मान क्या है ?
ii. यदि $\begin{bmatrix} 1 & a \ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 4 & 2 \end{bmatrix}$ है तो $a$ का मान क्या है ?
iii. $2 \times 2$ कोटि का तत्समक आव्यूह लिखो।
iv. विकर्ण आव्यूह का कोई एक उदाहरण लिखो।
v. एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ की रचना कीजिये जबकि $a_{ij} = \frac{(i+2j)^2}{2}$
vi. यदि $\begin{bmatrix} x+y+z \ x+z \ y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \ 5 \ 7 \end{bmatrix}$ तो $x, y$ तथा $z$ के मान ज्ञात कीजिये।
vii. तत्समक आव्यूह को उदाहरण सहित परिभाषित कीजिये।
viii. विकर्ण आव्यूह क्या है?
ix. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 2 & 3 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 10 & 2 \ 5 & 6 \end{bmatrix}$ तो $(2A + B)$ का मान ज्ञात कीजिये।
x. आव्यूहों के योग का क्रम विनिमेय नियम लिखिये।
xi. $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिये।
xii. वर्ग आव्यूह $A$ को एक सममित आव्यूह और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिये।
xiii. यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 1 & 3 \end{bmatrix}$ तो $A^2$ ज्ञात कीजिये।
xiv. पंक्ति आव्यूह को परिभाषित कीजिये।

प्रश्न 4. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

(i) पंक्ति आव्यूह में पंक्तियों की संख्या ……………………होती है।
(ii) वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या …………………… होती है।
(iii) ऐसा वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण की प्रत्येक प्रविष्टि 1 हो तथा शेष प्रविष्टि शून्य हो …………………… आव्यूह कहलाता है।
(iv) यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह है तथा $I$ एक तत्समक आव्यूह है तो $AI =$ ……………………।
(v) यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 \end{bmatrix}$ तो $A^2 =$ ……………………।
(vi) यदि $a_{ij} = \frac{i+2j}{3}$ तो $a_{21} =$ ……………………।
(vii) यदि $AB=C$ जबकि $A, B, C$ क्रमशः $m \times 2, 2 \times 3, 4 \times 3$ कोटि के आव्यूह हैं, तो $m=$ ……………………।
(viii) यदि $A$ का परिवर्त आव्यूह $A'$ है तो $(A')'=$ ……………………।
(ix) वर्ग आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A'$ है तो $A+A'$ एक ……………………आव्यूह होता है।
(x) वर्ग आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A'$ है तो $A-A'$ एक ……………………आव्यूह होता है।
(xi) ऐसा विकर्ण आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव समान होते हैं,……………………आव्यूह कहलाता है।
(xii) ऐसा विकर्ण आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव इकाई होते हैं,……………………आव्यूह कहलाता है।
(xiii) $\begin{bmatrix} x & y \ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ तो $x+y=$ ……………………।
(xiv) यदि $A+B=O, A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 4 & 3 \end{bmatrix}, O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$ तो $B=$ ……………………।
(xv) यदि $A$ और $B$ एक दूसरे के व्युत्क्रम आव्यूह हों तो $AB=$ ……………………।

ज़रूर, मैं इसे ब्लॉग पोस्ट में उपयोग के लिए सही मैट्रिक्स फॉर्मेटिंग के साथ प्रस्तुत करता हूँ।

प्रश्न 05 सही जोड़ी मिलाइये।

\begin{bmatrix} 3 & 3 \ 3 & 3 \end{bmatrix}

स्तंभ A	स्तंभ B
(i) $A' = A$	(a) $\begin{bmatrix} 3 & 3 \ 3 & 3 \end{bmatrix}$
(ii) $A' = -A$	(b) आव्यूह के योग का क्रम विनिमेय नियम।
(iii) $(A + B)'$	(c) $A$ एक सममित आव्यूह है।
(iv) $(AB)'$	(d) $A' + B'$
(v) $AB = I$	(e) $A$ एक विषम सममित आव्यूह है।
(vi) $A_{m \times n}$	(f) $A$ और $B$ एक दूसरे के व्युत्क्रम है।
(vii) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	(g) $\begin{bmatrix} 3 & 5 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
(viii) $\begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 2 & 2 \end{bmatrix}$	(h) तत्समक आव्यूह (3×3) कोटि का।
(ix) $\begin{bmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$	(i) $m \times n$ कोटि का वर्ग आव्यूह।
(x) $A + B = B + A$	(j) $B'A'$