MP Board 12th Mathematics Integration Uses Question Bank कक्षा 12 गणित अध्याय-8 समाकलन के अनुप्रयोग प्रश्न बैंक

MP Board 12th Mathematics Integration Uses Question Bank: कक्षा 12 गणित अध्याय-8 समाकलन के अनुप्रयोग प्रश्न बैंक

अध्याय-8 समाकलन के अनुप्रयोग

स्मरणीय बिंदु

वक्र $y=f(x)$ , x-अक्ष तथा भुजों $x=a$ एवम् $x=b$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल = $\int_a^b y \, dx = \int_a^b f(x) \, dx$
वक्र $x=f(y)$ , y-अक्ष तथा कोटियों $y=a$ एवम् $y=b$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल = $\int_a^b x \, dy = \int_a^b \phi(y) \, dy$
दो वक्रो $y=f(x), y=g(x)$ , तथा रेखाये $x=a$ एवम् $x=b$ के मध्य घिरे भाग का क्षेत्रफल = $\int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$
दो वक्रो $x=f(y), x=g(y)$ , तथा रेखाये $y=a$ एवम् $y=b$ के मध्य घिरे भाग का क्षेत्रफल = $\int_a^b [f(y) - g(y)] \, dy$
दीर्घवृत का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ जहाँ x-अक्ष पर निर्देशांक $(a,0)$ तथा y-अक्ष पर निर्देशांक $(0,b)$ है।
वृत का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ जहाँ x-अक्ष पर निर्देशांक $(a,0)$ तथा y-अक्ष पर निर्देशांक $(0,a)$ है।
परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ जहाँ शीर्ष $(0,0)$ तथा नाभि निर्देशांक $(a,0)$ है।
परवलय का समीकरण $x^2=4ay$ जहाँ शीर्ष $(0,0)$ तथा नाभि निर्देशांक $(0,a)$ है।

सही विकल्प चुनकर लिखिए :-

(i) प्रथम चतुर्थांश में वृत $x^2+y^2=4$ एवं रेखाओं $x=0, x=2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
(a) $\pi$
(b) $\frac{\pi}{2}$
(c) $\frac{\pi}{3}$
(d) $\frac{\pi}{34}$

(ii) वक्र $y^2=4x$ , y-अक्ष एवं रेखा $y=3$ , से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
(a) 2
(b) $\frac{9}{4}$
(c) $\frac{9}{3}$
(d) $\frac{9}{2}$

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(iii) वक्र $y=x^3$ , x-अक्ष एवं कोटियों $x=-2$ तथा $x=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
(a) -9
(b) $-\frac{15}{4}$
(c) $\frac{15}{4}$
(d) $\frac{17}{4}$

(iv) वक्र $y=|x|$ , x-अक्ष एवं कोटियों $x=-1$ तथा $x=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
(a) 0
(b) $\frac{1}{3}$
(c) $\frac{2}{3}$
(d) $\frac{4}{3}$

(v) दीर्घवृत $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का संपूर्ण क्षेत्रफल है –
(अ) $ab$
(ब) $\pi ab$
(स) $\pi b$
(द) $\pi a$

(vi) वृत $x^2+y^2=a^2$ का क्षेत्रफल है –
(अ) $\pi b$
(ब) $\pi ab$
(स) $\pi b$
(द) $\pi a^2$

(vii) वक्र $y^2=x$ , रेखाओं $x=1, y=4$ एवम् x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है –
(अ) $\frac{11}{3}$ वर्ग इकाई
(ब) $\frac{19}{3}$ वर्ग इकाई
(स) $\frac{17}{3}$ वर्ग इकाई
(द) $\frac{14}{3}$ वर्ग इकाई

(viii) $x=0, x=2\pi$ के मध्य वक्र $y=\cos x$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है –
(अ) 4
(ब) 2
(स) 8
(द) 16

(ix) वक्र $y=x, x=e, y=\frac{1}{x}$ के धनात्मक x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है –
(अ) $\frac{3}{2}$
(ब) $\frac{5}{2}$
(स) 1
(द) $\frac{1}{2}$

(x) y-अक्ष $y=\cos x, y=\sin x, 0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है –
(अ) $\sqrt{2}+1$
(ब) $\sqrt{2}-1$
(स) $\sqrt{2}$
(द) 1

(xi) वक्र $y=x^3$ का x-अक्ष रेखाओं $x=0, x=4$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है –
(अ) 64 वर्ग इकाई
(ब) 32 वर्ग इकाई
(स) 16 वर्ग इकाई
(द) 128 वर्ग इकाई

(xii) $y^2=16x$ एवम् रेखा $x=4$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल है –
(अ) $\frac{127}{3}$ वर्ग इकाई
(ब) $\frac{125}{3}$ वर्ग इकाई
(स) $\frac{128}{3}$ वर्ग इकाई
(द) $\frac{126}{3}$ वर्ग इकाई

(xiii) वक्र $y^2=x$ , रेखाओं $x=1, y=2$ एवम् x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है –
(अ) $\frac{5}{3}$ वर्ग इकाई
(ब) $\frac{1}{8}$ वर्ग इकाई
(स) $\frac{9}{8}$ वर्ग इकाई
(द) $\frac{7}{3}$ वर्ग इकाई

(xiv) वक्र $y^2=4x$ , रेखा $y=3$ एवम् y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(अ) $\frac{7}{4}$ वर्ग इकाई
(ब) $\frac{9}{4}$ वर्ग इकाई
(स) $\frac{5}{4}$ वर्ग इकाई
(द) $\frac{11}{4}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 2. रिक्त स्थान भरिये।

(i) वक्र $x^2+y^2=2x$ का क्षेत्रफल ………………. है।
(ii) वक्र $x^2+y^2=a^2$ का क्षेत्रफल ………………. है।
(iii) वक्र $y=x^2$ रेखा $y=4$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ………………. है।
(iv) प्रथम चतुर्थांश में वृत $x^2+y^2=4, x=0, x=2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ……… है।
(v) वक्र $y^2=4x$ रेखा $y=3$ एवम् y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ……… है।
(vi) दीर्घ वृत $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ……… है।
(vii) दीर्घ वृत $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ……… है।
(viii) वृत $x^2+y^2=1$ के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल ……… है।
(ix) वक्र $y=x^2+x$ , x-अक्ष तथा रेखा $x=2$ व $x=5$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ….. है।
(x) वक्र $y=f(x)$ , x-अक्ष तथा रेखा $x=a$ व $x=b$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ….. है।

प्रश्न 3. सही जोड़ी बनाइये।

(i)	वृत $x^2+y^2=25$ का क्षेत्रफल	(अ)	$\pi a^2$ वर्ग इकाई
(ii)	वृत $x^2+y^2=a^2$ का क्षेत्रफल	(ब)	$\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई
(iii)	वक्र $y=2x-x^2$ व x-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल	(स)	$25\pi$ वर्ग इकाई
(iv)	वक्र $y=x^2$ व x-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल	(द)	$\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई
(v)	रेखा $y=2x$ व $x=0, x=3$ से घिरा क्षेत्रफल	(इ)	$8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई
(vi)	वक्र $y^2=4x$ व रेखा $x=3$ से घिरा क्षेत्रफल	(फ)	9 वर्ग इकाई

प्रश्न क्रमांक

वक्र $y=\cos x$ , x-अक्ष व $x=0$ तथा $x=2\pi$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y=\sin x$ , x-अक्ष व $x=0$ तथा $x=2\pi$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ तथा निर्देशकों के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $x^2+y^2=1$ के प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वृत $x^2+y^2=25$ के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y=\sin^2 x$ , x-अक्ष व $x=0$ तथा $x=\pi$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y=\cos^2 x$ , x-अक्ष व $x=0$ तथा $x=\pi$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y=\sin x$ , x-अक्ष व $x=\frac{\pi}{2}$ तथा $x=\frac{3\pi}{2}$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y^2=2y-x$ , y-अक्ष घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
रेखा $y=2, x=0$ तथा $x=3$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y=e^x, x=0$ तथा $x=2$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y=x^2$ रेखा $y=4$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
परवलय $y^2=8x$ तथा सरल रेखा $x=8$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
परवलय $y=x^2$ तथा सरल रेखा $y=|x|$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
परवलय $y^2=4x$ तथा सरल रेखा $x=3$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $x^2=4y$ व सरल रेखा $x=4y-2$ के बीच के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
परवलय $y^2=4ax$ तथा उसकी नाभिलम्ब जीवा से घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
दीर्घवृत $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ एवं कोटिओं $x=0$ और $x=ae$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। जहाँ $b^2=a^2(1-e^2)$ एवं $e<1$ है।
वृत $x^2+y^2=a^2$ का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
परवलय $y^2=4x$ तथा सरल रेखा $x=3$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
$9x^2+16y^2=144$ व सरल रेखा $x=2$ से खंडित लघु भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y=x$ का x-अक्ष तथा रेखाओं $x=-1, x=2$ के घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y=x^2$ तथा रेखा $y=4$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
दीर्घवृत $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ तथा रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
समाकलन का उपयोग करते हुये त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसके शीर्ष $(1,0), (2,2)$ व $(3,1)$ है।
परवलय $y^2=4ax$ तथा रेखा $y=mx$ से घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल समाकलन द्वारा ज्ञात कीजिये जिसके भुजाये $y=2x+1, y=3x+1$ व $x=4$ है।
परवलय $4y=3x^2$ से रेखा $2y=3x+12$ द्वारा कटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वृत $x^2+y^2=a^2$ तथा रेखा $x=\frac{a}{2}$ से घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
समाकलन का उपयोग करते हुये त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसके शीर्ष $A(2,1), B(3,4)$ व $C(5,2)$ है।
समाकलन विधि से रेखाओं $|x|+|y|=a$ घिरे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
वक्र $y^2=4x$ , एवं रेखा $x=3$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रथम चतुर्थांश में वृत $x^2+y^2=32$ , रेखा $y=x$ एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दीर्घवृत $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
वक्र $x^2=4y$ , एवं रेखा $x=4y-2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
छेदक रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा वृत $x^2+y^2=a^2$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न क्रमांक-4 निम्नलिखित में से सत्य/असत्य लिखिए।

(i) वक्र $y=f(x), x$ अक्ष एवं रेखाओं $x=a$ तथा $x=b, (b>a)$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_a^b y \, dx$ है।
(ii) किसी वृत $x^2+y^2=a^2$ का क्षेत्रफल $2\pi a^2$ होता है।
(iii) वक्र $x^2+y^2=a^2$ का क्षेत्रफल $\pi$ वर्ग इकाई है।
(iv) दीर्घ वृत $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $12\pi$ वर्ग इकाई है।
(v) वक्र $y^2=2y-x$ व y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल 16 वर्ग इकाई है।
(vi) वृत $x^2+y^2=64$ का क्षेत्रफल $36\pi$ वर्ग इकाई है।
(vii) वृत $x^2+y^2=1$ के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल $\frac{\pi}{4}$ वर्ग इकाई है।
(viii) वक्र $x^2+y^2=2ax$ का क्षेत्रफल $\pi a^2$ वर्ग इकाई है।
(ix) $\int e^x[f(x)+f'(x)]dx$ का समाकलन $e^x f(x) + c$
(x) $\int(\sec^2 x \tan x \, dx)$ का मान $\tan x + c$ होता है।
(xi) $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt$ होता है।
(xii) $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ होता है।

प्रश्न क्रमांक- 5 एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए।

(i) वक्र $y^2=x$ , रेखाओं $x=1, x=4$ एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल क्या होगा ?
(ii) वक्र $x^2=4y, y=2, y=4$ एवं y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है ?
(iii) प्रथम चतुर्थांश में वृत $x^2+y^2=4$ एवम् रेखाओं $x=0, x=2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(iv) वृत $x^2+y^2=36$ का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(v) वक्र $y=\log x$ व $y=0, x=2$ व x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(vi) वक्र $y=mx, x=2$ व x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(vii) वक्र $y=2x, x=0$ व $x=3$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(viii) वक्र $y=2\sqrt{9-x^2}$ व x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(ix) वक्र $y=\sqrt{a^2-x^2}, x=0$ व $x=a$ व x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(x) वक्र $y^2=2y-x$ व x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(xi) वक्र $y^2=2x$ व सरल रेखा $x-y=4$ घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(xii) वृत $x^2+y^2=a^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा

(उत्तर) अध्याय-8

प्रश्न 1. i) a ii) b iii) d iv) c v) $\pi ab$ vi) $\pi a^2$ vii) $e^x \sec x + c$ viii) $\frac{14}{3}$ वर्ग इकाई (ix) 4 (x) $\frac{3}{2}$ (xi) $\sqrt{2}-1$ (xii) 64 वर्ग इकाई (xiii) $\frac{128}{3}$ वर्ग इकाई (xiv) $\frac{7}{3}$ वर्ग इकाई (xv) $\frac{9}{4}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 2. (i) $\pi$ वर्ग इकाई (ii) $\pi a^2$ वर्ग इकाई (iii) $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई (iv) $\pi$ वर्ग इकाई (v) $\frac{9}{4}$ वर्ग इकाई (vi) $12\pi$ वर्ग इकाई (vii) $6\pi$ वर्ग इकाई (viii) $\frac{\pi}{4}$ वर्ग इकाई (ix) $\frac{99}{2}$ वर्ग इकाई (x) $\int_a^b y \, dx$

प्रश्न 3. (i) $25\pi$ वर्ग इकाई (ii) $\pi a^2$ वर्ग इकाई (iii) $\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई (iv) $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई (v) 9 वर्ग इकाई (vi) $8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 4. i) सत्य ii) असत्य iii) असत्य iv) सत्य v) असत्य vi) असत्य vii) सत्य viii) सत्य ix) सत्य x) असत्य (xi) सत्य (xii) सत्य

प्रश्न 5. (i) $\frac{14}{3}$ वर्ग इकाई (ii) $\frac{32-8\sqrt{2}}{3}$ वर्ग इकाई (iii) $\pi$ वर्ग इकाई (iv) $36\pi$ वर्ग इकाई (v) $(\log 4-1)$ वर्ग इकाई (vi) $2m$ वर्ग इकाई (vii) 9 वर्ग इकाई (viii) $9\pi$ वर्ग इकाई (ix) $\frac{\pi a^2}{4}$ वर्ग इकाई (x) $\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई (xi) 18 वर्ग इकाई (xii) $2\pi$ वर्ग इकाई