MP Board 12th Mathematics Integration Question Bank कक्षा 12 गणित अध्याय-7 समाकलन प्रश्न बैंक

MP Board 12th Mathematics Integration Question Bank : कक्षा 12 गणित अध्याय-7 समाकलन प्रश्न बैंक

अध्याय-7 समाकलन

स्मरणीय बिंदु

किसी फलन का अवकलन ज्ञात करने की प्रतिलोम विधि को समाकलन कहते है ।
किसी फलन का समाकलन अद्वितीय नहीं होता है ।
समाकलन ज्ञात करने की विधियाँ – प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, आंशिक भिन्न में वियोजन द्वारा समाकलन, खंडश: समाकलन
खंडश: समाकलन का सत्र –
प्रथम फलन * द्वितीय का समाकलन – [प्रथम का अवकलन गुणांक * द्वितीय का समाकलन] का समाकलन
$\int e^x [f(x) + f'(x)]dx$ का समाकलन = $e^x f(x)$
$\int [x f'(x) + f(x)]dx$ का समाकलन = $x f(x)$
$\int [f(x)]^n f'(x) dx$ का समाकलन = $\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}$
खंडश: समाकलन में जिस फलन का समाकलन ज्ञात नहीं है प्रथम फलन माना जाना चाहिये।
यदि दोनों फलनों के समाकलन ज्ञात हों तो वह फलन जो उत्तरोतर अवकलन करने पर शून्य हो जाता है उसे प्रथम फलन मानना चाहिये।
यदि समाकल्य कोई अकेला फलन है तो 1 को द्वितीय फलन मानना चाहिये।
दो फलनों के गुणनफल का समाकलन करने के लिये उस फलन को प्रथम फलन मानना उचित होगा जो शब्द “ILATE” के अक्षरों से प्रारम्भ हो अर्थात्
I = INVERSE FUNCTION, L = LOGARITHAMIC FUNCTION, A = ALGEBRAIC FUNCTION, T = TRIGONOMETRIC, E = EXPONENTIAL FUNCTION

कुछ मानक समाकलन

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\int \frac{1}{x} dx = \log x$
$\int e^x dx = e^x$
$\int \sin x dx = -\cos x$
$\int \cos x dx = \sin x$
$\int \tan x dx = \log\sec x$ or $-\log\cos x$
$\int \cot x dx = \log\sin x$ or $-\log\csc x$
$\int \sec x dx = \log(\sec x + \tan x)$ or $\log\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)$
$\int \csc x dx = \log(\csc x - \cot x)$ or $\log\tan\frac{x}{2}$
$\int \sec x \tan x dx = \sec x$
$\int \csc x \cot x dx = -\csc x$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x$
$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x$
$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = \csc^{-1} x$
$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}$
$\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a}\log\frac{x-a}{x+a}$
$\int \frac{1}{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2a}\log\frac{a+x}{a-x}$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\frac{x}{a}$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \log(x+\sqrt{x^2-a^2})$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log(x+\sqrt{x^2+a^2})$
$\int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2}[x\sqrt{x^2-a^2} - a^2\log(x+\sqrt{x^2-a^2})]$
$\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2} + a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2})]$
$\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2}[x\sqrt{a^2-x^2} - a^2\sin^{-1}\frac{x}{a}]$

प्रश्नक्र-1:-सही विकल्प चुनकर लिखिए।

(i) $\left[\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right]$ का प्रति अवकलज है.
(a) $\frac{1}{3}x^{1/3} + 2x^{1/2} + c$
(b) $\frac{2}{3}x^{2/3} + \frac{1}{2}x^2 + c$
(c) $\frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + c$
(d) $\frac{3}{2}x^{3/2} + \frac{1}{2}x^{1/2} + c$

(ii) यदि $\frac{d}{dx}f(x) = 4x^3 - \frac{3}{x^4}$ जिसमे $f(2)=0$ तो $f(x)$ है.
(a) $x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$
(b) $x^3 + \frac{1}{x^4} - \frac{129}{8}$
(c) $x^4 + \frac{1}{x^3} + \frac{129}{8}$
(d) $x^3 + \frac{1}{x^4} - \frac{129}{8}$

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(iii) $\int x^2 e^{x^3} dx$ का मान है –
(a) $\frac{1}{3}e^{x^3} + c$
(b) $\frac{1}{3}e^{x^2} + c$
(c) $\frac{1}{2}e^{x^3} + c$
(d) $\frac{1}{2}e^{x^2} + c$

(iv) $\int e^x \sec x(1+\tan x) dx$ बराबर है :-
(a) $e^x \cos x + c$
(b) $e^x \sec x + c$
(c) $e^x \sin x + c$
(d) $e^x \tan x + c$

(v) $\int_1^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2}$ बराबर है :-
(a) $\frac{\pi}{3}$
(b) $\frac{2\pi}{3}$
(c) $\frac{\pi}{6}$
(d) $\frac{\pi}{12}$

(vi) $\int_0^{2/3} \frac{dx}{4+9x^2}$ बराबर है :-
(a) $\frac{\pi}{6}$
(b) $\frac{\pi}{12}$
(c) $\frac{\pi}{24}$
(d) $\frac{\pi}{4}$

(vii) $\int \tan x dx$ का मान है –
(a) $\sec x \tan x$
(b) $\log \sec x$
(c) $\tan x$
(d) $\sec^2 x$

(viii) $\int \frac{dx}{x\log x}$ का मान है –
(a) $\log x + c$
(b) $\log(\log x) + c$
(c) $\log x^2 + c$
(d) $\log(\log x^2) + c$

(ix) $\int_0^{\pi/4} \tan x dx$ का मान है –
(a) $\log 2$
(b) $\frac{1}{2}\log 2$
(c) $\frac{1}{2}\log\sqrt{2}$
(d) $\log\sqrt{2}$

(x) $\int_1^e \log x dx$ का मान है –
(a) e
(b) e-1
(c) 1
(d) 0

(xi) यदि $f(x) = \int_0^x t \sin t dt$ तब $f'(x)$ का मान है –
(a) $\cos x + \sin x$
(b) $x\sin x$
(c) $x\cos x$
(d) $\cos x - \sin x$

(xii) $\int \frac{dx}{x^2-9}$ का मान है –
(a) $\frac{1}{2}\log\left|\frac{x-3}{x+3}\right| + c$
(b) $\frac{1}{2}\log\left|\frac{x+3}{x-3}\right| + c$
(c) $\frac{1}{6}\log\left|\frac{x-3}{x+3}\right| + c$
(d) $\frac{1}{2}\log\left|\frac{x+3}{x-3}\right| + c$

(xiii) $\int \frac{dx}{1-\cos x}$ का मान है –
(a) $\cot\frac{x}{2}$
(b) $-\cot\frac{x}{2}$
(c) $-\tan\frac{x}{2}$
(d) $\tan\frac{x}{2}$

(xiv) $\int e^x \cos e^x dx$ का मान होगा –
(a) $e^x$
(b) $-e^x$
(c) $\cos e^x + c$
(d) $\sin e^x + c$

(xv) $\int \frac{e^{\log x}}{x} dx$ का मान होगा –
(a) $e^x$
(b) $e^{\log x}$
(c) $\frac{1}{x}\log x$
(d) $\log x$

प्रश्नक्र-2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

(i) यदि $f(x) = \int_0^x t \sin t \, dt$ , तब $f'(x)$ का मान ………. है।
(ii) समाकलन $\int_1^2 \frac{(x-x^3)^{1/3}}{x^4} \, dx$ का मान ………. है।
(iii) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (x^3 + x\cos x + \tan^5 x + 1) \, dx$ का मान ………. है।
(iv) $\int_0^{\pi/2} \log\left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right) \, dx$ का मान ………. है।
(v) $\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} \, dx$ का मान ………. है।
(vi) $\int \sec x \, dx$ का मान ………. है।
(vii) $\int \sin^2 x \, dx$ का मान ………. है।
(viii) $\int \csc^2 ax \, dx$ का मान ………. है।
(ix) $\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$ का मान ………. है।
(x) $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$ का मान ………. है।
(xi) $\int_0^\pi x\cos x \, dx$ का मान ………. है।
(xii) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^7 x \, dx$ का मान ………. है।
(xiii) $\int_{-1}^1 x^3 \, dx$ का मान ………. है।
(xiv) यदि समाकलन की सीमाएँ बदल दी जाएँ तो समाकलन के मान का चिन्ह ………. हो जाता है।
(xv) $\int_0^4 \sin 2x \, dx$ का मान ………. है।

प्रश्नक्र.-3 एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिये :

(i) यदि $f(a+b-x) = f(x)$ है तो $\int_a^b xf(x) \, dx$ बराबर है ?
(ii) $\int \frac{dx}{x^2+2x+2}$ बराबर है ?
(iii) $\int \frac{dx}{\sqrt{9x-4x^2}}$ बराबर है ?
(iv) $\int_{-2}^1 dx$ का मान क्या होगा ?
(v) किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रतिलोम संक्रिया को क्या कहते है ?
(vi) $\sin ax$ का प्रतिअवकलज लिखो।
(vii) $\int e^x(\sin x + \cos x) \, dx$ का मान क्या होगा ?
(viii) $\int a^x \, dx$ का मान क्या होगा ?
(ix) $\int_0^\pi (\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}) \, dx$ का मान क्या होगा ?
(x) $\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1+\sin 2x}} \, dx$ का मान क्या होगा ?
(xi) $\int \frac{\cos x}{\sin^8 x} \, dx$ का मान क्या होगा ?
(xii) $\int_0^8 |x-5| \, dx$ का मान क्या होगा ?
(xiii) $\int_{-2}^2 |x| \, dx$ का मान क्या होगा ?

प्रश्नक्र-4(A) जोड़ी मिलाइये

\int \frac{10x^9 + 10^x \log 10}{x^{10} + 10^x} \, dx

(i)	$\int \frac{10x^9 + 10^x \log 10}{x^{10} + 10^x} \, dx$	(a)	$\tan x - \cot x + c$
(ii)	$\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$	(b)	$\log(10^x + x^{10}) + C$
(iii)	$\int \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \, dx$	(c)	$\tan(xe^x) + C$
(iv)	$\int \frac{e^x(1+x)}{\cos^2(e^x x)} \, dx$	(d)	$\tan x + \cot x + c$
(iv)	$\int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \, dx$	(e)	1
(v)	$\int_0^1 x e^x \, dx$	(f)	$\frac{\pi}{4}$

प्रश्नक्र-4(B) जोड़ी मिलाइये

MP Board 12th Mathematics Integration Question Bank

प्रश्न

$\int \frac{dx}{e^x+1}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int \sec x dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int \log x dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int_0^{\pi} \cos 2x dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
मान ज्ञात कीजिए : $\int \sin^{-1}(\cos x) dx, 0 \le x \le \pi$
मान ज्ञात कीजिए : $\int xe^x dx$
मान ज्ञात कीजिए : $\int \frac{dx}{x^2-16}$
मान ज्ञात कीजिए : $\int \frac{\cos 2x dx}{(\sin x+\cos x)^2}$
मान ज्ञात कीजिए : $\int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} dx$
$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^4 x}{\sin^4 x+\cos^4 x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int \frac{1}{1+\cos 2x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int(\sqrt{4-x^2})dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\cos\sqrt{x}dx$ का मान ज्ञात कीजिए ।
$\int \sin^{-1} x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \frac{1}{x+\sqrt{x}}dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \sin^{-1}(3x - 4x^3)dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int_0^{\pi/4} \log(1+\tan x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
मान ज्ञात कीजिए : $\int_0^{2a} \frac{f(x)}{f(x)+f(2a-x)} dx$
मान ज्ञात कीजिए : $\int \frac{dx}{x^2-6x+13}$
मान ज्ञात कीजिए : $\int \frac{dx}{\sqrt{3x^2+5x+7}}$
मान ज्ञात कीजिए : $\int e^x(\log\sin x + \cot x)dx$
$\int_{-2}^1 |x^3-x|dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int_0^1 \frac{\tan^{-1}x}{1+x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int_{-1}^1 (x+1) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \cos^2 x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \sin^3 x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \sin^3 x \cos^{2x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \cot x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \frac{\sin(\tan^{-1}x)}{1+x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \frac{1}{x^2-16} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \frac{1}{x(x^n+1)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int x \cos x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
सिद्ध करो कि $\int_0^{\pi/2} \log\sin x dx = \frac{\pi}{2}\log\frac{1}{2}$
$\int \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \frac{dx}{\sin(x-\alpha)\sin(x-\beta)}$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int_0^\pi \frac{x dx}{a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x}$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int(2x-5)\sqrt{2+3x-x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int(\sqrt{x^2+4x+1})dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
मान ज्ञात कीजिए : $\int \frac{dx}{3x^2+13x-10}$
का मान ज्ञात कीजिए : $\int \frac{(3x+1)dx}{2x^2-2x+3}$
का मान ज्ञात कीजिए : $\int \frac{(x-3)e^x}{(x-1)^3}dx$
$\int \frac{x\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^5 x}{\sin^5 x + \cos^5 x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int_0^{\pi/2} \log\sin x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \frac{dx}{1+\tan x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5. सत्य / असत्य लिखिये ।

(i) $\int_0^\pi \cos^3 x dx$ का मान 0 होगा ।
(ii) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^5 x dx$ का मान 0 होगा ।
(iii) अचर पद का समाकलन 0 होता है ।
(iv) $\int_a^b \cos x dx$ का मान $ab\sin x$ होता है ।
(v) $\int (1+\tan^2 x)dx$ का मान $\tan x + c$ होता है ।
(vi) किसी फलन का समाकलन अद्वितीय नहीं होता है ।
(vii) $\int e^x[f(x)+f'(x)]dx$ का समाकलन $= e^x f(x)+c$
(viii) $\int (\sec^2 x \tan x dx)$ का मान $\tan x + c$ होता है ।
(ix) $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt$ होता है ।
(x) $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ होता है ।