MP Board 12th Mathematics Continuity and Differentiability Question Bank कक्षा 12 गणित अध्याय-5 : सातत्य एवं अवकलनीयता प्रश्न बैंक

MP Board 12th Mathematics Continuity and Differentiability Question Bank : कक्षा 12 गणित अध्याय-5 : सातत्य एवं अवकलनीयता प्रश्न बैंक

अध्याय-5 सातत्य एवं अवकलनीयता

स्मरणीय बिंदु :

एक वास्तविक माननीय फलन अपने प्रांत के किसी बिंदु पर संतत होता है यदि उस बिंदु पर फलन की सीमा, उस बिंदु पर फलन के मान के बराबर होती है।
संतत फलनों के योग, अंतर, गुणनफल और भागफल संतत होते हैं, अर्थात्, यदि $f$ तथा $g$ संतत फलन हैं, तो
$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$ संतत होता है।
$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ संतत होता है।
$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ जहाँ $g(x) \ne 0$ , संतत होता है।
प्रत्येक अवकलनीय फलन संतत होता है किंतु इसका विलोम सत्य नहीं है।
श्रृंखला-नियम फलनों के संयोजन का अवकलन करने के लिए एक नियम है। यदि $f = v \circ u, t=u(x)$ और यदि $\frac{dt}{dx}$ तथा $\frac{dv}{dt}$ का अस्तित्व है तो $\frac{df}{dx} = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$

कुछ मानक अवकलज (परिभाषित प्रांतों में) निम्नलिखित हैं :
- $\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}$
- $\frac{d}{dx}(\cot^{-1}x) = \frac{-1}{1+x^2}$
- $\frac{d}{dx}(\sec^{-1}x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
- $\frac{d}{dx}(\csc^{-1}x) = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}$
- $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
- $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$
लघुगणकीय अवकलन, $f(x) = [u(x)]^{v(x)}$ के रूप के फलनों के अवकलन करने के लिए एक सशक्त तकनीक है। इस तकनीक के अर्थपूर्ण होने के लिए आवश्यक है कि $f(x)$ तथा $u(x)$ दोनों ही धनात्मक हों।

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनिए-

(i) $5^x$ का $x$ के सापेक्ष अवकल गुणांक होगा।
(a) $5^x \log_e 5$
(b) $5^x \log_5 e$
(c) $5^x$
(d) $\frac{5^x}{\log_e a}$

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(ii) $x^6$ का $x^3$ के सापेक्ष अवकल गुणांक होगा:
(a) $6x^3$
(b) $3x^2$
(c) $2x^3$
(d) $2x^2$

(iii) यदि $f(x) = \cos^{-1}(\sin x)$ , तब $f'(x)$ का मान होगा:
(a) $1$
(b) $-1$
(c) $0$
(d) इनमें से कोई नहीं

(iv) यदि $y = a\sin mx + b\cos mx$ तब $\frac{d^2y}{dx^2} =$
(a) $m^2y$
(b) $-m^2y$
(c) $my$
(d) $-my$

(v) $\tan^{-1}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)$ का $x$ के सापेक्ष अवकल गुणांक
(a) $\frac{1}{2}$
(b) $-\frac{1}{2}$
(c) $0$
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

(i) $\tan(x^2+5)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन———–होगा।
(ii) $\frac{dy}{dx}$ का मान ———– होगा यदि $\sin(x+y) = x^2+y^2$
(iii) $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ तब $\frac{dy}{dx}$ का मान———-होगा।
(iv) $\sec\left(\frac{5}{x}\right)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन———है।
(v) यदि $f(x) = 1-\cos x$ है तो $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान———-है।
(vi) यदि $y = \log_e e^x$ तब $\frac{dy}{dx} =$ ………………
(vii) यदि $y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +$ ………. तब $\frac{dy}{dx} =$ ………………
(viii) यदि $y = e^x \cos x$ हो तो $\frac{dy}{dx}$ का मान होगा………………
(ix) यदि $y = \sin x^n$ हो तो $x$ के सापेक्ष अवकल का मान………………होगा
(x) $\sin x^3$ का अवकल गुणांक,……………… होता है

प्रश्न 3. सत्य/असत्य लिखिए –

(i) प्रत्येक बहुपद फलन सतत् होता है।
(ii) फलन $f(x) = |x|$ , $x=0$ पर सतत् व अवकलनीय है।
(iii) प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत् होता है।
(iv) $a^{2x}$ का अवकल गुणांक $a^{2x} \log_e 2$ होता है।
(v) यदि $f(x) = \cos^{-1}(\sin x)$ हो तो $f'(x)$ का मान 1 होगा।
(vi) $\sin x$ का अवकल गुणांक $\frac{1}{1+x}$ होगा
(vii) $\log_e x$ का अवकल गुणांक $\frac{1}{x}$ होता है
(viii) $\frac{d}{dx}(\log(\tan x))$ का मान $\csc 2x$ है
(ix) $\cos 2x$ का अवकलन गुणांक $2\sin 2x$ होता हैं
(x) $\log\sin x$ का अवकल गुणांक है $\cot x$
(xi) यदि $y = \log(\log(\log x))$ हो तो $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x \log(\log x)}$
(xii) किसी अचर राशि का अवकल गुणांक सदैव एक अचर होगा

प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए

खण्ड (अ)	खण्ड (ब)
(i) $\sin x^3$ का अवकल गुणांक.	(a). $\frac{1}{1+x^2}$
(ii) $\frac{d}{dx}(\sec^{-1}x) =$ .	(b). सतत् होता है।
(iii) $a^x$ का $x$ के सापेक्ष अवकल गुणांक.	(c). $\frac{1}{x}$
(iv) $\log_e x$ का अवकल गुणांक.	(d). $\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
(v) प्रत्येक अवकलनीय फलन	(e). $a^x \log_e a$
(vi) $\sin^{-1}x$ का अवकल गुणाく	(f) $3x^2 \sin x^3$
(vii) $\tan^{-1}x$ का d/dx	(g) $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

प्रश्न 5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए।

(i) यदि $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ तब $\frac{dy}{dx}$ क्या होगा?
(ii) $\log x$ का अवकलज लिखिए।
(iii) यदि $f(x) = x\cos x + e^x$ तो $f'(0)$ का मान क्या होगा ?
(iv) यदि $y = ax^2+b$ तब $\frac{dy}{dx}$ का मान $x=2$ पर क्या होगा ?
(v) $\sin x$ का अवकल गुणांक क्या होगा
(vi) $\log_e x$ का अवकल गुणांक क्या होगा
(vii) $\tan^{-1}x$ का अवकल गुणांक क्या होगा
(viii) $\sin^{-1}x$ का अवकल गुणांक क्या होगा
(ix) $x^n$ का अवकल गुणांक क्या होगा

प्रश्न क्रमांक 6

$x=3$ पर फलन $f(x) = 2x^2 - 1$ के सातत्य की जाँच कीजिए
फलन $f(x) = |x-5|$ सतत है कि नही जांच कीजिए
फलन $\cos(\sin x)$ को $x$ के सापेक्ष अवकलित कीजिए
$ax+by^2 = \cos y$ का $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए
$\frac{e^x}{\sin x}$ को $x$ के सापेक्ष अवकलित कीजिए
$x^2+2x+3$ फलन का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए
यदि $f$ सतत हो तो $|f|$ भी सतत होगा क्यों?
फलन $x^{20}$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए
फलन $\log x$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए
$\cos, \csc, \sec$ , और $\cot$ फलनों के विचार कीजिए कि कोन सतत है या असतत
दर्शाए कि $f(x) = \cos x^2$ द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है ?
जाँच कीजिए कि क्या $\sin|x|$ एक सतत फलन है ?
$f(x) = |x| - |x-1|$ द्वारा परिभाषित है । फलन के सभी असतत के बिंदु को ज्ञात कीजिए
$f(x) = \begin{cases} kx^2 & ; x \le 2 \ k & ; x > 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन $x=2$ पर सतत है |
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ का $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए |
$y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right), 0 < x < 1$ का $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए |
$y = \sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}), -\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ का $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए |
$y = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right), -1 < x < 1$ का $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए |
$y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{2x^2-1}\right), 0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ का $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए |
$\cos(\log x + e^x)$ का $\frac{dy}{dx}$ क्या होगा |
$x = \cos\theta - \cos 2\theta$ तथा $y = \sin\theta - \sin 2\theta$ तब $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए |
$y = 5\cos x - 3\sin x$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$
$\log(\log x)$ का $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात कीजिए |
$y^x = x^y$ तब $\frac{dy}{dx}$ का मान क्या होगा |
क्या फलन $f(x) = x^2 - \sin x + 5, x=\pi$ सतत है |
फलन $\sin(\log x)$ का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए |
यदि $x = a\cos\theta, y = a\sin\theta$ है तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए |
यदि $x = at^2, y = 2at$ है तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए |
$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos kx}{x\sin x} & \text{जहाँ } x \ne 0 \ \frac{1}{2} & \text{जहाँ } x = 0 \end{cases}$ , $x=0$ पर सतत है तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए |
यदि $x\sin(a+y) + \sin a \cos(a+y) = 0$ हो तो सिद्ध कीजिए : $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin a}$
$k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन $f(x) = \begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) & ; x \ne 0 \ k & ; x=0 \end{cases}$ , $x=0$ पर सतत है।
यदि $x = a\cos^3\theta, y = a\sin^3\theta$ तो $\frac{d^2y}{dx^2}$ का मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ पर ज्ञात कीजिए।
$\tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}$ का $\sin^{-1}\frac{2x}{1+x^2}$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
यदि $xy = e^{x-y}$ तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि $x = a(\theta+\sin\theta), y = a(1-\cos\theta)$ है तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।
यदि $e^x(x+1) = 1$ है तो दर्शाइए कि $\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$
यदि $x^y + y^x = 1$ है तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।
यदि $(\cos x)^y = (\cos y)^x$ है तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।
यदि $y = (x+\frac{1}{x})^x + x^{(1+1/x)}$ तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि $y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$ तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।
यदि $y = x^x - 2^{\sin x}$ तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।
फलन $e^{6x}\cos 3x$ का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए
फलन $x \cos x$ का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए
फलन $\tan^{-1}x$ का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए
फलन $\sin(\log x)$ का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए

उत्तर- (अध्याय 5)

प्रश्न 1. (i) a (ii) c (iii) b (iv) b (v) a

प्रश्न 2. (i) $2x\sec^2(x^2+5)$ (ii) $\frac{\cos(x+y)-2x}{2y-\cos(x+y)}$ (iii) $-\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$ (iv) $\frac{-5\sec\left(\frac{5}{x}\right)\tan\left(\frac{5}{x}\right)}{x^2}$ (v) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (vi) 1 (vii) $e^x$ (viii) $e^x\cos x - e^x\sin x$ (ix) $nx^{n-1}\cos x^n$ (x) $3x^2\cos x^3$

प्रश्न 3. (i) सत्य (ii) असत्य (iii) सत्य (iv) असत्य (v) असत्य (vi) असत्य (vii) सत्य (viii) असत्य (ix) सत्य (x) सत्य (xi) सत्य (xii) असत्य

प्रश्न 4. (i) f (ii) d (iii) e (iv) c (v) b (vi) g (vii) a

प्रश्न 5. (i) $\frac{2}{1+x^2}$ (ii) $x\log x - x$ (iii) 2 (iv) $4a$ (v) $\cos x$ (vi) $\frac{1}{x}$ (vii) $\frac{1}{1+x^2}$ (viii) $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ (ix) $nx^{n-1}$