mP Board 12th Mathematics Continuity and Differentiability Question Bank : कक्षा 12 गणित सांतत्य तथा अवकलनीयता

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mP Board 12th Mathematics Continuity and Differentiability Question Bank : MP Board 12th Mathematics Continuity and Differentiability Question Bank is an excellent resource to aid students in their board exam preparation. यह प्रश्न बैंक सततता और अवकलनीयता के महत्वपूर्ण प्रश्नों को शामिल करता है, जो कक्षा 12वीं के गणित पाठ्यक्रम का अभिन्न हिस्सा है। इसमें वस्तुनिष्ठ, लघु उत्तरीय और दीर्घ उत्तरीय प्रश्न शामिल हैं, जो छात्रों की समझ को बढ़ाते हैं। यह Text प्रारूप में उपलब्ध है, जो डाउनलोड और अभ्यास को आसान बनाता है। MP Board 12th Mathematics Continuity and Differentiability Question Bank के साथ छात्र आत्मविश्वास और बेहतर स्कोर प्राप्त कर सकते हैं।

अध्याय-5 सांतत्य तथा अवकलनीयता

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनिए

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  1. 5^x का x के सापेक्ष अवकल गुणांक होगा।

    2. (a) 5^x \log_e 5 (b) 5^x \log_5 e (c) 5^x (d) \frac{5^x}{\log_e a}

  2. x^6 का x^3 के सापेक्ष अवकल गुणांक होगा:

    3. (a) 6x^3 (b) 3x^2 (c) 2x^3 (d) 2x^2

  3. यदि f(x) = \cos^{-1}(\sin x), तब f'(x) का मान होगा:

    4. (a) 1 (b) -1 (c) 0 (d) इनमें से कोई नहीं

  4. यदि y = a\sin mx + b\cos mx तब \frac{d^2y}{dx^2} =

    5. (a) m^2y (b) -m^2y (c) my (d) -my

  5. \tan^{-1}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक

    6. (a) \frac{1}{2} (b) -\frac{1}{2} (c) 0 (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

  1. \tan(x^2 + 5) का x के सापेक्ष अवकलन \_________\_ होगा।
  2. \frac{dy}{dx} का मान \_________\_ होगा यदि \sin(x+y) = x^2 + y^2
  3. x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} तब \frac{dy}{dx} का मान \_________\_ होगा।
  4. \sec\left(\frac{5}{x}\right) का x के सापेक्ष अवकलन \_________\_ है।
  5. यदि f(x) = 1 - \cos x है तो f'\left(\frac{\pi}{4}\right) का मान \_________\_ है।
  6. यदि y = \log_e e^x तब \frac{dy}{dx} = \_________\_</li> <li>यदि \(y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots तब \frac{dy}{dx} = \_________\_</li> <li>यदि \(y = e^{x\cos x} हो तो \frac{dy}{dx} का मान होगा \_________\_
  7. यदि y = \sin x^n हो तो x के सापेक्ष अवकल का मान \_________\_ होगा |
  8. \sin x^3 का अवकल गुणांक \_________\_ होता है |

प्रश्न 3. सत्य/असत्य लिखिए –

  1. प्रत्येक बहुपद फलन सतत होता है |
  2. फलन f(x) = |x|, x = 0 पर सतत व अवकलनीय है |
  3. प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है |
  4. a^{2x} का अवकल गुणांक a^{2x}\log_2 a होता है |
  5. यदि f(x) = \cos^{-1}(\sin x) हो तो f'(x) का मान 1 होगा |
  6. \sin x का अवकल गुणांक \frac{1}{1+x} होगा |
  7. \log_e x का अवकल गुणांक \frac{1}{x} होता है |
  8. \frac{d}{dx}(\log(\tan x)) का मान \text{cosec } 2x है |
  9. \cos 2x का अवकलन गुणांक 2\sin 2x होता है |
  10. \log \sin x का अवकल गुणांक \cot x
  11. यदि y = \log(\log(\log x)) हो तो \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \cdot \log x \cdot \log(\log x)}
  12. किसी अचर राशि का अवकल गुणांक सदैव एक अचर होगा |

प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए

खण्ड (अ) खण्ड (ब)
(i) \frac{d}{dx}(x^n) (b) nx^{n-1}
(ii) \frac{d}{dx}(a^x) (e) a^x \cdot \log_e a
(iii) (3x)^4 का x^4 के सापेक्ष अवकल गुणांक (a) 81
(iv) \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{4}\right) (c) \frac{1}{2}x
(v) \frac{d}{dx}(3x) (d) 3
(vi) \frac{d}{dx}\sec^{-1}x (g) \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}
(vii) \frac{d}{dx}\cot^{-1}x (f) -\frac{1}{1+x^2}

प्रश्न 5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए।

  1. यदि y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) तब \frac{dy}{dx} क्या होगा?
  2. \log x का अवकलज लिखिए।
  3. यदि f(x) = x\cos x + e^x तो f'(0) का मान क्या होगा ?
  4. यदि y = ax^2 + b तब \frac{dy}{dx} का मान x = 2 पर क्या होगा ?
  5. \sin x का अवकल गुणांक क्या होगा ?
  6. \log_e x का अवकल गुणांक क्या होगा ?
  7. \tan^{-1}x का अवकल गुणांक क्या होगा ?
  8. \sin^{-1}x का अवकल गुणांक क्या होगा ?
  9. x^n का अवकल गुणांक क्या होगा ?
  10. x = 3 पर फलन f(x) = 2x^2 - 1 के सततता की जाँच कीजिए |
  11. फलन f(x) = |x-5| सतत है कि नहीं जाँच कीजिए |
  12. फलन \cos(\sin x) को x के सापेक्ष अवकलित कीजिए |
  13. ax + by^2 = \cos y का \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  14. \frac{e^x}{\sin x} को x के सापेक्ष अवकलित कीजिए |
  15. x^2 + 2x + 3 का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए |
  16. यदि f सतत हो तो |f| भी सतत होगा क्यों?
  17. फलन x^{20} का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए |
  18. फलन \log x का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए |

2 अंकीय प्रश्न:

  1. cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के विचार कीजिए कि कौन सतत है या असतत ?
  2. दर्शाइए कि f(x) = \cos x^2 द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है ?
  3. जाँच कीजिए कि क्या \sin |x| एक सतत फलन है ?
  4. f(x) = |x| - |x-1| द्वारा परिभाषित है, फलन के सभी असतत के बिंदु को ज्ञात कीजिए|
  5. जाँच कीजिए कि क्या फलन f(x) = \begin{cases} kx^2 & x \leq 2 \\ k & x > 2 \end{cases} द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर सतत है?
  6. y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) का \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  7. y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right), 0 < x < 1 का \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  8. y = \sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}), -\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}} का \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  9. y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right), -1 < x < 1 का \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  10. y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{2x^2-1}\right), 0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}} का \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  11. \cos(\log x + e^x) का \frac{dy}{dx} क्या होगा ?
  12. x = \cos\theta - \cos 2\theta तथा y = \sin\theta - \sin 2\theta तब \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |

3 अंकीय प्रश्न:

  1. यदि y = 5\cos x - 3\sin x है तो सिद्ध कीजिए कि \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0
  2. \log(\log x) का \frac{d^2y}{dx^2} ज्ञात कीजिए |
  3. y^x = x^y तब \frac{dy}{dx} का मान क्या होगा ?
  4. क्या फलन f(x) = x^2 - \sin x + 5, x = \pi सतत है ?
  5. फलन \sin(\log x) का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए |
  6. यदि x = a\cos\theta, y = a\sin\theta है तो \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  7. यदि x = at^2, y = 2at है तो \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  8. फलन e^{6x}\cos 3x का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए |
  9. फलन x\cos x का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए |
  10. फलन \tan^{-1}x का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए |
  11. फलन \sin(\log x) का द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए |

4 अंकीय प्रश्न:

  1. f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos kx}{x\sin x} & \text{जहाँ } x \neq 0 \\ \frac{1}{2} & \text{जहाँ } x = 0 \end{cases} पर सतत है तो k का मान ज्ञात कीजिए|
  2. यदि x\sin(a+y) + \sin a \cos(a+y) = 0 हो तो सिद्ध कीजिए : \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin a}
  3. k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन f(x) = \begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\ k & x = 0 \end{cases}, x = 0 पर सतत है |
  4. यदि x = a\cos^3\theta, y = a\sin^3\theta तो \frac{d^2y}{dx^2} का मान \theta = \frac{\pi}{6} पर ज्ञात कीजिए|
  5. \tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2} का \sin^{-1}\frac{2x}{1+x^2} के सापेक्ष अवकलन कीजिए |
  6. यदि xy = e^{x-y} तो \frac{dy}{dx} का मान ज्ञात कीजिए |
  7. यदि x = a(\theta + \sin\theta), y = a(1 - \cos\theta) है तो \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  8. यदि e^x(x+1) = 1 है तो दर्शाइए कि \frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2
  9. यदि x^y + y^x = 1 है तो \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  10. यदि (\cos x)^y = (\cos y)^x है तो \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए |
  11. यदि y = \left(x+\frac{1}{x}\right)^x + x^{\left(x+\frac{1}{x}\right)} तो \frac{dy}{dx} का मान ज्ञात कीजिए |
  12. यदि y = \frac{(x-1)(x-2)}{\sqrt{(x-3)(x-4)(x-5)}} तो \frac{dy}{dx} का मान ज्ञात कीजिए |
  13. यदि y = x^x - 2^{\sin x} तो \frac{dy}{dx} का मान ज्ञात कीजिए |

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