MP Board 12 mathematics Application of Derivatives Question Bank : कक्षा 12 गणित अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्न बैंक

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mP Board 12 mathematics Application of Derivatives Question Bank : mP Board 12 mathematics Application of Derivatives Question Bank is an excellent resource to aid students in their board exam preparation. यह प्रश्न बैंक अवकलज के अनुप्रयोग के महत्वपूर्ण प्रश्नों को शामिल करता है, जो कक्षा 12वीं के गणित पाठ्यक्रम का अभिन्न हिस्सा है। इसमें वस्तुनिष्ठ, लघु उत्तरीय और दीर्घ उत्तरीय प्रश्न शामिल हैं, जो छात्रों की समझ को बढ़ाते हैं। यह Text प्रारूप में उपलब्ध है, जो डाउनलोड और अभ्यास को आसान बनाता है। mP Board 12 mathematics Application of Derivatives Question Bank के साथ छात्र आत्मविश्वास और बेहतर स्कोर प्राप्त कर सकते हैं।

अध्याय-6

अवकलज के अनुप्रयोग

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प्रश्न क्रमांक 1- सही विकल्प चुनकर लिखिए –

  1. एक वृत्त की त्रिज्या r = 6\text{cm} पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है:

    2. (a) 10\pi (b) 12\pi (c) 8\pi (d) 11\pi

  2. एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x) = 3x^2 + 36x + 5 से प्रदत्त है, जब x = 15 है तो सीमांत आय है:

    3. (a) 116 (b) 96 (c) 90 (d) 126

  3. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, \frac{\pi}{2}) में निरंतर ह्रासमान नहीं है :

    4. (a) \cos x (b) \cos 2x (c) \cos 3x (d) इनमें से कोई नहीं

  4. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x) = x^{100} + \sin x - 1 द्वारा प्रदत्त फलन f निरंतर ह्रासमान है:

    5. (a) (0, 1) (b) \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) (c) (0, \frac{\pi}{2}) (d) इनमें से कोई नहीं

  5. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y = x^2e^{-x} वर्धमान है ?

    6. (a) (-\infty, \infty) (b) (-2, 0) (c) (2, \infty) (d) (0, 2)

  6. x के सभी वास्तविक मानों के लिए \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2} का न्यूनतम मान है:

    7. (a) 0 (b) 1 (c) 3 (d) \frac{1}{3}

  7. [x(x-1)+1]^{1/3} का उच्चतम मान है:

    8. (a) \left(\frac{1}{3}\right) (b) \frac{1}{2} (c) 1 (d) 0

  8. एक 10\, \text{m} त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में 314\, \text{m}^3/\text{h} की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:

    9. (a) 1\, \text{m/h} (b) 0.1\, \text{m/h} (c) 1.1\, \text{m/h} (d) 0.5\, \text{m/h}

प्रश्न क्रमांक 2. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए |

  1. रेखा y = mx + 1 वक्र y^2 = 4x की स्पर्श रेखा है तो m का मान क्या है?
  2. [x(x-1)+1]^{1/3}, 0 \leq x \leq 1 का उच्चतम मान क्या है?
  3. x के सभी वास्तविक मानों के लिए \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2} का न्यूनतम मान क्या है?
  4. वक्र x^2 = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु लिखिए |
  5. x = e पर फलन f(x) = \frac{\log x}{x} का मान उच्चतम या निम्नतम है अथवा नहीं?

प्रश्न क्रमांक 3. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए |

  1. एक 10\, \text{m} त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में 314\, \text{m}^2/\text{h} की दर से गेहूँ भरा जाता है, भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर \_________\_ है।
  2. दिए हुए पृष्ठ एवं महतम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के \_________\_ होती है |
  3. फलन f के प्रान्त में एक बिंदु c जिस पर या तो f'(c) = 0 या f अवकलनीय नहीं है, यह बिंदु c फलन f का \_________\_ बिंदु कहलाता है |

प्रश्न क्रमांक 4. निम्न लिखित में से सत्य/असत्य लिखिए :

  1. किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x) = 3x^2 + 36x + 5 से प्रदत्त है, जब x = 5 है तो सीमांत आय 36 रु. होगी।
  2. ऐसी दो धन संख्याएँ जिनका योग k है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम हो तो ये संख्याएँ \frac{k}{2}, \frac{k}{2} होंगी |
  3. वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष 9\pi \text{ cm}^2 होगी जबकि r = 5\text{cm}
  4. f(x) = \frac{\log x}{x} द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम होगा |
  5. यदि f, [a,b] पर परिभाषित एक फलन है कि सभी x \in (a,b) के लिए f'(x) > 0 है तो (a,b) पर f एक ह्रासमान फलन होगा|

2 अंकीय प्रश्न:

  1. एक 5 मीटर लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है। सीढ़ी के निचले सिरे को दीवार से 3\, \text{cm/s} की दर से हटाया जाता है तो सीढ़ी की ऊपरी ऊँचाई किस दर से कम होगी जब इसका निचला सिरा दीवार से 4\, \text{मी. दूर} हो।
  2. सिद्ध कीजिए कि एक दिए हुए वृत्त में खींचे गए सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चिष्ठ होता है।
  3. दो धनात्मक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 और गुणनफल महत्तम हो।
  4. फलन \sin x + \cos x का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
  5. यदि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x^4 - 62x^2 + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।

3 अंकीय प्रश्न:

  1. सिद्ध कीजिए f(x) = \sin x से प्रदत्त फलन
    1. (0, \frac{\pi}{2}) में निरंतर वर्धमान है
    2. (\frac{\pi}{2}, \pi) में निरंतर ह्रासमान है
    3. (0, \pi) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है |
  2. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x^2 - 3x से प्रदत्त फलन f
    1. निरंतर वर्धमान है
    2. निरंतर ह्रासमान है
  3. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 7 से प्रदत्त फलन f
    1. निरंतर वर्धमान है
    2. निरंतर ह्रासमान है
  4. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f(x) = x^2 + ax + 1 से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है।
  5. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = \log \sin x, (0, \frac{\pi}{2}) और (\frac{\pi}{2}, \pi) में निरंतर ह्रासमान है।
  6. सिद्ध कीजिए कि एक शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्रपृष्ठ वाले लंब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।
  7. 100\, \text{cm}^3 आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब-वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
  8. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy^3 उच्चतम हो।
  9. f(x) = x^3 - 3x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन के लिए स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम के सभी बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

4 अंकीय प्रश्न:

  1. सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण \sin^{-1}(\frac{1}{3}) होता है।
  2. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई \frac{4R}{\sqrt{3}} है।
  3. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का \frac{8}{27} होता है।
  4. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिया आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई आधार की त्रिज्या की \sqrt{2} गुनी होती है।
  5. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
  6. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु अर्ध शीर्ष कोण \tan^{-1}\sqrt{2} होता है।
  7. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई \frac{2R}{\sqrt{3}} है।
  8. त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है | सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^{2/3} + b^{2/3})^{3/2} है |
  9. पानी की एक टंकी का आकार, ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले एक उल्टे लंब वृत्तीय शंकु का जिसका शीर्ष कोण \tan^{-1}(0.5) है इसमें 5\, \text{m}^3/\text{min} की दर से पानी भरा जाता है | पानी के स्तर बढ़ने की दर उस क्षण ज्ञात कीजिए जब टंकी में पानी की ऊँचाई 10\, \text{m} है |
  10. सिद्ध कीजिए कि \tan^{-1}(\sin x + \cos x), x > 0 से प्रदत्त फलन f, (0, \frac{\pi}{4}) में निरंतर वर्धमान फलन है |

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