MP Board 10th Trigonometry Introduction Question Bank अध्याय-8: त्रिकोणमिति का परिचय

MP Board 10th Trigonometry Introduction Question Bank : अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय

स्मरणीय बिंदु

त्रिकोणमितीय अनुपात: समकोण त्रिभुज ABC में

त्रिकोणमितीय अनुपात: समकोण त्रिभुज ABC में

कर्ण: AC
कोण A की सम्मुख भुजा: BC
कोण A की संलग्न भुजा: AB

मूल अनुपात:

मूल अनुपात:

$\csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{कोण A की सम्मुख भुजा}} = \frac{AC}{BC}$

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$\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{कोण A की संलग्न भुजा}} = \frac{AC}{AB}$

$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\text{कोण A की संलग्न भुजा}}{\text{कोण A की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC}$

व्युत्क्रम (Reciprocal) अनुपात:
- $\csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{कोण A की सम्मुख भुजा}} = \frac{AC}{BC}$
- $\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{कोण A की संलग्न भुजा}} = \frac{AC}{AB}$
- $\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\text{कोण A की संलग्न भुजा}}{\text{कोण A की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
व्युत्क्रम संबंध:
- $\sin \theta \cdot \csc \theta = 1 \implies \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \implies \sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$
- $\cos \theta \cdot \sec \theta = 1 \implies \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \implies \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$
- $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1 \implies \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \implies \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$
कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

यहाँ स्कैन किया गया टेक्स्ट है:

पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
- $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$
- $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$
- $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$
- $\csc(90^\circ - \theta) = \sec \theta$
- $\sec(90^\circ - \theta) = \csc \theta$
- $\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
- $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \implies 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \implies 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$
- $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \implies \sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta \implies \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
- $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \implies \csc^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta \implies \csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$

प्र. 1 सही विकल्प चुनिए

(1) $\sin 2A = 2\sin A$ तब सत्य होगा जबकि A बराबर है:
(अ) $0^\circ$ (ब) $30^\circ$ (स) $45^\circ$ (द) $60^\circ$

हल: हम A के मानों को रखकर जाँच करेंगे:
- (अ) $A = 0^\circ$ रखने पर: $\sin(2 \times 0^\circ) = \sin 0^\circ = 0$ .
  $2\sin 0^\circ = 2 \times 0 = 0$ .
  चूँकि $0 = 0$ , यह सत्य है।
सही विकल्प: (अ) $0^\circ$

(2) $1 + \tan^2\theta$ का मान है:
(अ) $\cot^2\theta$ (ब) $\sec^2\theta$ (स) $\cot\theta$ (द) $\sec\theta$

हल: यह एक मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है: $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ .
सही विकल्प: (ब) $\sec^2\theta$

(3) $\frac{1 - \tan^2 45^\circ}{1 + \tan^2 45^\circ}$ =
(अ) $\tan 90^\circ$ (ब) 1 (स) $\sin 45^\circ$ (द) 0

हल: .
- $\frac{1 - (1)^2}{1 + (1)^2} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$ .
सही विकल्प: (द) 0

(4) यदि $\csc\theta = \sqrt{10}$ हो तो $\cos\theta$ =
(अ) $\sqrt{10}$ (ब) $\frac{3}{\sqrt{10}}$ (स) $\frac{1}{\sqrt{10}}$ (द) 1

हल: .
- पाइथागोरस प्रमेय से, $\text{आधार}^2 = \text{कर्ण}^2 - \text{लंब}^2 = (\sqrt{10})^2 - 1^2 = 10 - 1 = 9$ .
- $\text{आधार} = \sqrt{9} = 3$ .
- $\cos\theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ .
सही विकल्प: (ब) $\frac{3}{\sqrt{10}}$

(5) $\tan 30^\circ \cdot \sin 30^\circ \cdot \cot 60^\circ \cdot \csc 30^\circ$ =
(अ) 1/2 (ब) 1/3 (स) 1/4 (द) 1

हल: , , , .
- $(\frac{1}{\sqrt{3}}) \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{\sqrt{3}}) \times (2) = \frac{2}{(\sqrt{3})(\sqrt{3}) \times 2} = \frac{2}{3 \times 2} = \frac{1}{3}$ .
सही विकल्प: (ब) 1/3

(6) $\frac{\sin 63^\circ}{\cos 27^\circ}$ =
(अ) $\sqrt{2}$ (ब) 2 (स) 3 (द) 1

हल: पूरक कोणों के सूत्र का उपयोग करने पर:
- $\sin 63^\circ = \sin(90^\circ - 27^\circ) = \cos 27^\circ$ .
- $\frac{\cos 27^\circ}{\cos 27^\circ} = 1$ .
सही विकल्प: (द) 1

(7) $\frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A}$ =
(अ) 1 (ब) $\cot^2 A$ (स) $\tan A$ (द) $\tan^2 A$

हल: सर्वसमिकाओं और का उपयोग करने पर:
- $\frac{\sec^2 A}{\csc^2 A} = \frac{1/\cos^2 A}{1/\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A$ .
सही विकल्प: (द) $\tan^2 A$

(8) $9\sec^2 A - 9\tan^2 A$ =
(अ) 1 (ब) 8 (स) 9 (द) 0

हल: 9 कॉमन लेने पर: .
- चूँकि $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$ (सर्वसमिका से)।
- $9(1) = 9$ .
सही विकल्प: (स) 9

(9) $\csc(90 - A)$ का मान है:
(अ) $\sin A$ (ब) $\sec A$ (स) $\csc A$ (द) $\cot A$

हल: यह पूरक कोणों का मानक सूत्र है। $\csc(90^\circ - A) = \sec A$ .
सही विकल्प: (ब) $\sec A$

(10) यदि $\theta = 60^\circ$ तो $\sin\theta + \cos\theta$ का मान होगा।
(अ) 2 (ब) 1 (स) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ (द) 0

हल: $\sin 60^\circ + \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ .
सही विकल्प: (स) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

(11) $\cos^2 17^\circ - \sin^2 73^\circ$ का मान होगा:
(अ) 1 (ब) 1/3 (स) 0 (द) -1

हल: .
- $\cos^2 17^\circ - (\cos 17^\circ)^2 = \cos^2 17^\circ - \cos^2 17^\circ = 0$ .
सही विकल्प: (स) 0

(12) $\frac{2\tan 30^\circ}{1 + \tan^2 30^\circ}$ =
(अ) $\sin 60^\circ$ (ब) $\cos 60^\circ$ (स) $\tan 60^\circ$ (द) $\sin 30^\circ$

हल: यह का सूत्र है, .
- यहाँ $\theta = 30^\circ$ , अतः यह $\sin(2 \times 30^\circ) = \sin 60^\circ$ के बराबर है।
सही विकल्प: (अ) $\sin 60^\circ$

(13) $\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ =
(अ) $\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$ (ब) $\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}$ (स) $\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$ (द) $\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}$

हल: अंश और हर को से गुणा करने पर:
- $\frac{\sin\theta (1 - \cos\theta)}{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)} = \frac{\sin\theta (1 - \cos\theta)}{1 - \cos^2\theta} = \frac{\sin\theta (1 - \cos\theta)}{\sin^2\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ .
सही विकल्प: (स) $\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$

(14) $\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta}}$ का मान होगा:
(अ) $\cot\theta - \csc\theta$ (ब) $\csc\theta + \cot\theta$ (स) 1 (द) $\csc\theta - \cot\theta$

हल: रूट के अंदर से अंश और हर में गुणा करने पर:
- $\sqrt{\frac{(1 + \cos\theta)(1 + \cos\theta)}{(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos\theta)^2}{\sin^2\theta}}$
- $= \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \csc\theta + \cot\theta$ .
सही विकल्प: (ब) $\csc\theta + \cot\theta$

(15) $(1 + \tan\theta + \sec\theta)(1 + \cot\theta - \csc\theta)$ बराबर है:
(अ) 0 (ब) 1 (स) 2 (द) -1

हल: और में बदलने पर:
- $(\frac{\cos\theta + \sin\theta + 1}{\cos\theta}) \times (\frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta})$
- ऊपर $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ का रूप है, जहाँ $A = (\sin\theta + \cos\theta)$ और $B = 1$ .
- $\frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1^2}{\cos\theta \sin\theta} = \frac{(\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta) - 1}{\cos\theta \sin\theta}$
- $\frac{(1 + 2\sin\theta\cos\theta) - 1}{\cos\theta \sin\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta \sin\theta} = 2$ .
सही विकल्प: (स) 2

(16) $\frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A}$ बराबर है:
(अ) $\sec^2 A$ (ब) -1 (स) $\cot^2 A$ (द) $\tan^2 A$

हल: (यह प्रश्न 7 का दोहराव है) $\frac{\sec^2 A}{\csc^2 A} = \frac{1/\cos^2 A}{1/\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A$ .
सही विकल्प: (द) $\tan^2 A$

(17) $(\sec A + \tan A)(1 - \sin A)$ बराबर है:
(अ) $\sec A$ (ब) $\sin A$ (स) $\csc A$ (द) $\cos A$

हल: और में बदलने पर:
- $(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A})(1 - \sin A) = (\frac{1 + \sin A}{\cos A})(1 - \sin A)$
- $= \frac{(1 + \sin A)(1 - \sin A)}{\cos A} = \frac{1 - \sin^2 A}{\cos A} = \frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A$ .
सही विकल्प: (द) $\cos A$

प्र. 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति करे

(i) $\sqrt{1 - \cos^2\theta}$ का मान $\sin\theta$ होगा।

हल: $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ , $\sqrt{\sin^2\theta} = \sin\theta$ .

(ii) $\frac{\cot 59^\circ}{\tan 31^\circ}$ का मान 1 होगा।

हल: $\cot 59^\circ = \cot(90^\circ - 31^\circ) = \tan 31^\circ$ .

(iii) $\sec(90 - \theta)$ का मान $\csc\theta$ होगा।

(iv) $\sqrt{\sec^2\theta - 1}$ का मान $\tan\theta$ होगा।

हल: $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$ , $\sqrt{\tan^2\theta} = \tan\theta$ .

(v) $\csc 45^\circ$ का मान $\sqrt{2}$ होगा।

(vi) $\frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ}$ का मान 1 होगा।

हल: $\sin 18^\circ = \sin(90^\circ - 72^\circ) = \cos 72^\circ$ .

(vii) $\tan^2\theta - \sec^2\theta$ का मान -1 होगा।

हल: $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \implies \tan^2\theta - \sec^2\theta = -1$ .

(viii) $\tan 60^\circ$ का मान $\sqrt{3}$ होगा।

(ix) $\csc(90 - \theta) \sin(90 - \theta)$ का मान 1 होगा।

हल: $\sec\theta \cdot \cos\theta = \frac{1}{\cos\theta} \cdot \cos\theta = 1$ .

(x) $\tan\theta = \frac{3}{4}$ हो तो $\sin\theta$ मान $3/5$ होगा।

हल: $\text{लंब}=3, \text{आधार}=4$ , $\text{कर्ण}=\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ . $\sin\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}$ .

प्र.3 Match the Coloumn

(1) $\sin\theta$ → (ii) लंब / कर्ण
(2) $\sec\theta \cdot \cos\theta$ → (iii) 1
(3) $\tan 30^\circ$ → (iv) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
(4) $\cot\theta$ → (v) $\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
(5) $\sec(90 - \theta)$ → (vi) $\csc\theta$

(1) $\csc 60^\circ$ → (iii) $\frac{2}{\sqrt{3}}$
(2) $\tan(90 - \theta)$ → (iv) $\cot\theta$
(3) → (v) 2
- (हल: $\sin 48^\circ \csc(90-42)^\circ + \cos 48^\circ \sec(90-42)^\circ = \sin 48^\circ \csc 48^\circ + \cos 48^\circ \sec 48^\circ = 1 + 1 = 2$ )
(4) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ → (i) 1
(5) $\tan 90^\circ$ → (ii) $\infty$ (अपरिभाषित)

प्र.3 Match the Coloumn

(1) → (iii) 1
- (हल: सर्वसमिका $\sec^2x - \tan^2x = 1$ से)
(2) → (iv) 2
- (हल: $2(1) = 2$ )
(3) $1 + \tan^2\theta$ → (v) $\sec^2\theta$
(4) $\csc^2\theta - 1$ → (i) $\cot^2\theta$
(5) $\csc(90 - \theta)$ → (ii) $\sec\theta$

प्र.4 Match the Coloumn

(1) $1 + \cot^2\theta$ → (v) $\csc^2\theta$
(2) $\sec\theta$ → (vi) $\frac{1}{\cos\theta}$
(3) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ → (iv) 1
(4) $\tan 60^\circ$ → (iii) $\sqrt{3}$
(5) $\sec(90 - \theta)$ → (i) $\csc\theta$

प्र.5 Match the Coloumn

(1) $1 + \tan^2\theta$ → (ii) $\sec^2\theta$
(2) $\tan(90 - \theta)$ → (iv) $\cot\theta$
(3) → (v) $\sin\theta$
- (हल: $\sqrt{\sin^2\theta} = \sin\theta$ )
(4) $1 + \cot^2\theta$ → (i) $\csc^2\theta$
(5) $\sin 45^\circ$ → (iii) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

प्र.6 Match the Coloumn

(1) $\sin 60^\circ$ → (ii) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) $1 + \tan^2\theta$ → (i) $\sec^2\theta$
(3) $\frac{1}{\sec\theta}$ → (iv) $\cos\theta$
(4) $\cos^2\theta + \sin^2\theta$ → (v) 1
(5) $\csc^2\theta - 1$ → (iii) $\cot^2\theta$

प्र.7 Match the Coloumn

(i) $1 - \cos^2A$ → (ब) $\sin^2A$
(ii) $\sin(90 - A)$ → (स) $\cos A$
(iii) $1 - \sin^2A$ → (फ) $\cos^2A$
(iv) $1 + \tan^2A$ → (अ) $\sec^2A$
(v) $\tan(90 - A)$ → (द) $\cot A$
(vi) $\sec^2A - \tan^2A$ → (ई) 1

प्र.8 Match the Coloumn

(i) $\sin 30^\circ$ → (द) $1/2$
(ii) $\tan 45^\circ$ → (फ) 1
(iii) $\sec 45^\circ$ → (ई) $\sqrt{2}$
(iv) $\cos 90^\circ$ → (अ) 0
(v) $\sin 60^\circ$ → (ब) $\sqrt{3}/2$
(vi) $\tan 30^\circ$ → (स) $1/\sqrt{3}$

यहाँ सभी स्कैन किए गए प्रश्नों के पाठ और उनके उचित हल दिए गए हैं:

प्र.04 एक शब्द / वाक्य में उत्तर लिखिए।

(i) $1 + \tan^2\theta$ का मान लिखिए।

हल: यह एक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।
उत्तर: $\sec^2\theta$

(ii) $1 + \cot^2\theta$ का मान लिखिए।

हल: यह एक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।
उत्तर: $\csc^2\theta$

(iii) $\cos(90 - \theta)$ का मान लिखिए।

हल: यह पूरक कोणों का सूत्र है।
उत्तर: $\sin\theta$

(iv) $\tan 30^\circ$ का मान लिखिए।

हल: यह $30^\circ$ के लिए $\tan$ का मानक मान है।
उत्तर: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(v) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ का मान लिखिए।

हल: यह मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।
उत्तर: 1

(vi) $\frac{\tan 65^\circ}{\cot 25^\circ}$ का मान बताइए।

हल: $\tan 65^\circ = \tan(90^\circ - 25^\circ) = \cot 25^\circ$ .
उत्तर: $\frac{\cot 25^\circ}{\cot 25^\circ} = 1$

(vii) $\cos 85^\circ + \cos 75^\circ$ को $0^\circ$ और $45^\circ$ के बीच के कोणों में व्यक्त कीजिए।

हल: $\cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ$ . $\cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$ .
उत्तर: $\sin 5^\circ + \sin 15^\circ$

(viii) $\sin 25^\circ \cos 65^\circ + \cos 25^\circ \sin 65^\circ$ का मान क्या होगा?

हल: यह $\sin(A + B)$ का सूत्र है, जो $\sin(25^\circ + 65^\circ) = \sin 90^\circ = 1$ होता है।
वैकल्पिक रूप से: $\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$ और $\sin 65^\circ = \cos 25^\circ$ .
$\sin 25^\circ \cdot \sin 25^\circ + \cos 25^\circ \cdot \cos 25^\circ = \sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.05 सत्य/ असत्य लिखिए।

(i) $\theta$ के सभी मानों के लिए $\sin\theta = \cos\theta$ होता है।

उत्तर: असत्य (यह केवल $\theta = 45^\circ$ के लिए सत्य है)।

(ii) $\tan A$ का मान सदैव 1 से कम होता है।

उत्तर: असत्य (जैसे, $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73$ , जो 1 से अधिक है)।

(iii) $\tan A$ , $\tan$ और $A$ का गुणनफल होता है।

उत्तर: असत्य ( $\tan$ , कोण $A$ पर एक फलन (function) है)।

(iv) $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

उत्तर: असत्य (यह त्रिकोणमिति का गुण नहीं है)।

(v) $A = 0^\circ$ पर $\cot A$ परिभाषित नहीं है।

उत्तर: सत्य (क्योंकि $\cot 0^\circ = \frac{\cos 0^\circ}{\sin 0^\circ} = \frac{1}{0}$ , जो अपरिभाषित है)।

प्र.06 से प्र.55 (गणना एवं सिद्धि)

प्र.06 यदि $15 \cot A = 8$ हो तो $\sin A$ का मान क्या होगा?

हल: $\cot A = \frac{8}{15} = \frac{\text{आधार}}{\text{लंब}}$ .
$\text{कर्ण} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .
$\sin A = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{15}{17}$ .
उत्तर: $15/17$

प्र.07 यदि $\sin\theta = \cos\theta$ तो $\theta$ का मान क्या होगा?

हल: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 1 \implies \tan\theta = 1$ . यह $45^\circ$ पर होता है।
उत्तर: $45^\circ$

प्र.08 $\csc(90 - \theta) \sin(90 - \theta)$ किसके बराबर है?

हल: $\sec\theta \cdot \cos\theta = \frac{1}{\cos\theta} \cdot \cos\theta = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.09 यदि $\tan A = 3/4$ हो तो $\sin\theta$ का मान क्या होगा? (माना $A=\theta$ )

हल: $\tan A = \frac{3}{4} = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$ . $\text{कर्ण} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ .
$\sin A = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}$ .
उत्तर: $3/5$

प्र.10 यदि $\theta = 30^\circ$ तो $2\cos 2\theta$ का मान क्या होगा?

हल: $2\cos(2 \times 30^\circ) = 2\cos 60^\circ = 2 \times (\frac{1}{2}) = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.11 $\frac{\sin 61^\circ}{\cos 29^\circ}$ का मान क्या होगा?

हल: $\sin 61^\circ = \sin(90^\circ - 29^\circ) = \cos 29^\circ$ .
उत्तर: $\frac{\cos 29^\circ}{\cos 29^\circ} = 1$

प्र.12 $\tan 15^\circ \cdot \tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ \cdot \tan 75^\circ$ का मान क्या होगा?

हल: $(\tan 15^\circ \cdot \tan 75^\circ) \cdot (\tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ)$
$= (\tan 15^\circ \cdot \cot 15^\circ) \cdot (\tan 20^\circ \cdot \cot 20^\circ) = 1 \times 1 = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.13 यदि $5\cot\theta = 3$ तब $5\sin\theta - 3\cos\theta$ का मान क्या होगा?
(नोट: यह प्रश्न अधूरा या त्रुटिपूर्ण प्रतीत होता है, क्योंकि इसका उत्तर एक संख्या नहीं होगी। यदि प्रश्न $\frac{5\sin\theta - 3\cos\theta}{5\sin\theta + 3\cos\theta}$ होता, तो हल 8/17 होता। यदि प्रश्न $3\sin\theta - 5\cos\theta$ होता, तो हल 0 होता। प्रश्न के लिखे अनुसार हल निम्न है:)

हल: $\cot\theta = 3/5 = \frac{B}{P}$ . $H = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ .
$\sin\theta = 5/\sqrt{34}$ , $\cos\theta = 3/\sqrt{34}$ .
$5(\frac{5}{\sqrt{34}}) - 3(\frac{3}{\sqrt{34}}) = \frac{25-9}{\sqrt{34}} = \frac{16}{\sqrt{34}}$ .
उत्तर: $16/\sqrt{34}$

प्र.14 यदि $\sqrt{2}\cos\theta = 1$ हो तो $\theta$ का मान क्या होगा?

हल: $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
उत्तर: $45^\circ$

प्र.15 $\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ$ का मान क्या होगा?

हल: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.16 यदि $\csc\theta = 5/3$ हो तो $\cot\theta$ का मान क्या होगा?

हल: $H=5, P=3 \implies B = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ .
$\cot\theta = \frac{B}{P} = \frac{4}{3}$ .
उत्तर: $4/3$

प्र.17 $\sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ$ का मान क्या होगा?

हल: $\sin^2 72^\circ = \cos^2(90^\circ - 72^\circ) = \cos^2 18^\circ$ .
$\sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.18 यदि $\sqrt{3}\tan\theta = 1$ हो तो $0^\circ$ से $90^\circ$ के बीच $\theta$ का मान क्या होगा?

हल: $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .
उत्तर: $30^\circ$

प्र.19 दिखाइए कि $\cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ = 0$ .

हल: यह $\cos(A+B)$ का सूत्र है। $\cos(38^\circ + 52^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ .
(इति सिद्धम)

प्र.20 यदि $A, B$ और $C$ त्रिभुज $ABC$ के अंतःकोण हों तो $\sin(\frac{B+C}{2}) = \cos\frac{A}{2}$ .

हल: $A+B+C = 180^\circ \implies B+C = 180^\circ - A$ .
LHS: $\sin(\frac{180^\circ - A}{2}) = \sin(90^\circ - \frac{A}{2}) = \cos\frac{A}{2}$ . (इति सिद्धम)

प्र.21 यदि $\sin 3A = \cos(A - 26^\circ)$ … तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल: $\sin 3A = \cos(90^\circ - 3A)$ .
$\cos(90^\circ - 3A) = \cos(A - 26^\circ) \implies 90 - 3A = A - 26$
$116 = 4A \implies A = 29^\circ$ .
उत्तर: $A = 29^\circ$

प्र.22 सिद्ध कीजिए: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .

हल: लंब (P), आधार (B), कर्ण (H) से, $(\frac{P}{H})^2 + (\frac{B}{H})^2 = \frac{P^2 + B^2}{H^2} = \frac{H^2}{H^2} = 1$ . (इति सिद्धम)

प्र.23 यदि $3\cos A = 4$ तो जाँच कीजिए…
(नोट: प्रश्न में $3\cos A = 4$ त्रुटिपूर्ण है, क्योंकि $\cos A > 1$ असंभव है। इसे $3\cot A = 4$ मानते हुए हल किया गया है।)

हल: $3\cot A = 4 \implies \cot A = 4/3$ . $B=4, P=3, H=5$ .
LHS: $\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$ .
RHS: $\cos^2 A - \sin^2 A = (4/5)^2 - (3/5)^2 = \frac{16-9}{25} = \frac{7}{25}$ .
उत्तर: हाँ, है।

प्र.24 $\tan(A+B) = \sqrt{3}$ और $\tan(A-B) = 1/\sqrt{3}$ … A और B का मान ज्ञात कीजिए।

हल: $A+B = 60^\circ$ (1) और $A-B = 30^\circ$ (2).
(1) + (2): $2A = 90^\circ \implies A = 45^\circ$ .
(1) में रखने पर: $45^\circ + B = 60^\circ \implies B = 15^\circ$ .
उत्तर: $A = 45^\circ, B = 15^\circ$

प्र.25 मान निकालिए: $\sin 60^\circ \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \cos 60^\circ$ .

हल: $(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.26 मान निकालिए: $2\tan^2 45^\circ + \cos^2 30^\circ - \sin^2 60^\circ$ .

हल: $2(1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + 0 = 2$ .
उत्तर: 2

प्र.27 दिखाइए कि: $\tan 48^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan 67^\circ = 1$ .

हल: $(\tan 48^\circ \tan 42^\circ) \cdot (\tan 23^\circ \tan 67^\circ)$
$= (\tan 48^\circ \cot 48^\circ) \cdot (\tan 23^\circ \cot 23^\circ) = 1 \times 1 = 1$ . (इति सिद्धम)

प्र.28 यदि $\tan 2A = \cot(A - 18^\circ)$ … A का मान ज्ञात कीजिए।

हल: $\tan 2A = \tan(90^\circ - (A - 18^\circ)) = \tan(108^\circ - A)$ .
$2A = 108^\circ - A \implies 3A = 108^\circ \implies A = 36^\circ$ .
उत्तर: $A = 36^\circ$

प्र.29 यदि $\sec 4A = \csc(A - 20^\circ)$ … A का मान ज्ञात कीजिए।

हल: $\sec 4A = \sec(90^\circ - (A - 20^\circ)) = \sec(110^\circ - A)$ .
$4A = 110^\circ - A \implies 5A = 110^\circ \implies A = 22^\circ$ .
उत्तर: $A = 22^\circ$

प्र.30 मान निकालिए: $\frac{\sin^2 63^\circ + \sin^2 27^\circ}{\cos^2 17^\circ + \cos^2 73^\circ}$ .

हल: $\frac{\sin^2 63^\circ + \cos^2(90-27)^\circ}{\cos^2 17^\circ + \sin^2(90-73)^\circ} = \frac{\sin^2 63^\circ + \cos^2 63^\circ}{\cos^2 17^\circ + \sin^2 17^\circ} = \frac{1}{1} = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.31 मान निकालिए: $\sin 25^\circ \cos 65^\circ + \cos 25^\circ \sin 65^\circ$ .

हल: (यह प्र.04(viii) का दोहराव है) $\sin(25^\circ + 65^\circ) = \sin 90^\circ = 1$ .
उत्तर: 1

प्र.32 यदि $\tan A = 4/3$ , हो तो $A$ के अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल: $P=4, B=3 \implies H = 5$ .
उत्तर: $\sin A = 4/5, \cos A = 3/5, \csc A = 5/4, \sec A = 5/3, \cot A = 3/4$

प्र.33 यदि $\sec\theta = 13/12$ , हो तो $\sin A$ का मान ज्ञात कीजिए। (माना $\theta=A$ )

हल: $H=13, B=12 \implies P = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5$ .
उत्तर: $\sin A = 5/13$

प्र.34 यदि $\sin A = 3/4$ , तो $\cos A$ और $\tan A$ का मान परिकलित कीजिए।

हल: $P=3, H=4 \implies B = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$ .
उत्तर: $\cos A = \sqrt{7}/4, \tan A = 3/\sqrt{7}$

प्र.35 यदि $15 \cot A = 8$ हो तो $\sin A$ और $\sec A$ का मान परिकलित कीजिए।

हल: (यह प्र.06 का दोहराव है) $\cot A = 8/15 \implies B=8, P=15 \implies H=17$ .
उत्तर: $\sin A = 15/17, \sec A = 17/8$

प्र.36 $\Delta ABC$ में जिसका कोण $B$ समकोण है, $AB=24$ cm और $BC=7$ cm है, तो $\sin A$ और $\sin C$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल: $H = AC = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25$ .
$\sin A = \frac{\text{लंब (BC)}}{\text{कर्ण}} = 7/25$ .
$\sin C = \frac{\text{लंब (AB)}}{\text{कर्ण}} = 24/25$ .
उत्तर: $\sin A = 7/25, \sin C = 24/25$

प्र.37 $\frac{\tan 65^\circ}{\cot 25^\circ}$ का मान परिकलित कीजिए।

हल: (यह प्र.04(vi) का दोहराव है) $\tan 65^\circ = \cot 25^\circ$ .
उत्तर: 1

प्र.38 $\cos 48^\circ - \sin 42^\circ$ का मान परिकलित कीजिए।

हल: $\cos 48^\circ = \cos(90^\circ - 42^\circ) = \sin 42^\circ$ .
$\sin 42^\circ - \sin 42^\circ = 0$ .
उत्तर: 0

प्र.39 यदि $\tan A = \cot B$ , तो सिद्ध कीजिए कि $A + B = 90^\circ$ .

हल: $\tan A = \tan(90^\circ - B) \implies A = 90^\circ - B \implies A + B = 90^\circ$ . (इति सिद्धम)

प्र.40 $\cot 85^\circ + \cos 75^\circ$ को $0^\circ$ और $45^\circ$ के बीच के कोणों में व्यक्त कीजिए।

हल: $\cot(90^\circ - 5^\circ) + \cos(90^\circ - 15^\circ) = \tan 5^\circ + \sin 15^\circ$ .
उत्तर: $\tan 5^\circ + \sin 15^\circ$

प्र.41 $\sin 67^\circ + \cos 75^\circ$ को $0^\circ$ और $45^\circ$ के बीच के कोणों में व्यक्त कीजिए।

हल: $\sin(90^\circ - 23^\circ) + \cos(90^\circ - 15^\circ) = \cos 23^\circ + \sin 15^\circ$ .
उत्तर: $\cos 23^\circ + \sin 15^\circ$

प्र.42 सिद्ध कीजिए: $\frac{\cot A - \cos A}{\cot A + \cos A} = \frac{\csc A - 1}{\csc A + 1}$

हल: LHS = $\frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A} + \cos A} = \frac{\cos A(\frac{1}{\sin A} - 1)}{\cos A(\frac{1}{\sin A} + 1)} = \frac{\csc A - 1}{\csc A + 1}$ . (इति सिद्धम)

प्र.43 सिद्ध कीजिए: $\sec A(1 - \sin A)(\sec A + \tan A) = 1$

हल: LHS = $(\frac{1}{\cos A})(1 - \sin A)(\frac{1 + \sin A}{\cos A}) = \frac{1 - \sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1$ . (इति सिद्धम)

प्र.44 सिद्ध कीजिए: $\sqrt{\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A}} = \sec A + \tan A$ .

हल: LHS = $\sqrt{\frac{(1 + \sin A)(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin A)^2}{1 - \sin^2 A}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin A)^2}{\cos^2 A}}$
$= \frac{1 + \sin A}{\cos A} = \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} = \sec A + \tan A$ . (इति सिद्धम)

प्र.45 सिद्ध कीजिए: $(\csc\theta - \cot\theta)^2 = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}$

हल: LHS = $(\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta})^2 = \frac{(1 - \cos\theta)^2}{\sin^2\theta} = \frac{(1 - \cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta}$
$= \frac{(1 - \cos\theta)(1 - \cos\theta)}{(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}$ . (इति सिद्धम)

प्र.46 सिद्ध कीजिए: $\frac{\sin\theta - 2\sin^3\theta}{2\cos^3\theta - \cos\theta} = \tan\theta$

हल: LHS = $\frac{\sin\theta(1 - 2\sin^2\theta)}{\cos\theta(2\cos^2\theta - 1)}$ . चूँकि $\cos 2\theta = 1-2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1$ .
LHS = $\frac{\sin\theta(\cos 2\theta)}{\cos\theta(\cos 2\theta)} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$ . (इति सिद्धम)

प्र.47 $\frac{\sin\theta - \cos\theta + 1}{\sin\theta + \cos\theta - 1} = \frac{1}{\sec\theta - \tan\theta}$ सिद्ध कीजिए।

हल: अंश और हर को $\cos\theta$ से भाग देने पर:
LHS = $\frac{\tan\theta - 1 + \sec\theta}{\tan\theta + 1 - \sec\theta} = \frac{(\tan\theta + \sec\theta) - 1}{(\tan\theta - \sec\theta) + 1}$
$1 = \sec^2\theta - \tan^2\theta$ को अंश में रखने पर:
$= \frac{(\sec\theta + \tan\theta) - (\sec^2\theta - \tan^2\theta)}{1 - \sec\theta + \tan\theta} = \frac{(\sec\theta + \tan\theta) - (\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta)}{1 - \sec\theta + \tan\theta}$
$= \frac{(\sec\theta + \tan\theta)(1 - (\sec\theta - \tan\theta))}{1 - \sec\theta + \tan\theta} = \frac{(\sec\theta + \tan\theta)(1 - \sec\theta + \tan\theta)}{1 - \sec\theta + \tan\theta}$
$= \sec\theta + \tan\theta$ .
RHS = $\frac{1}{\sec\theta - \tan\theta} \times \frac{\sec\theta + \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} = \frac{\sec\theta + \tan\theta}{\sec^2\theta - \tan^2\theta} = \sec\theta + \tan\theta$ . (इति सिद्धम)

प्र.48 $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ को सिद्ध कीजिए।

हल: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ को $\cos^2\theta$ से भाग देने पर:
$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \implies \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ . (इति सिद्धम)

प्र.49 $\cot\theta = 7/8$ तो $\frac{(1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)}{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल: $\frac{1 - \sin^2\theta}{1 - \cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = (\cot\theta)^2 = (\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}$ .
उत्तर: 49/64

प्र.50 $\Delta PQR$ में $\angle Q$ समकोण है, $PR + QR = 25$ cm और $PQ = 5$ cm है। $\sin P, \cos P$ और $\tan P$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल: $PQ^2 + QR^2 = PR^2 \implies 5^2 + QR^2 = (25 - QR)^2$
$25 + QR^2 = 625 - 50QR + QR^2 \implies 50QR = 600 \implies QR = 12$ cm.
$PR = 25 - 12 = 13$ cm.
$\sin P = \frac{QR}{PR} = 12/13$ , $\cos P = \frac{PQ}{PR} = 5/13$ , $\tan P = \frac{QR}{PQ} = 12/5$ .
उत्तर: $\sin P = 12/13, \cos P = 5/13, \tan P = 12/5$

प्र.51 सिद्ध कीजिए: $(\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$ .

हल: LHS = $(\sin^2 A + \csc^2 A + 2) + (\cos^2 A + \sec^2 A + 2)$
$= (\sin^2 A + \cos^2 A) + \csc^2 A + \sec^2 A + 4$
$= 1 + (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A) + 4 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$ . (इति सिद्धम)

प्र.52 सिद्ध कीजिए: $\frac{1 + \sec A}{\sec A} = \frac{\sin^2 A}{1 - \cos A}$ .

हल: LHS = $\frac{1 + 1/\cos A}{1/\cos A} = \frac{(\cos A + 1)/\cos A}{1/\cos A} = \cos A + 1$ .
RHS = $\frac{1 - \cos^2 A}{1 - \cos A} = \frac{(1 - \cos A)(1 + \cos A)}{1 - \cos A} = 1 + \cos A$ . (इति सिद्धम)

प्र.53 यदि $\angle B$ और $\angle Q$ न्यूनकोण हों जिससे कि $\sin B = \sin Q$ , तो सिद्ध कीजिए कि $\angle B = \angle Q$ .

हल: चूँकि $0^\circ$ से $90^\circ$ (न्यूनकोण) के बीच $\sin$ फलन एक-से-एक (one-to-one) होता है, यदि $\sin B = \sin Q$ है, तो $\angle B = \angle Q$ होना अनिवार्य है। (इति सिद्धम)

प्र.54 समकोण $\Delta ABC$ में $\angle B$ समकोण है, यदि $\tan A = 1$ तो सत्यापित कीजिए कि $2\sin A\cos A = 1$ .

हल: $\tan A = 1 \implies A = 45^\circ$ .
LHS = $2\sin 45^\circ \cos 45^\circ = 2(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$ . (इति सिद्धम)

प्र.55 $\frac{\cos 45^\circ}{\sec 30^\circ + \csc 30^\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल: $\frac{1/\sqrt{2}}{2/\sqrt{3} + 2} = \frac{1/\sqrt{2}}{(2 + 2\sqrt{3})/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}(2 + 2\sqrt{3})}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}} \cdot \frac{2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{18} - 2\sqrt{6}}{(2\sqrt{6})^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2(3\sqrt{2}) - 2\sqrt{6}}{24 - 8} = \frac{6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{16} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$ .
उत्तर: $\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$