MP Board 10th Some Uses of Trigonometry Question Bank अध्याय-9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

MP Board 10th Some Uses of Trigonometry Question Bank : अध्याय-9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
स्मरणीय बिंदु:
(1) दृष्टि रेखा प्रेक्षक की आँख से प्रेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु के बिंदु को मिलाने वाली रेखा होती है।
(2) देखी गई वस्तु का उन्नयन कोण दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है जबकि यह क्षैतिज स्तर से ऊपर होता है अर्थात् वह स्थिति जबकि वस्तु को देखने के लिए हमें अपने सिर को ऊपर उठाना होता है।
(3) देखी गई वस्तु का अवनमन कोण दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है जबकि क्षैतिज रेखा क्षैतिज स्तर से नीचे होती है अर्थात् वह स्थिति जबकि वस्तु को देखने के लिए हमें अपने सिर को झुकाना पड़ता है।
प्र. 1 सही विकल्प चुनिए:
i) यदि सूर्य का उन्नयन कोण $60^\circ$ है, तब 30 मीटर लंबी छाया बनाने वाले मीनार की ऊँचाई है:
(अ) $30\sqrt{3}$ मी. (ब) 15 मी. (स) $\frac{30}{\sqrt{3}}$ मी. (द) $15\sqrt{2}$ मी.
ii) यदि मीनार के पाद से 50 मी. दूर स्थित बिंदु पर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है, तो मीनार की ऊँचाई है:
(अ) $\frac{50}{\sqrt{3}}$ मी. (ब) $50\sqrt{3}$ मी. (स) $25\sqrt{3}$ मी. (द) $\frac{100}{\sqrt{3}}$ मी.
iii) दो स्तम्भ 20 मी. और 14 मी. ऊँचे हैं, के शिखरों को एक तार से जोड़ दिया गया है यदि तार क्षैतिज के साथ $30^\circ$ का कोण बनाता है तो तार की लम्बाई है:
(अ) 6 मी. (ब) 8 मी. (स) 10 मी. (द) 12 मी.
iv) भूमि के एक बिंदु से जो मीनार के पाद बिंदु से 30 मी. की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है मीनार की ऊँचाई होगी:
(अ) $20\sqrt{3}$ मी. (ब) $10\sqrt{3}$ मी. (स) $30\sqrt{3}$ मी. (द) $40\sqrt{3}$ मी.
v) सूर्य का उन्नयन कोण, जब किसी सीधे खड़े स्तम्भ की छाया और उसकी ऊँचाई बराबर हो, होगा:
(अ) $30^\circ$ (ब) $45^\circ$ (स) $60^\circ$ (द) $0^\circ$

vi) एक 6 मीटर ऊँचे वृक्ष की छाया 4 मीटर लंबी है, उसी समय एक खंबे की छाया 50 मीटर लंबी है, खंबे की ऊँचाई है:
(अ) 40 मी. (ब) 25 मी. (स) 15 मी. (द) 75 मी.
vii) यदि एक सीधे खंबे की छाया की लम्बाई, खंबे की ऊँचाई की $\sqrt{3}$ गुना है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है:
(अ) $45^\circ$ (ब) $75^\circ$ (स) $60^\circ$ (द) $30^\circ$
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viii) एक मीनार से 100 मीटर दूर स्थित बिंदु पर मीनार का उन्नयन कोण $60^\circ$ है तो मीनार की ऊँचाई है:
(अ) $100\sqrt{3}$ मी. (ब) $50\sqrt{3}$ मी. (स) $\frac{100}{\sqrt{3}}$ मी. (द) $\frac{50}{\sqrt{3}}$ मी.

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प्र. 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
i. 3 मीटर ऊँची मीनार के पाद से 3 मीटर दूर स्थित बिंदु पर मीनार की चोटी का उन्नयन कोण …….. होगा।
ii. एक सीधे स्तम्भ की ऊँचाई $7\sqrt{3}$ मी. है तथा इसकी छाया की लम्बाई 21 मी. है, प्रकाश स्रोत का उन्नयन कोण …….. होगा।
iii. एक व्यक्ति एक रस्सी से 10 मी. ऊँचे खंभे पर जाता है, यह रस्सी जमीन से $30^\circ$ का कोण बनाती है, व्यक्ति द्वारा चली गई दूरी …….. होगी।
iv. 30 मीटर लंबी सीढ़ी एक दीवार पर इस प्रकार लगी है कि उसका सिरा 15 मीटर ऊँची दीवार के शिखर पर पहुँचता है, सीढ़ी जमीन के साथ …….. का कोण बनायेगी।
v. यदि सूर्य का उन्नयन कोण $60^\circ$ है, तब 30 मीटर लंबी छाया बनाने वाले मीनार की ऊँचाई …….. होगी।
प्र. 3 एक शब्द या वाक्य में उत्तर दीजिए।
i. 25 मीटर ऊँचे एक पुल से एक नाव का अवनमन कोण $45^\circ$ है। नाव की पुल से क्षैतिज दूरी क्या होगी?
ii. 10 मीटर ऊँचे एक वृक्ष की छाया की लम्बाई ज्ञात कीजिए यदि सूर्य का उन्नयन कोण $30^\circ$ है।
iii. $200\sqrt{3}$ मीटर ऊँचाई वाले वृक्ष के शिखर का उन्नयन कोण, वृक्ष के आधार से 200 मीटर दूर एक बिंदु पर क्या होगा?
iv. यदि 10 मीटर ऊँचे एक वृक्ष की छाया $10\sqrt{3}$ मीटर है तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
v. हमारी आँख से उस वस्तु को जिसे हम देख रहे हैं, को जोड़ने वाली रेखा क्या कहलाती है?

प्र. 4 सत्य / असत्य लिखिए।
i. क्षैतिज तल से ऊपर की ओर देखने पर दृष्टि रेखा क्षैतिज रेखा के साथ अवनमन कोण बनाती है।
ii. किसी समय धूप में खड़े एक व्यक्ति की छाया उसकी ऊँचाई की $\sqrt{3}$ गुनी है, तब सूर्य का उन्नयन कोण $30^\circ$ होगा।
iii. वह रेखा जो हमारी आँख से वस्तु को जिसे हम देख रहे हैं, जोड़ती है, दृष्टि रेखा कहलाती है।
iv. एक मीनार की छाया की लम्बाई बढ़ने के साथ-साथ सूर्य का उन्नतांश भी बढ़ता जाता है।
v. किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^\circ$ है, यदि मीनार की ऊँचाई को दुगुना कर दिया जाए तो इसके शीर्ष का उन्नयन कोण भी दुगुना हो जायेगा।
vi. एक ऊर्ध्वाधर खंबे की परछाईं खंबे की ऊँचाई के बराबर है, तब सूर्य के उन्नयन कोण का मान $30^\circ$ होगा।
vii. एक पेड़ की छाया $20\sqrt{3}$ मीटर है, यदि पेड़ की ऊँचाई 20 मीटर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण $30^\circ$ होगा।

प्र. 05 धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद बिंदु से 15 मी. दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है, मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
प्र. 06 सर्कस का एक कलाकार एक 20 मी. लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंबे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण $30^\circ$ का हो तो खंबे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
प्र. 07 भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद बिंदु से 30 मी. की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

प्र. 08 भूमि से 60 मी. की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव $60^\circ$ है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नही है। डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

प्र. 09 1.5 मी. लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 मी. की दूरी पर है। उसकी आँख से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण $45^\circ$ है। चिमनी की ऊँचाई बताइए।

प्र. 10 एक बिजली मिस्त्री को एक 5 मी. ऊँचे खंबे पर आ गई खराबी की मरम्मत करनी है। मरम्मत का काम करने के लिए उसे खंबे के शिखर से 1.3 मी. नीचे एक बिंदु तक पहुँचने के लिए प्रयुक्त सीढ़ी की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे कि क्षैतिज से $60^\circ$ के कोण से झुकाने पर वह अपेक्षित स्थिति तक पहुँच जाए? और यह भी बताइए कि खंबे का पाद बिंदु कितनी दूरी पर सीढ़ी के पाद बिंदु से होना चाहिए? (यहाँ आप $\sqrt{3} = 1.73$ ले सकते हैं।)

प्र. 11 मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मी. और 9 मी. की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मी. है।

प्र. 12 1.5 मी. लंबा एक लड़का 30 मी. ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है, तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

प्र. 13 भूमि के एक बिंदु P से एक 10 मी. ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को लहराया गया है और P से ध्वज के शिखर का उन्नयन कोण $45^\circ$ है। ध्वजदंड की लम्बाई और बिंदु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए।

प्र. 14 एक नहर के तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 मी. दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

प्र. 15 7 मी. ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है, और इसके पाद का अवनमन कोण $45^\circ$ है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

प्र. 16 समुद्र तल से 75 मी. ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

प्र. 17 एक मीनार के पाद बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है और भवन के पाद बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है, यदि मीनार 50 मी. ऊँची हो तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

प्र. 18 एक 80 मी. चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने सामने समान लम्बाई वाले दो खंबे लगे हुए हैं। इन दोनों खंबों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंबों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः $60^\circ$ और $30^\circ$ हैं। खंबों की ऊँचाई और खंबों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

प्र. 19 एक नदी के पुल के एक बिंदु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं। यदि पुल किनारों से 3 मी. की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

प्र. 20 एक बहुमंजिला भवन के शिखर से देखने पर एक 8 मी. ऊँचे भवन के शिखर और तल के अवनमन कोण क्रमशः 1 $30^\circ$ और 2 $45^\circ$ हैं। बहुमंजिला भवन की ऊँचाई और दो भवनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।3

प्र. 21 भूमि के एक बिंदु से एक 20 मी. ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 4 $45^\circ$ और 5 $60^\circ$ है6ं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

यहाँ आपके द्वारा अपलोड की गई छवियों में दिए गए वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के उत्तर, प्रदान की गई उत्तरमाला (Answer Key) के आधार पर दिए गए हैं।

प्र. 1 सही विकल्प चुनिए

i. (अ) $30\sqrt{3}$ मी.
ii. (ब) $50\sqrt{3}$ मी.
iii. (द) 12 मी.
iv. (ब) $10\sqrt{3}$ मी.
v. (ब) $45^\circ$
vi. (द) 75 मी.
vii. (द) $30^\circ$
viii. (अ) $100\sqrt{3}$ मी.

प्र. 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

i. $45^\circ$
ii. $30^\circ$
iii. 20 मीटर
iv. $30^\circ$
v. $30\sqrt{3}$ मीटर

प्र. 3 एक शब्द या वाक्य में उत्तर दीजिए

i. 25 मी.
ii. $10\sqrt{3}$ मी.
iii. $60^\circ$
iv. $30^\circ$
v. दृष्टि रेखा

प्र. 4 सत्य / असत्य लिखिए

i. असत्य
ii. सत्य
iii. सत्य
iv. असत्य
v. असत्य
vi. असत्य
vii. सत्य

प्र. 1 सही विकल्प चुनिए

प्र. 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

प्र. 3 एक शब्द या वाक्य में उत्तर दीजिए

प्र. 4 सत्य / असत्य लिखिए

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