MP Board 10th Solution of Quadratic Equation by Factorization

द्विघात समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियों (गुणनखंड, पूर्ण वर्ग बनाना और द्विघाती सूत्र) के उदाहरण दिए गए हैं। यहाँ इन महत्वपूर्ण उदाहरणों का सरल और व्यवस्थित समाधान दिया गया है:

द्विघात समीकरणों का हल: महत्वपूर्ण उदाहरण

1. गुणनखंड विधि द्वारा हल (Solution by Factorization)

इस विधि में हम मध्य पद (Middle Term) को दो भागों में विभक्त करते हैं।

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उदाहरण 3: $2x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

चरण 1: मध्य पद $-5x$ को ऐसे दो भागों में बांटें जिनका योग $-5x$ और गुणनफल $(2x^2 \times 3) = 6x^2$ हो। ये भाग $-2x$ और $-3x$ हैं।
चरण 2: $2x^2 - 2x - 3x + 3 = 0$
चरण 3: कॉमन लें: $2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0$
चरण 4: $(2x - 3)(x - 1) = 0$
निष्कर्ष: $x = \frac{3}{2}$ और $x = 1$ इस समीकरण के मूल (Roots) हैं।

2. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि (Completing the Square)

यह विधि समीकरण को $(a \pm b)^2$ के रूप में बदलने पर आधारित है।

उदाहरण 8: $5x^2 - 6x - 2 = 0$ को हल कीजिए।

चरण 1: पूरे समीकरण को $5$ से गुणा करने पर (ताकि पहला पद पूर्ण वर्ग बन जाए):
$25x^2 - 30x - 10 = 0$
चरण 2: इसे $(5x - 3)^2$ के रूप में व्यवस्थित करें:
$(5x)^2 - 2(5x)(3) + 3^2 - 3^2 - 10 = 0$
$(5x - 3)^2 - 9 - 10 = 0 \Rightarrow (5x - 3)^2 = 19$
चरण 3: वर्गमूल लेने पर: $5x - 3 = \pm \sqrt{19}$
निष्कर्ष: $x = \frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}$

3. द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) का प्रयोग

जब गुणनखंड कठिन हों, तो इस सूत्र का उपयोग सबसे बेहतर होता है:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

उदाहरण 11: दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 हो।

समीकरण निर्माण: माना पहला पूर्णांक $x$ है, तो दूसरा $x + 2$ होगा।
$x^2 + (x + 2)^2 = 290$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 290 \Rightarrow 2x^2 + 4x - 286 = 0$
सरल करने पर: $x^2 + 2x - 143 = 0$
सूत्र का प्रयोग: यहाँ $a=1, b=2, c=-143$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-143)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2} = \frac{-2 \pm 24}{2}$
हल: $x = \frac{22}{2} = 11$ (धनात्मक मान लेने पर)
निष्कर्ष: दो पूर्णांक 11 और 13 हैं।

विशेष उदाहरण: करणी (Root) वाले सवाल

उदाहरण 5: $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$
यहाँ मध्य पद को $-\sqrt{6}x - \sqrt{6}x$ में तोड़ा गया है।
$(\sqrt{3}x - \sqrt{2})(\sqrt{3}x - \sqrt{2}) = 0$
अतः, $x = \sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}$ (यहाँ दोनों मूल समान हैं)।

छात्रों के लिए सारांश तालिका

विधि	कब उपयोग करें?
गुणनखंड	जब बीच वाली संख्या आसानी से टूट जाए।
पूर्ण वर्ग	जब $x^2$ का गुणांक $1$ हो या पूर्ण वर्ग हो।
द्विघाती सूत्र	हर स्थिति में (सबसे विश्वसनीय विधि)।

निश्चित रूप से, आपके द्वारा प्रदान की गई तस्वीरों में दिए गए उदाहरण (12 से 15) बहुत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि ये वास्तविक जीवन की समस्याओं (जैसे गति और क्षेत्रफल) पर आधारित हैं। यहाँ प्रत्येक प्रश्न और उसका चरणबद्ध समाधान दिया गया है:

महत्वपूर्ण उदाहरणों का संपूर्ण समाधान

उदाहरण 12: आयताकार पार्क और त्रिभुजाकार पार्क

प्रश्न: एक ऐसे आयताकार पार्क को बनाना है जिसकी चौड़ाई इसकी लंबाई से $3\text{ m}$ कम हो। इसका क्षेत्रफल पहले से निर्मित समद्विबाहु त्रिभुजाकार पार्क जिसका आधार आयताकार पार्क की चौड़ाई के बराबर तथा ऊँचाई $12\text{ m}$ है, से $4$ वर्ग मीटर अधिक हो। इस आयताकार पार्क की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

माना आयताकार पार्क की चौड़ाई $= x\text{ m}$ है।
तब इसकी लंबाई $= (x + 3)\text{ m}$ होगी।
आयताकार पार्क का क्षेत्रफल $= x(x + 3) = (x^2 + 3x)\text{ m}^2$
समद्विबाहु त्रिभुज का आधार $=$ पार्क की चौड़ाई $= x$ और ऊँचाई $= 12\text{ m}$
त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times x \times 12 = 6x\text{ m}^2$
प्रश्नानुसार: आयत का क्षेत्रफल $=$ त्रिभुज का क्षेत्रफल
$+ 4 <img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d48c4877312b8819086cf19773b35365_l3.png" height="17" width="131" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[$x^2 + 3x = 6x + 4\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> <img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-804115c313fdd83ee87f888a3982d7dc_l3.png" height="17" width="122" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[x^2 - 3x - 4 = 0\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/></li>   <li>हल करने पर:$
(x – 4)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 4 $(चूँकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)उत्तर: चौड़ाई$ = \mathbf{4\text{ m}} $और लंबाई$ = \mathbf{7\text{ m}} $।</li> </ol>   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>   <h3 class="wp-block-heading">उदाहरण 13: द्विघाती सूत्र का उपयोग</h3>   प्रश्न: निम्न द्विघात समीकरणों के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो तो द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए:   (i)$ 3x^2 – 5x + 2 = 0 $  (ii)$ x^2 + 4x + 5 = 0 $  (iii)$ 2x^2 – 2\sqrt{2}x + 1 = 0 $  हल:   <ul class="wp-block-list"> <li>(i)$ a=3, b=-5, c=2 $।$ b^2-4ac = 25 – 24 = 1 > 0 $।$ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6} \Rightarrow x = 1, \frac{2}{3} $</li>   <li>(ii)$ a=1, b=4, c=5 $।$ b^2-4ac = 16 – 20 = -4 < 0 $।उत्तर: मूलों का अस्तित्व नहीं है (वास्तविक नहीं हैं)।</li>   <li>(iii)$ a=2, b=-2\sqrt{2}, c=1 $।$ b^2-4ac = 8 – 8 = 0 $।$ x = \frac{2\sqrt{2} \pm 0}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $उत्तर: समान मूल$ x = \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} $।</li> </ul>   <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>   <h3 class="wp-block-heading">उदाहरण 14: समीकरणों के मूल ज्ञात करना</h3>   प्रश्न: निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:   (i)$ x + \frac{1}{x} = 3, x \neq 0 $  (ii)$ \frac{1}{x} – \frac{1}{x-2} = 3, x \neq 0, 2 $  हल (i):  $ x^2 + 1 = 3x \Rightarrow x^2 – 3x + 1 = 0 $  यहाँ$ a=1, b=-3, c=1 $। सूत्र से:$ x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \mathbf{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}} $  हल (ii):  $ \frac{(x-2) – x}{x(x-2)} = 3 \Rightarrow \frac{-2}{x^2 – 2x} = 3 $ $ 3x^2 – 6x + 2 = 0 $  यहाँ$ a=3, b=-6, c=2 $।$ x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \mathbf{\frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}} $  <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/>   <h3 class="wp-block-heading">उदाहरण 15: मोटर बोट और धारा की चाल (Upstream & Downstream)</h3>   प्रश्न: एक मोटर बोट, जिसकी स्थिर जल में चाल$ 18\text{ km/h} $है,$ 24\text{ km} $धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा$ 1 $घंटा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।   हल:   <ol start="1" class="wp-block-list"> <li>माना धारा की चाल$ = x\text{ km/h} $है।</li>   <li>धारा के अनुकूल चाल$ = (18 + x)\text{ km/h} $</li>   <li>धारा के प्रतिकूल चाल$ = (18 – x)\text{ km/h} $</li>   <li>समय$ = \text{दूरी} / \text{चाल} $प्रतिकूल जाने का समय$ (t_1) = \frac{24}{18-x} $अनुकूल जाने का समय$ (t_2) = \frac{24}{18+x} $</li>   <li>प्रश्नानुसार:$ t_1 – t_2 = 1
$$\frac{24}{18-x} - \frac{24}{18+x} = 1$
$24(18 + x - 18 + x) = (18-x)(18+x)$
$48x = 324 - x^2 \Rightarrow x^2 + 48x - 324 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(x + 54)(x - 6) = 0$ उत्तर: धारा की चाल $\mathbf{6\text{ km/h}}$ है (चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)।

प्रश्नावली 4.3 (संपूर्ण हल: कक्षा 10 गणित)

प्रश्न 1: यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

(i) $2x^2 - 7x + 3 = 0$

हल: समीकरण को 2 से भाग देने पर: $x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$
दोनों पक्षों में $(\frac{7}{4})^2$ जोड़ने पर: $x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{25}{16} \Rightarrow x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$
उत्तर: $x = 3, \frac{1}{2}$

(ii) $2x^2 + x - 4 = 0$

हल: 2 से भाग देने पर: $x^2 + \frac{1}{2}x - 2 = 0$
दोनों पक्षों में $(\frac{1}{4})^2$ जोड़ने पर: $x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 2 + \frac{1}{16}$
$(x + \frac{1}{4})^2 = \frac{33}{16} \Rightarrow x + \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$
उत्तर: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$

(iii) $4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

हल: $(2x)^2 + 2(2x)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 0$
$(2x + \sqrt{3})^2 = 0$
उत्तर: $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(iv) $2x^2 + x + 4 = 0$

हल: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(4) = -31$
चूँकि $D < 0$ है, अतः मूलों का कोई वास्तविक अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 2: उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।

(छात्रों को सलाह: सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का प्रयोग करें, उत्तर प्रश्न 1 के समान ही प्राप्त होंगे।)

प्रश्न 3: निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(i) $x - \frac{1}{x} = 3, x \neq 0$

हल: $x^2 - 1 = 3x \Rightarrow x^2 - 3x - 1 = 0$
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

(ii) $\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-7} = \frac{11}{30}, x \neq -4, 7$

हल: $\frac{x-7-x-4}{(x+4)(x-7)} = \frac{11}{30} \Rightarrow \frac{-11}{x^2-3x-28} = \frac{11}{30}$
$x^2 - 3x - 28 = -30 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x-1)(x-2) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 1, 2}$

प्रश्न 4: 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग $1/3$ है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल: माना वर्तमान आयु $= x$ वर्ष।
$\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2x+2}{x^2+2x-15} = \frac{1}{3}$
$x^2 - 4x - 21 = 0 \Rightarrow (x-7)(x+3) = 0$
उत्तर: वर्तमान आयु $= \mathbf{7}$ वर्ष।

प्रश्न 5: एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए गए अंक ज्ञात कीजिए।

हल: माना गणित के अंक $= x$ तो अंग्रेजी के $= 30-x$
$(x+2)(30-x-3) = 210 \Rightarrow (x+2)(27-x) = 210$
$x^2 - 25x + 156 = 0 \Rightarrow (x-12)(x-13) = 0$
उत्तर: (गणित: 12, अंग्रेजी: 18) या (गणित: 13, अंग्रेजी: 17)

प्रश्न 6: एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना छोटी भुजा $= x$ मी। विकर्ण $= x+60$ , बड़ी भुजा $= x+30$
पाइथागोरस से: $x^2 + (x+30)^2 = (x+60)^2$
$x^2 - 60x - 2700 = 0 \Rightarrow (x-90)(x+30) = 0$
उत्तर: छोटी भुजा $= \mathbf{90}$ मी, बड़ी भुजा $= \mathbf{120}$ मी।

प्रश्न 7: दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना बड़ी संख्या $= x$ । छोटी संख्या का वर्ग $= 8x$
$x^2 - 8x = 180 \Rightarrow x^2 - 8x - 180 = 0$
$(x-18)(x+10) = 0 \Rightarrow x = 18$
छोटी संख्या का वर्ग $= 8 \times 18 = 144$
उत्तर: संख्याएँ (18, 12) या (18, -12) हैं।

प्रश्न 8: एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी/घंटा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।

हल: माना चाल $= x$ किमी/घंटा।
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x+5} = 1 \Rightarrow x^2 + 5x - 1800 = 0$
$(x+45)(x-40) = 0 \Rightarrow x = 40$
उत्तर: चाल $= \mathbf{40}$ किमी/घंटा।

प्रश्न 9: दो पानी के नल एक-साथ एक हौज को $9 \frac{3}{8}$ घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।

हल: माना छोटा नल $= x$ घंटे, बड़ा नल $= x-10$ घंटे।
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{8}{75} \Rightarrow 8x^2 - 230x + 750 = 0$
$(x-25)(8x-30) = 0 \Rightarrow x = 25$
उत्तर: बड़ा नल 15 घंटे, छोटा नल 25 घंटे।

प्रश्न 10: मैसूर और बैंगलोर के बीच 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/घंटा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

हल: माना सवारी गाड़ी $= x$ किमी/घंटा, एक्सप्रेस $= x+11$ किमी/घंटा।
$\frac{132}{x} - \frac{132}{x+11} = 1 \Rightarrow x^2 + 11x - 1452 = 0$
$(x+44)(x-33) = 0 \Rightarrow x = 33$
उत्तर: सवारी गाड़ी 33 किमी/घंटा, एक्सप्रेस 44 किमी/घंटा।

प्रश्न 11: दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 मी $^2$ है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 मी हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना भुजाएँ $x$ और $y$ हैं। $x^2 + y^2 = 468$ और $4x - 4y = 24 \Rightarrow x-y=6$
$(y+6)^2 + y^2 = 468 \Rightarrow y^2 + 6y - 216 = 0$
$(y+18)(y-12) = 0 \Rightarrow y = 12$
उत्तर: भुजाएँ 18 मी और 12 मी हैं।