MP Board 10th Quadratic Equation Nature of Roots

MP Board 10th Quadratic Equation Nature of Roots

द्विघात समीकरण के इस अंतिम भाग ‘मूलों की प्रकृति’ (Nature of Roots) पर आधारित ये विस्तृत नोट्स आपके और आपके छात्रों के लिए बहुत उपयोगी होंगे।

अध्याय: द्विघात समीकरण – मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)

मुख्य सिद्धांत: विविक्तकर (Discriminant)

समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए पद $b^2 - 4ac$ को विविक्तकर ( $D$ ) कहा जाता है। यह निश्चित करता है कि समीकरण के मूल वास्तविक होंगे या नहीं।

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मूलों के तीन नियम:

यदि $b^2 - 4ac > 0$ है: दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $b^2 - 4ac = 0$ है: दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं। (प्रत्येक मूल $= -b/2a$ )
यदि $b^2 - 4ac < 0$ है: कोई वास्तविक मूल नहीं होता।

उदाहरणों का संपूर्ण समाधान (Solution of Examples)

उदाहरण 16: विविक्तकर और मूलों की प्रकृति

प्रश्न: द्विघात समीकरण $2x^2 - 4x + 3 = 0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ $a = 2, b = -4, c = 3$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(3)$
$D = 16 - 24 = \mathbf{-8}$
चूँकि $D < 0$ है, अतः दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

उदाहरण 17: वृत्ताकार पार्क और खंभा (व्यावहारिक समस्या)

प्रश्न: $13$ मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा के एक बिंदु पर एक खंभा इस प्रकार गाड़ना है कि इस पार्क के एक व्यास के दोनों अंत बिंदुओं पर बने फाटकों $A$ और $B$ से खंभे की दूरियों का अंतर $7$ मीटर हो। क्या ऐसा करना संभव है? यदि है, तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खंभा गाड़ना है?

हल:

माना खंभे की फाटक $B$ से दूरी $= x$ मीटर है।
तब फाटक $A$ से दूरी $= (x + 7)$ मीटर होगी (अंतर 7 मी है)।
चूँकि व्यास द्वारा परिधि पर बना कोण समकोण ( $90^\circ$ ) होता है,
अतः पाइथागोरस प्रमेय से:
$x^2 + (x + 7)^2 = (13)^2<span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c3b04d1cfb241845a1a1b3cd615573e_l3.png" height="19" width="196" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>2x^2 + 14x - 120 = 0 \Rightarrow \mathbf{x^2 + 7x - 60 = 0}$
विविक्तकर $D = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289 > 0$ ।
अतः ऐसा करना संभव है।
समीकरण हल करने पर: $(x + 12)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 5$ (दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती)।उत्तर: खंभे की फाटकों से दूरियाँ $5$ मीटर और $12$ मीटर हैं।

उदाहरण 18: मूल ज्ञात करना (यदि वास्तविक हों)

प्रश्न: समीकरण $3x^2 - 2x + \frac{1}{3} = 0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वे वास्तविक हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ $a = 3, b = -2, c = \frac{1}{3}$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(\frac{1}{3})$
$D = 4 - 4 = \mathbf{0}$
चूँकि $D = 0$ है, अतः समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल होंगे।
मूल $= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm 0}{2(3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ उत्तर: मूल $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$ हैं।

ये समाधान छात्रों को यह समझने में मदद करेंगे कि कैसे गणितीय सूत्रों का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

प्रश्नावली 4.4 – संपूर्ण समाधान (कक्षा 10 गणित)

प्रश्न 1: निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

(i) $2x^2 - 3x + 5 = 0$

हल: यहाँ $a = 2, b = -3, c = 5$
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31$
चूँकि $D < 0$ है, अतः कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(ii) $3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0$

हल: यहाँ $a = 3, b = -4\sqrt{3}, c = 4$
$D = (-4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0$
चूँकि $D = 0$ है, अतः दो बराबर वास्तविक मूल हैं।
मूल $x = \frac{-b}{2a} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
उत्तर: मूल $\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।

(iii) $2x^2 - 6x + 3 = 0$

हल: यहाँ $a = 2, b = -6, c = 3$
$D = (-6)^2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12 > 0$
चूँकि $D > 0$ है, अतः दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$
उत्तर: मूल $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ और $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$ हैं।