वास्तविक संख्याए सारांश : MP Board 10th Mathematics Real Number Summary

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MP Board 10th Mathematics Real Number Summary

  1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका:
    दो धनात्मक पूर्णांक a और b(जहाँ a > b दिए रहने पर, हम

    \[a = bq + r, \quad 0 \leq r < b\]

को संतुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याएँ $q$ और $r$ ज्ञात कर सकते हैं, अर्थात्‌ ऐसी संख्याओं का अस्तित्व है। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म:
यह यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका पर आधारित है। इसका प्रयोग कर दो धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ ($a > b$) का HCF नीचे दर्शाई विधि द्वारा प्राप्त किया जाता है:
चरण 1:

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    \[a = bq + r, \quad 0 \leq r < b\]

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कर $q$ और $r$ ज्ञात कीजिए।
चरण 2:
यदि $r = 0$, तो $HCF = b$ है। यदि $r \neq 0$, तो $a = b$ और $b = r$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का पुनः प्रयोग कीजिए।
चरण 3:
इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखिए जब तक शेषफल शून्य न प्राप्त हो जाए।
इस स्थिति वाला भाजक ही $HCF(a, b)$ है।
साथ ही,

    \[HCF(a, b) = HCF(b, r)\]

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय:
प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है तथा यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है — इस पर कोई ध्यान दिए बिना कि अभाज्य गुणनखंड किस क्रम में आ रहे हैं। यदि $p$ कोई अभाज्य संख्या है और $p$ संख्या $a^2$ को विभाजित करती है, तो $p$ संख्या $a$ को भी विभाजित करेगी, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

उपपत्ति:
$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt[2]{3}$ इत्यादि संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ हैं। मान लीजिए $x$ एक परिमेय संख्या है जिसका दशमलव प्रसार सांत है। तब हम $x$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ p और q सह-अभाज्य हैं तथा q का अभाज्य गुणनखंडन केवल $2^m \times 5^n$ के रूप में होता है।

HCF और LCM के गुणनफल का संबंध

सिद्धांत: तीन संख्याओं $p$, $q$, $r$ के लिए,

    \[HCF(p, q, r) \times LCM(p, q, r) \neq p \times q \times r\]

जहाँ $p$, $q$, $r$ धनात्मक पूर्णांक हैं (उदाहरण 8 देखिए)।

हालाँकि, निम्नलिखित परिणाम तीन संख्याओं $p$, $q$ और $r$ पर लागू होता है:

  •     \[LCM(p, q, r) = \frac{p \cdot q \cdot r \cdot HCF(p, q, r)}{HCF(p, q) \cdot HCF(q, r) \cdot HCF(p, r)}\]

  •     \[HCF(p, q, r) = \frac{p \cdot q \cdot r \cdot LCM(p, q, r)}{LCM(p, q) \cdot LCM(q, r) \cdot LCM(p, r)}\]

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