MP Board 10th Mathematics Quadratic Equation

इन नोट्स में मैंने द्विघात समीकरणों को बनाने (Formulation) और उन्हें हल करने (Solving) की प्रक्रिया को बहुत ही सरल भाषा में समझाया है।

द्विघात समीकरण (Quadratic Equations): हल करने की मार्गदर्शिका

1. इबारती सवालों से समीकरण बनाना (Forming Equations from Word Problems)

गणित में सबसे पहली चुनौती समस्या को समीकरण के रूप में लिखना है। उदाहरणों के आधार पर इसके दो मुख्य नियम हैं:

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अज्ञात राशि को $x$ मानना: जिस चीज़ को ज्ञात करना है, उसे $x$ मान लें।
शर्तों का पालन करना: प्रश्न में दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाएँ।

उदाहरण (i): कंचों वाली समस्या (John & Jivanti)

स्थिति: दोनों के पास कुल 45 कंचे हैं। 5-5 खो जाने पर उनका गुणनफल 124 है।
समीकरण निर्माण:
1. माना जॉन के कंचे = $x$
2. जीवंती के कंचे = $45 - x$
3. 5 खोने के बाद: $(x - 5)$ और $(40 - x)$
4. गुणनफल: $(x - 5)(40 - x) = 124$
5. सरल करने पर: $x^2 - 45x + 324 = 0$

2. द्विघात समीकरण की पहचान कैसे करें? (Identification)

समीकरण को हल करने से पहले यह जानना ज़रूरी है कि वह द्विघात है या नहीं।

नियम: समीकरण को तब तक हल करें जब तक कि कोष्ठक (brackets) हट न जाएँ। अंत में यदि सबसे बड़ी घात $x^2$ बचती है, तो वह द्विघात समीकरण है।
मानक रूप (Standard Form): $ax^2 + bx + c = 0$

सावधानी: यदि हल करते समय $x^2$ वाला पद कट जाए (जैसे $x^2 + 5 = x^2 + x$ ), तो वह द्विघात समीकरण नहीं होगा।

3. समीकरण को हल करने के चरण (Steps to Solve)

तस्वीरों में दिए गए उदाहरणों को हल करने के लिए गुणनखंड विधि (Factorization Method) सबसे सरल है:

चरण 1: मध्य पद को तोड़ना (Splitting the Middle Term)

समीकरण $x^2 - 45x + 324 = 0$ में हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए:

जिनका योग (Sum) $= -45$ हो।
जिनका गुणनफल (Product) $= 324$ हो।(यहाँ वे संख्याएँ $-36$ और $-9$ हैं)

चरण 2: कॉमन (Common) लेना

$x^2 - 36x - 9x + 324 = 0$

$x(x - 36) - 9(x - 36) = 0$

चरण 3: मूल (Roots) प्राप्त करना

$(x - 36)(x - 9) = 0$

या तो $x - 36 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 36}$

या $x - 9 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 9}$

4. छात्रों के लिए विशेष टिप्स (Exam Tips)

स्थिति	क्या करें?
कोष्ठक (Brackets) हों	$(x-2)^2$ जैसे पदों को पहले $a^2 - 2ab + b^2$ सूत्र से खोलें।
बड़ी संख्याएँ हों	गुणनफल (जैसे 324) के अभाज्य गुणनखंड (Prime Factors) निकालें, इससे जोड़ी ढूँढना आसान होगा।
चिन्हों (+/-) की गलती	यदि $ax^2$ के सामने ऋण ( $-$ ) चिन्ह है, तो पूरे समीकरण को $-1$ से गुणा करके उसे धन ( $+$ ) बना लें।

अभ्यास के लिए मुख्य प्रश्न (Check yourself)

क्या आप बता सकते हैं कि $(x + 2)^3 = x^3 - 4$ एक द्विघात समीकरण है?

हिंट: $(a + b)^3$ का सूत्र लगाएँ और देखें कि क्या $x^2$ बचता है या $x^3$ बचता है।

इन नोट्स की मदद से छात्र न केवल समीकरण हल करना सीखेंगे, बल्कि यह भी समझ पाएंगे कि गणितीय भाषा में किसी समस्या को कैसे व्यक्त किया जाता है।

निश्चित रूप से, यहाँ प्रश्नावली 4.1 के सभी प्रश्नों के पूर्ण प्रश्न और उनके व्यवस्थित समाधान दिए गए हैं। यह छात्रों के लिए एक आदर्श अध्ययन सामग्री (Study Material) के रूप में कार्य करेगा।

प्रश्नावली 4.1 – संपूर्ण समाधान (Class 10 Maths)

प्रश्न 1: जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:

नियम: यदि समीकरण को सरल करने पर वह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, तो वह द्विघात समीकरण है।

(i) $(x + 1)^2 = 2(x - 3)$

हल: $x^2 + 2x + 1 = 2x - 6$ (चूँकि $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ )

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
x^2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bd62a92ecc5a9deb4f1a18b43e4fb27_l3.png" height="139" width="600" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[x^2 + 7 = 0$</li> <!-- /wp:list-item --> <!-- wp:list-item --> <li><strong>उत्तर:</strong> यहाँ अधिकतम घात 2 है, अतः यह <strong>द्विघात समीकरण है</strong>।</li> <!-- /wp:list-item --></ul> <!-- /wp:list --> <!-- wp:paragraph --> <strong>(ii) $x^2 - 2x = (-2)(3 - x)$</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:list --> <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item --> <li><strong>हल:</strong> $x^2 - 2x = -6 + 2x\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>x^2 - 2x - 2x + 6 = 0<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-109f64b17902265394948a8ddf6ccef9_l3.png" height="142" width="584" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[x^2 - 4x + 6 = 0$</li> <!-- /wp:list-item --> <!-- wp:list-item --> <li><strong>उत्तर:</strong> यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, अतः यह <strong>द्विघात समीकरण है</strong>।</li> <!-- /wp:list-item --></ul> <!-- /wp:list --> <!-- wp:paragraph --> <strong>(iii) $(x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3)$</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:list --> <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item --> <li><strong>हल:</strong> $x^2 + x - 2x - 2 = x^2 + 3x - x - 3\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>-x - 2 = 2x - 3<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3b12001e3cfb30d0713d66f962b77dc_l3.png" height="134" width="604" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[3x - 1 = 0$</li> <!-- /wp:list-item --> <!-- wp:list-item --> <li><strong>उत्तर:</strong> यहाँ $x^2$ का पद लुप्त हो गया है, अतः यह <strong>द्विघात समीकरण नहीं है</strong>।</li> <!-- /wp:list-item --></ul> <!-- /wp:list --> <!-- wp:paragraph --> <strong>(iv) $(x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)$</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:list --> <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item --> <li><strong>हल:</strong> $2x^2 + x - 6x - 3 = x^2 + 5x\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e201baabbb5b4d7293a4d2da3d28596_l3.png" height="139" width="584" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[x^2 - 10x - 3 = 0$</li> <!-- /wp:list-item --> <!-- wp:list-item --> <li><strong>उत्तर:</strong> यह <strong>द्विघात समीकरण है</strong>।</li> <!-- /wp:list-item --></ul> <!-- /wp:list --> <!-- wp:paragraph --> <strong>(v) $(2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)$</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:list --> <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item --> <li><strong>हल:</strong> $2x^2 - 6x - x + 3 = x^2 - x + 5x - 5\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10abad9ac83170b72d5e7809eea56e32_l3.png" height="139" width="584" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[x^2 - 11x + 8 = 0$</li> <!-- /wp:list-item --> <!-- wp:list-item --> <li><strong>उत्तर:</strong> यह <strong>द्विघात समीकरण है</strong>।</li> <!-- /wp:list-item --></ul> <!-- /wp:list --> <!-- wp:paragraph --> <strong>(vi) $x^2 + 3x + 1 = (x - 2)^2$</strong> <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:list --> <ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item --> <li><strong>हल:</strong> $x^2 + 3x + 1 = x^2 - 4x + 4\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>7x - 3 = 0

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: x^
Bad math environment delimiter.
leading text: ... class="ql-img-displayed-equation " alt="\[
Missing \endgroup inserted.
leading text: ...mg-displayed-equation " alt="\[x^2 + 7 = 0$
Unicode character उ (U+0909)
leading text: ...m --> <!-- wp:list-item --> <li><strong>उ
Unicode character त (U+0924)
leading text: ...-> <!-- wp:list-item --> <li><strong>उत
Unicode character ् (U+094D)
leading text: ...<!-- wp:list-item --> <li><strong>उत्
Unicode character त (U+0924)
leading text: ...- wp:list-item --> <li><strong>उत्त
Unicode character र (U+0930)
leading text: ...p:list-item --> <li><strong>उत्तर
Unicode character य (U+092F)
leading text: ...> <li><strong>उत्तर:</strong> य

उत्तर: यह द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) $(x + 2)^3 = 2x(x^2 - 1)$

हल:
$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 2x^3 - 2x <img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3090df48567c77f02967d00a6c31e19_l3.png" height="139" width="589" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[-x^3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0$</li>   <li>उत्तर: यहाँ घात 3 है, अतः यह द्विघात समीकरण नहीं है।</li> </ul>   (viii) $x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x - 2)^3$   <ul class="wp-block-list"> <li>हल: $x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>2x^2 - 13x + 9 = 0$
उत्तर: यह द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2: निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए:

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल $528\text{ m}^2$ है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है।

हल: माना चौड़ाई $= x$ मीटर।तब, लंबाई $= (2x + 1)$ मीटर।क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
= 528<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[x(2x + 1) = 528$</li>
<!-- /wp:list-item -->
<!-- wp:list-item -->
<li><strong>समीकरण:</strong> <strong>$2x^2 + x - 528 = 0$</strong></li>
<!-- /wp:list-item --></ul>
<!-- /wp:list -->
<!-- wp:paragraph -->
<strong>(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है।</strong>
<!-- /wp:paragraph -->
<!-- wp:list -->
<ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
<li><strong>हल:</strong> माना पहला पूर्णांक $= x$दूसरा क्रमागत पूर्णांक $= x + 1$गुणनफल $= x(x + 1) = 306$</li>
<!-- /wp:list-item -->
<!-- wp:list-item -->
<li><strong>समीकरण:</strong> <strong>$x^2 + x - 306 = 0$</strong></li>
<!-- /wp:list-item --></ul>
<!-- /wp:list -->
<!-- wp:paragraph -->
<strong>(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात 360 हो जाएगी।</strong>
<!-- /wp:paragraph -->
<!-- wp:list -->
<ul class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
<li><strong>हल:</strong> माना रोहन की वर्तमान आयु $= x$ वर्ष।माँ की आयु $= x + 26$ वर्ष।3 वर्ष बाद: रोहन $= x + 3$, माँ $= x + 29$गुणनफल $= (x + 3)(x + 29) = 360\]
*** Error message:
Display math should end with $$.
leading text: \[x(2x + 1) = 528$<
Unicode character स (U+0938)
leading text: <li><strong>स
Unicode character म (U+092E)
leading text: <li><strong>सम
Unicode character ी (U+0940)
leading text: <li><strong>समी
Unicode character क (U+0915)
leading text: <li><strong>समीक
Unicode character र (U+0930)
leading text: <li><strong>समीकर
Unicode character ण (U+0923)
leading text: <li><strong>समीकरण
Unicode character द (U+0926)
leading text: <strong>(ii) द
Unicode character ो (U+094B)
leading text: <strong>(ii) दो
Unicode character क (U+0915)
leading text: <strong>(ii) दो क
Unicode character ् (U+094D)
leading text: <strong>(ii) दो क्
Unicode character र (U+0930)
</pre>x^2 + 29x + 3x + 87 = 360

*** Error message:
Display math should end with $$.
leading text: \[x(2x + 1) = 528$<
Unicode character स (U+0938)
leading text: <li><strong>स
Unicode character म (U+092E)
leading text: <li><strong>सम
Unicode character ी (U+0940)
leading text: <li><strong>समी
Unicode character क (U+0915)
leading text: <li><strong>समीक
Unicode character र (U+0930)
leading text: <li><strong>समीकर
Unicode character ण (U+0923)
leading text: <li><strong>समीकरण
Unicode character द (U+0926)
leading text: <strong>(ii) द
Unicode character ो (U+094B)
leading text: <strong>(ii) दो
Unicode character क (U+0915)
leading text: <strong>(ii) दो क
Unicode character ् (U+094D)
leading text: <strong>(ii) दो क्
Unicode character र (U+0930)

समीकरण: $x^2 + 32x - 273 = 0$

(iv) एक रेलगाड़ी $480\text{ km}$ की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल $8\text{ km/h}$ कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती।

हल: माना रेलगाड़ी की चाल $= x\text{ km/h}$ समय ( $t_1$ ) $= \frac{480}{x}$ नई चाल $= x - 8$ , नया समय ( $t_2$ ) $= \frac{480}{x - 8}$ प्रश्नानुसार:
$t_2 - t_1 = 3 <img src="https://mpeducator.co.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b10f298c0ead959edeadb77ae8e75485_l3.png" height="36" width="128" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[\frac{480}{x - 8} - \frac{480}{x} = 3\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\frac{480x - 480(x - 8)}{x(x - 8)} = 3$
$3840 = 3(x^2 - 8x)$
समीकरण: $x^2 - 8x - 1280 = 0$