MP Board 10th mathematics Polynomials Question Bank अध्याय 2: बहुपद प्रश्न बैंक

अध्याय 2: बहुपद MP Board 10th mathematics Polynomials Question Bank

स्मरणीय बिंदु :

यदि $x$ एक चर है, $n$ एक प्राकृत संख्या है और $a_0, a_1, a_2, a_3,..........a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं तो $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + .... + a_1x + a_0, (a_n \neq 0)$ चर $x$ में एक बहुपद कहलाता है |
बहुपद $p(x)$ में $x$ की उच्चतम घात, बहुपद की घात (degree) कहलाती है | उदाहरण के लिए $2x^2 - 3x + 4$ चर $x$ में घात 2 का बहुपद है |
घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद (linear polynomial) कहते हैं |
घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) कहते हैं |
घात 3 के बहुपद को त्रिघात बहुपद (cubic polynomial) कहते हैं |
यदि $p(x) = ax + b$ का शून्यक $k$ है, तो $p(k) = 0$ से हमें $ak + b = 0$ अर्थात् $k = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होता है |
एक वास्तविक संख्या $k$ बहुपद $p(x)$ का शून्यक है, यदि $p(k) = 0$ है |
रैखिक बहुपद $ax+b, a \neq 0$ का केवल एक शून्यक है, जो उस बिंदु का $x$ -निर्देशांक है, जहाँ $y = ax + b$ का ग्राफ $x$ -अक्ष को प्रतिच्छेद करता है |
$y = ax^2 + bx + c$ के ग्राफ के आकार का प्रेक्षण करने से तीन निम्नलिखित स्थितियाँ संभावित हैं :स्थिति (i)यहाँ ग्राफ $x$ -अक्ष को दो भिन्न बिन्दुओं A और A’ पर काटता है | इस स्थिति में, A और A’ के $x$ -निर्देशांक द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के दो शून्यक हैं |
घात $n$ के दिए गए बहुपद $p(x)$ के लिए, $y = p(x)$ का ग्राफ $x$ -अक्ष को अधिक से अधिक $n$ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है | अतः घात $n$ के किसी बहुपद के अधिक से अधिक $n$ शून्यक हो सकते हैं |
बहुपद के अधिकतम उतने शून्यक हो सकते हैं, जितनी बहुपद की घात है |
यदि $\alpha$ रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ का शून्यक है, तो $\alpha = -\frac{b}{a}$ होगा |
यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के शून्यक हैं, तो $x - \alpha$ और $x - \beta$ , $p(x)$ के गुणनखंड होंगे |
एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं |
एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हों तो $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$
$x^2 - 2x$ के शून्यक 0 और 2 हैं |
$x^2 - 3$ के शून्यक $\pm\sqrt{3}$ हैं |
दो बहुपदों का योग भी एक बहुपद होता है |
$x^2 + 3\sqrt{x} + 3$ बहुपद नहीं है |
$x + \frac{1}{x} + 1$ बहुपद नहीं है |
$x^2 + 3x + 5$ एक घात 2 का बहुपद है |

प्र.1. सही विकल्प चुनिये:

1. यदि द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हों, तो $\alpha \cdot \beta$ का मान होगा:

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(a) $\frac{c}{a}$

(b) $\frac{a}{c}$

(d) $-\frac{a}{c}$

उत्तर: (a) $\frac{c}{a}$

2. यदि द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हों, तो $\alpha + \beta$ का मान होगा:

(a) $\frac{b}{a}$

(b) $\frac{b}{c}$

(d) $-\frac{a}{c}$

उत्तर: (c) $-\frac{b}{a}$

3. रैखिक बहुपद $ax + b$ का शून्यक होगा:

(a) $\frac{a}{b}$

(b) $\frac{b}{a}$

(d) $ab$

उत्तर: (c) $-\frac{b}{a}$

4. बहुपद $x^2 - 3$ के शून्यक होंगे:

(a) $\pm\sqrt{3}$

(b) $\pm 3$

(d) $9$

उत्तर: (a) $\pm\sqrt{3}$

5. बहुपद $x^2 + 7x + 10$ के शून्यक होंगे:

(a) $2, 5$

(b) $-2, -5$

(d) $2, -5$

उत्तर: (b) $-2, -5$

6. बहुपद $(x+1)(x^2 - x - x^4 + 1)$ के लिए घात होगी:

(a) $2$

(b) $3$

(d) $5$

उत्तर: (d) 5

7. यदि द्विघात बहुपद के शून्यक $-3$ तथा $4$ हों तो द्विघात बहुपद होगा:

(a) $x^2 - x - 12$

(b) $x^2 + x + 12$

(d) $\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} - 6$

उत्तर: (a) $x^2 - x - 12$

8. किसी बहुपद के कुल शून्यक, उस बहुपद के आरेख के निम्नलिखित पर प्रतिच्छेदन के कुल बिन्दुओं की संख्या के बराबर होते हैं:

(a) $x$ -अक्ष पर

(b) $y$ -अक्ष पर

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (a) $x$ -अक्ष पर

9. बहुपद $6x^2 + 13x + 7$ की घात होगी:

(a) $0$

(b) $1$

(d) $3$

उत्तर: (c) 2

10. बहुपद $x^2 + 10x + 24$ के शून्यकों का गुणनफल होगा:

(a) $10$

(b) $-10$

(d) $34$

उत्तर: (c) 24

11. बहुपद $x^2 - 4x + 1$ के शून्यकों का योग होगा:

(a) $4$

(b) $1$

(d) $34$

उत्तर: (a) 4

12. निम्नलिखित में से कौनसा बहुपद नहीं है:

(a) $\frac{2}{3}x + 1$

(b) $2 - x^2 + \sqrt{3}x$

(d) $x^3$

उत्तर: (c) $\frac{1}{x} - 1$

प्र.2. रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिये:
रैखिक बहुपद $ax + b$ का शून्यक $\mathbf{-\frac{b}{a}}$ है।
दो बहुपदों का गुणनफल एक $\mathbf{\text{बहुपद}}$ होता है।
बहुपद $x^2 + 4x + 8$ के शून्यकों का योग $\mathbf{-4}$ है। ( $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{1}$ )
बहुपद $x^2 + 4x + 8$ के शून्यकों का गुणनफल $\mathbf{8}$ है। ( $\frac{c}{a} = \frac{8}{1}$ )
यदि बहुपद का एक शून्यक हो, तब का मान होगा।
- (हल: $p(-3) = (k-1)(-3)^2 + k(-3) + 1 = 0 \implies 9(k-1) - 3k + 1 = 0 \implies 9k - 9 - 3k + 1 = 0 \implies 6k - 8 = 0 \implies k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ )
घात एक वाले बहुपद $\mathbf{\text{रैखिक}}$ बहुपद कहलाते हैं।
द्विघात बहुपद में शून्यकों की अधिकतम संख्या $\mathbf{\text{दो}}$ होती है।
बहुपद $y^3 - 2y^2 - \sqrt{3}y + 2$ की घात $\mathbf{3}$ है।
यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $2x^2 + 5x - 10$ के शून्यक हैं तो $\alpha + \beta$ का मान $\mathbf{-\frac{5}{2}}$ होगा। ( $-\frac{b}{a} = -\frac{5}{2}$ )

प्र.3. सत्य / असत्य लिखिये:

व्यंजक $x^2 - 2\sqrt{x} + 7$ बहुपद नहीं है।उत्तर: सत्य (क्योंकि $x$ की घात $\frac{1}{2}$ है, जो प्राकृत संख्या नहीं है।)
शून्य बहुपद की घात शून्य है।उत्तर: असत्य (शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित होती है।)
शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित है।उत्तर: सत्य
$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक हो सकते हैं।उत्तर: सत्य
द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं।उत्तर: सत्य
यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक हैं तो $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ होता है।उत्तर: सत्य
त्रिघात बहुपद की अधिकतम घात दो होती है।उत्तर: असत्य (त्रिघात बहुपद की घात 3 होती है।)

प्र.4. सही जोड़ी मिलाइए:

प्र.5. एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिये:

रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?उत्तर: 1
द्विघात बहुपद की घात कितनी होती है?उत्तर: 2
त्रिघात बहुपद की घात कितनी होती है?उत्तर: 3

प्र.6 से प्र.26 तक के हल:

प्र.6. बहुपद $x^2 - 3$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

शून्यक: $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$ शून्यक $\alpha = \sqrt{3}$ और $\beta = -\sqrt{3}$ हैं।
जाँच:यहाँ
1. शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$ सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$
2. शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = (\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = -3$ सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$ (सत्यता की जाँच हुई)

प्र.7. द्विघात बहुपद $x^2 + 7x + 10$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

शून्यक:
$x^2 + 5x + 2x + 10 = 0$
$x(x+5) + 2(x+5) = 0 \implies (x+2)(x+5) = 0$
शून्यक $\alpha = -2$ और $\beta = -5$ हैं।

जाँच:
यहाँ $a=1, b=7, c=10$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = (-2) + (-5) = -7$
सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -\frac{7}{1} = -7$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = (-2) \cdot (-5) = 10$
सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10$
(सत्यता की जाँच हुई)

प्र.8. यदि बहुपद के शून्यकों का योग 0 एवं गुणनफल भी $\sqrt{5}$ है तो बहुपद ज्ञात कीजिए।

हल: बहुपद का सूत्र: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$
$x^2 - (0)x + (\sqrt{5}) = x^2 + \sqrt{5}$
(नोट: प्रश्न में “गुणनफल भी $\sqrt{5}$ ” लिखा है, यदि यह “गुणनफल $\sqrt{5}$ ” है, तो उत्तर $x^2 + \sqrt{5}$ है।)

प्र.9. बहुपद $t^2 - 15$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

शून्यक:
$t^2 - 15 = 0 \implies t^2 = 15 \implies t = \pm\sqrt{15}$
शून्यक $\alpha = \sqrt{15}$ और $\beta = -\sqrt{15}$ हैं।

जाँच:
यहाँ $a=1, b=0, c=-15$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$
सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = (\sqrt{15}) \cdot (-\sqrt{15}) = -15$
सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15$
(सत्यता की जाँच हुई)

प्र.10. बहुपद $6x^2 - 3 - 7x$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

शून्यक: (पहले सही क्रम में लिखें: $6x^2 - 7x - 3$ )
$6x^2 - 9x + 2x - 3 = 0$
$3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = 0 \implies (3x+1)(2x-3) = 0$
शून्यक $\alpha = -\frac{1}{3}$ और $\beta = \frac{3}{2}$ हैं।

जाँच:
यहाँ $a=6, b=-7, c=-3$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{-2+9}{6} = \frac{7}{6}$
सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -(\frac{-7}{6}) = \frac{7}{6}$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = (-\frac{1}{3}) \cdot (\frac{3}{2}) = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$
(सत्यता की जाँच हुई)

प्र.11. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः $\frac{1}{4}, -1$ हैं।

हल: सूत्र: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$
$x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1) = x^2 - \frac{x}{4} - 1$
(या, 4 से गुणा करने पर: $4x^2 - x - 4$ )

प्र.12. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$ हैं।

हल: सूत्र: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$
$x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3} = x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}$
(या, 3 से गुणा करने पर: $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ )

प्र.13. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 1 और 1 हैं।

हल: सूत्र: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$
$x^2 - (1)x + 1 = x^2 - x + 1$

प्र.14. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः $-3$ और $2$ हैं।

हल: सूत्र: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$
$x^2 - (-3)x + 2 = x^2 + 3x + 2$

प्र.15. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः $-\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{4}$ हैं।

हल: सूत्र: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$
$x^2 - (-\frac{1}{4})x + \frac{1}{4} = x^2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$
(या, 4 से गुणा करने पर: $4x^2 + x + 1$ )

प्र.16. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 4 और 1 हैं।

हल: सूत्र: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$
$x^2 - (4)x + 1 = x^2 - 4x + 1$

प्र.17. त्रिघात बहुपद $3x^3 - 5x^2 - 11x - 3$ के शून्यक $\alpha, \beta$ एवं $\gamma$ हैं, $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल: त्रिघात बहुपद के लिए, शून्यकों का योग $(\alpha + \beta + \gamma) = -\frac{b}{a}$
यहाँ $a=3, b=-5, c=-11, d=-3$
$\alpha + \beta + \gamma = -(\frac{-5}{3}) = \frac{5}{3}$

प्र.18. $p(x) = x^2 - 2x - 6$ के शून्यक $\alpha$ एवं $\beta$ हैं तो $\alpha + \beta$ के मान ज्ञात कीजिये।

हल: शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -\frac{b}{a}$
यहाँ $a=1, b=-2, c=-6$
$\alpha + \beta = -(\frac{-2}{1}) = 2$

प्र.19. $4u^2 + 8u$ के शून्यक ज्ञात कीजिये।

हल: $4u(u + 2) = 0$
$4u = 0 \implies u = 0$
$u + 2 = 0 \implies u = -2$
शून्यक 0 और $-2$ हैं।

प्र.20. यदि बहुपद $x^2 - x + 1$ के शून्यक $\alpha, \beta$ हैं तो $1/\alpha + 1/\beta$ का मान ज्ञात कीजिये।

हल:
हमें ज्ञात करना है: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta}$
बहुपद $x^2 - x + 1$ से: $a=1, b=-1, c=1$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -\frac{b}{a} = -(\frac{-1}{1}) = 1$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \beta) = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$
मान रखने पर: $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{1} = 1$

प्र.21. द्विघात बहुपद $x^2 - 2x - 8$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

शून्यक:
$x^2 - 4x + 2x - 8 = 0$
$x(x-4) + 2(x-4) = 0 \implies (x+2)(x-4) = 0$
शून्यक $\alpha = -2$ और $\beta = 4$ हैं।

जाँच:
यहाँ $a=1, b=-2, c=-8$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = (-2) + 4 = 2$
सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -(\frac{-2}{1}) = 2$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = (-2) \cdot (4) = -8$
सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-8}{1} = -8$
(सत्यता की जाँच हुई)

प्र.22. द्विघात बहुपद $3x^2 - x - 4$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

शून्यक:
$3x^2 - 4x + 3x - 4 = 0$
$x(3x-4) + 1(3x-4) = 0 \implies (x+1)(3x-4) = 0$
शून्यक $\alpha = -1$ और $\beta = \frac{4}{3}$ हैं।

जाँच:
यहाँ $a=3, b=-1, c=-4$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3+4}{3} = \frac{1}{3}$
सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -(\frac{-1}{3}) = \frac{1}{3}$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = (-1) \cdot (\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}$
सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-4}{3}$
(सत्यता की जाँच हुई)

प्र.23. द्विघात बहुपद $x^2 + 7x + 10$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

(यह प्रश्न प्र.7 के समान है।)

शून्यक: $\alpha = -2$ और $\beta = -5$

जाँच: योग = $-7$ (सूत्र $-\frac{b}{a} = -7$ ), गुणनफल = 10 (सूत्र $\frac{c}{a} = 10$ )

प्र.24. द्विघात बहुपद $3x^2 + 4x - 4$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

शून्यक:
$3x^2 + 6x - 2x - 4 = 0$
$3x(x+2) - 2(x+2) = 0 \implies (3x-2)(x+2) = 0$
शून्यक $\alpha = \frac{2}{3}$ और $\beta = -2$ हैं।

जाँच:
यहाँ $a=3, b=4, c=-4$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} + (-2) = \frac{2-6}{3} = -\frac{4}{3}$
सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{3}$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = (\frac{2}{3}) \cdot (-2) = -\frac{4}{3}$
सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-4}{3}$
(सत्यता की जाँच हुई)

प्र.25. द्विघात बहुपद $5t^2 + 12t + 7$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

शून्यक:
$5t^2 + 5t + 7t + 7 = 0$
$5t(t+1) + 7(t+1) = 0 \implies (5t+7)(t+1) = 0$
शून्यक $\alpha = -\frac{7}{5}$ और $\beta = -1$ हैं।

जाँच:
यहाँ $a=5, b=12, c=7$

शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -\frac{7}{5} + (-1) = \frac{-7-5}{5} = -\frac{12}{5}$
सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -\frac{12}{5}$

शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = (-\frac{7}{5}) \cdot (-1) = \frac{7}{5}$
सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{7}{5}$
(सत्यता की जाँच हुई)

प्र.26. यदि बहुपद $x^3 - 3x^2 + x + 1$ के शून्यक $a-b, a, a+b$ हों तो $a$ और $b$ का मान ज्ञात कीजिये।

हल:
बहुपद $x^3 - 3x^2 + x + 1$ के लिए:
$A=1, B=-3, C=1, D=1$
शून्यकों का योग $(\alpha + \beta + \gamma) = -\frac{B}{A}$
$(a-b) + (a) + (a+b) = -(\frac{-3}{1})$
$3a = 3 \implies \mathbf{a = 1}$

अब, शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \beta \gamma) = -\frac{D}{A}$
$(a-b) \cdot (a) \cdot (a+b) = -(\frac{1}{1})$
$a(a^2 - b^2) = -1$
$a=1$ का मान रखने पर:
$1(1^2 - b^2) = -1$
$1 - b^2 = -1$
$2 = b^2 \implies \mathbf{b = \pm\sqrt{2}}$

उत्तर: $a = 1$ और $b = \pm\sqrt{2}$

स्तम्भ – अ	स्तम्भ – ब	उत्तर
1. द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यकों का योग	(i). $ax + b$	1. $\to$ (iii). $-\frac{b}{a}$
2. बहुपद $x^2 + 6x + 9$ के गुणनखंड हैं	(ii). $y^3 + 2y^2 + y + 5$	2. $\to$ (iv). $(x+3)(x+3)$
3. त्रिघात बहुपद है :	(iii). $-\frac{b}{a}$	3. $\to$ (ii). $y^3 + 2y^2 + y + 5$
4. रैखिक बहुपद है :	(iv). $(x+3)(x+3)$	4. $\to$ (i). $ax + b$
5. द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यकों का गुणनफल	(v). $\frac{c}{a}$	5. $\to$ (v). $\frac{c}{a}$