बहुपद : MP Board 10th Mathematics Polynomial concept

बहुपद के प्रकार

1. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)

यदि किसी बहुपद की उच्चतम घात (degree) 1 होती है, तो उसे रैखिक बहुपद कहा जाता है।

सामान्य रूप: ax+bax + b
उदाहरण: $3x + 2, \quad -5x + 7$
विशेषता: इसमें केवल एक चर रहता है, और इसे सीधी रेखा के रूप में चित्रित किया जा सकता है।

2. द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial)

जिस बहुपद की उच्चतम घात 2 होती है, उसे द्विघात बहुपद कहते हैं।

सामान्य रूप: $ax^2 + bx + c$
उदाहरण: $x^2 + 5x + 6, \quad -2x^2 + 7x - 3$
विशेषता: द्विघात बहुपद ग्राफ पर परबोला (Parabola) का रूप लेता है।

3. घनात्मक बहुपद (Cubic Polynomial)

जिस बहुपद की उच्चतम घात 3 होती है, उसे घनात्मक बहुपद कहा जाता है।

सामान्य रूप: $ax^3 + bx^2 + cx + d$
उदाहरण: $x^3 - 4x^2 + 5x - 2, \quad 2x^3 + 3x^2 - x + 7$
विशेषता: इसका ग्राफ घनात्मक वक्र (Cubic Curve) के रूप में होता है।

4. उच्चघातीय बहुपद (Higher Degree Polynomial)

यदि किसी बहुपद की घात 4 या उससे अधिक हो, तो उसे उच्चघातीय बहुपद कहा जाता है।

सामान्य रूप: $ax^n + bx^{n-1} + \dots + d$
उदाहरण: $x^4 + 2x^3 - x + 5$

बहुपद के गुणधर्म

घात (Degree): बहुपद की उच्चतम घात को उसकी डिग्री कहा जाता है।
गुणांक (Coefficients): संख्याएँ जो चर के साथ गुणित होती हैं।
चर (Variables): किसी बहुपद में प्रयुक्त अपरिवर्तनीय तत्व।
स्थिर पद (Constant Term): वह पद जिसमें कोई चर नहीं होता।

बहुपद के उदाहरण

बहुपद	प्रकार	डिग्री
5x+35x + 3	रैखिक	1
$x^2 - 4x + 6$	द्विघात	2
$2x^3 + x^2 - 3x + 4$	घनात्मक	3
$x^4 - x^3 + x - 5$	उच्चघातीय	4

बहुपदों के अनुप्रयोग

गणितीय गणना: समीकरण हल करने और गणितीय विश्लेषण में।
भौतिकी और इंजीनियरिंग: स्पेक्ट्रम विश्लेषण, गतिशीलता समीकरण आदि में।
कंप्यूटर विज्ञान: एल्गोरिदम और ग्राफिक्स डिजाइन में।
अर्थशास्त्र: वित्तीय गणनाओं और पूर्वानुमान में।

निष्कर्ष

बहुपद गणितीय समीकरणों को सरल बनाने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इनके विभिन्न प्रकार हमें अलग-अलग गणितीय समस्याओं को समझने में मदद करते हैं। वास्तविक जीवन में भी बहुपदों का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिससे इनकी प्रासंगिकता और बढ़ जाती है।

बहुपद का सामान्य रूप क्या है :-

$a) \quad P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$
$b) \quad P(x) = a_0 + a_1x$
$c) \quad P(x) = a_0x^n$
$d) \quad P(x) = a_1x^2 + a_2x$

उत्तर :- $a) \quad P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$

$5x^3 + 2x^2 - x + 7$ बहुपद की घात क्या है?
1 b) 2 c) 3 d) 4

उत्तर: c) 3

2. ऐसा कौन सा बहुपद होता है जिसकी घात 1 होती है?

a) द्विघात बहुपद b) रैखिक बहुपद c) घनात्मक बहुपद d) स्थिर बहुपद

उत्तर: b

3. द्विघात बहुपद का ग्राफ कैसा होता है?

a) सीधी रेखा b) परबोला c) घनात्मक वक्र d) वृत्त

उत्तर: b) परबोला

4. निम्नलिखित में से कौन सा घनात्मक बहुपद का उदाहरण है?

$a) \quad x^2 + 5x + 6$

$b) \quad x^3 - 4x^2 + 5x - 2$

$c) \quad 5x + 3$

$d) \quad x^4 - x^3 + x - 5$

उत्तर: b

5. $x^4 - x^3 + x - 5$ बहुपद की घात क्या है?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5

उत्तर: c

6. बहुपद में वह पद जिसमें कोई चर नहीं होता, उसे क्या कहते हैं? a) गुणांक b) स्थिर पद c) घात d) चर पद उत्तर: b

7. रैखिक बहुपद की कौन सी विशेषता है? a) इसका ग्राफ परबोला होता है। b) इसकी घात 1 होती है। c) इसमें कोई स्थिर पद नहीं होता। d) इसकी घात 2 होती है। उत्तर: b

8. स्थिर बहुपद की घात क्या होती है? a) 0 b) 1 c) 2 d) अपरिभाषित उत्तर: a

9. निम्नलिखित में से कौन सा द्विघात बहुपद का उदाहरण है?

$a) \quad x^2 + 5x + 6$
$b) \quad x^3 - 4x^2 + 5x - 2$
$c) \quad 5x + 3$