MP Board 10th Mathematics Pocket Diary कक्षा 10 गणित पॉकेट डायरी

कक्षा 10 गणित पॉकेट डायरी (MP Board)

अध्याय-1: वास्तविक संख्याएँ

मुख्य तथ्य

• यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b।
• अंकगणित की आधारभूत प्रमेय: प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है।
• HCF और LCM: किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए,HCF (a, b) × LCM (a, b) = a × b
• सांत/असांत दशमलव: यदि एक परिमेय संख्या p/q में q का अभाज्य गुणनखंड 2^n * 5^m के रूप का है (जहाँ n, m गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं), तो दशमलव प्रसार सांत होता है।
• यदि q का गुणनखंड 2^n * 5^m के रूप का नहीं है, तो दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।
• √2, √3, √5 अपरिमेय संख्याएँ हैं।

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. संख्याओं 135 और 225 का HCF यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से ज्ञात कीजिए।

हल:

चरण 1: 225 > 135,

225 = 135 × 1 + 90 (शेषफल 90 ≠ 0)

चरण 2: 135 = 90 × 1 + 45 (शेषफल 45 ≠ 0)

चरण 3: 90 = 45 × 2 + 0 (शेषफल = 0)

अंतिम भाजक 45 है। अतः, HCF(135, 225) = 45.

2. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁵ × 3

404 = 2 × 2 × 101 = 2² × 101

HCF (96, 404) = (उभयनिष्ठ गुणनखंडों की सबसे छोटी घात) = 2² = 4

LCM (96, 404) = (सभी गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात) = 2⁵ × 3 × 101 = 32 × 3 × 101 = 9696

3. HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं, HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल

9 × LCM = 306 × 657

LCM = (306 × 657) / 9 = 34 × 657 = 22338

4. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या p/q है (जहाँ q≠0, p और q सह-अभाज्य हैं)।

3 + 2√5 = p/q

2√5 = p/q – 3

2√5 = (p – 3q) / q

√5 = (p – 3q) / 2q

चूंकि p, q, 3, 2 पूर्णांक हैं, इसलिए (p – 3q) / 2q एक परिमेय संख्या है।

इसका अर्थ है कि √5 भी एक परिमेय संख्या है।

परंतु यह इस तथ्य का खंडन करता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

अतः हमारी कल्पना गलत है। 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

5. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि 17/8 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।

हल:

17/8 में हर (q) = 8

8 = 2 × 2 × 2 = 2³

इसे 2³ × 5⁰ के रूप में लिख सकते हैं।

चूंकि हर 2^n * 5^m के रूप का है, इसलिए 17/8 का दशमलव प्रसार सांत है।

अध्याय-2: बहुपद

मुख्य तथ्य

• n घात वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक हो सकते हैं।
• रैखिक बहुपद (ax + b): शून्यक = -b/a
• द्विघात बहुपद (ax² + bx + c):
  • शून्यकों का योग (α + β) = -b/a
  • शून्यकों का गुणनफल (α * β) = c/a
  • ग्राफ एक परवलय (Parabola) होता है।
• बहुपद बनाना: यदि शून्यकों का योग (S) और गुणनफल (P) दिया हो, तो बहुपद है: k [x² - (S)x + P]
• विभाजन एल्गोरिथ्म: p(x) = g(x) * q(x) + r(x) (जहाँ r(x)=0 या r(x) की घात < g(x) की घात)

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

हल:

x² + 7x + 10 = x² + 5x + 2x + 10

= x(x + 5) + 2(x + 5) = (x + 2)(x + 5)

शून्यकों के लिए, (x + 2)(x + 5) = 0, अतः x = -2 और x = -5.

शून्यक (α, β) = (-2, -5)

जाँच:

(a = 1, b = 7, c = 10)

शून्यकों का योग (α + β) = -2 + (-5) = -7

-b/a = -7/1 = -7 (सत्यापित)

शून्यकों का गुणनफल (α * β) = (-2) * (-5) = 10

c/a = 10/1 = 10 (सत्यापित)

2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।

हल:

योग (S) = -3, गुणनफल (P) = 2

सूत्र: x² – (S)x + P

x² – (-3)x + 2 = x² + 3x + 2

अतः, अभीष्ट बहुपद x² + 3x + 2 है।

3. 3x³ + x² + 2x + 5 को 1 + 2x + x² (या x² + 2x + 1) से भाग दीजिए।

हल:

(लंबी विभाजन प्रक्रिया द्वारा)

x² + 2x + 1 ) 3x³ + x² + 2x + 5 ( 3x – 5

-(3x³ + 6x² + 3x)

——————

-5x² – x + 5

-( -5x² – 10x – 5)

——————

9x + 10

भागफल (q(x)) = 3x – 5

शेषफल (r(x)) = 9x + 10

4. 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि आपको इसके दो शून्यक √2 और -√2 ज्ञात हैं।

हल:

चूंकि √2 और -√2 शून्यक हैं, (x – √2) और (x + √2) गुणनखंड हैं।

अतः (x – √2)(x + √2) = x² – 2 भी p(x) का एक गुणनखंड है।

p(x) को x² – 2 से भाग देने पर:

(2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2) / (x² – 2) = 2x² – 3x + 1 (भागफल)

अब 2x² – 3x + 1 के शून्यक ज्ञात करें:

2x² – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – 1(x – 1) = (2x – 1)(x – 1)

शून्यक हैं x = 1/2 और x = 1.

अतः, सभी शून्यक हैं: √2, -√2, 1/2, 1.

5. यदि बहुपद x² – kx + 6 के शून्यकों का योग 5 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

बहुपद है x² – kx + 6.

यहाँ a = 1, b = -k, c = 6.

शून्यकों का योग = -b/a

दिया है, योग = 5.

5 = -(-k) / 1

5 = k

अतः, k = 5.

अध्याय-3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

मुख्य तथ्य

• समीकरण युग्म: a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0
  1. प्रतिच्छेदी रेखाएँ (अद्वितीय हल): a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (संगत युग्म)
  2. समांतर रेखाएँ (कोई हल नहीं): a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (असंगत युग्म)
  3. संपाती रेखाएँ (अनेक हल): a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (संगत/आश्रित युग्म)
• हल करने की विधियाँ: 1. प्रतिस्थापन विधि 2. विलोपन विधि।

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. रैखिक समीकरण युग्म x + y = 14 (1) और x – y = 4 (2) को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।

हल:

समीकरण (2) से, x = 4 + y

इसे (1) में रखने पर:

(4 + y) + y = 14

4 + 2y = 14

2y = 10 => y = 5

y = 5 को x = 4 + y में रखने पर:

x = 4 + 5 => x = 9

हल: x = 9, y = 5.

2. 3x + 4y = 10 (1) और 2x – 2y = 2 (2) को विलोपन विधि से हल कीजिए।

हल:

समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:

4x – 4y = 4 (3)

समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर:

(3x + 4y) + (4x – 4y) = 10 + 4

7x = 14 => x = 2

x = 2 को (1) में रखने पर:

3(2) + 4y = 10

6 + 4y = 10

4y = 4 => y = 1

हल: x = 2, y = 1.

3. 2x + 3y = 8 और 4x + 6y = 7 समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ समांतर हैं या प्रतिच्छेदी या संपाती?

हल:

a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 8

a₂ = 4, b₂ = 6, c₂ = 7

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2

b₁/b₂ = 3/6 = 1/2

c₁/c₂ = 8/7

यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.

अतः, रेखाएँ समांतर हैं (कोई हल नहीं)।

4. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

माना संख्याएँ x और y हैं (x > y)।

प्रश्नानुसार:

x – y = 26 (1)

x = 3y (2)

x = 3y को (1) में रखने पर:

3y – y = 26

2y = 26 => y = 13

x = 3y = 3(13) = 39

संख्याएँ 39 और 13 हैं।

5. एक भिन्न 9/11 हो जाती है, यदि उसके अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

माना भिन्न x/y है।

स्थिति 1: (x + 2) / (y + 2) = 9/11

11(x + 2) = 9(y + 2) => 11x + 22 = 9y + 18

11x – 9y = -4 (1)

स्थिति 2: (x + 3) / (y + 3) = 5/6

6(x + 3) = 5(y + 3) => 6x + 18 = 5y + 15

6x – 5y = -3 (2)

(1) और (2) को विलोपन विधि से हल करने पर (समी. (1) को 6 से और समी. (2) को 11 से गुणा करें):

66x – 54y = -24

66x – 55y = -33

घटाने पर: y = 9

y = 9 को (2) में रखने पर: 6x – 5(9) = -3

6x – 45 = -3 => 6x = 42 => x = 7

भिन्न 7/9 है।

अध्याय-4: द्विघात समीकरण

मुख्य तथ्य

• मानक रूप: ax² + bx + c = 0, (जहाँ a ≠ 0)
• हल करने की विधियाँ: 1. गुणनखंड 2. पूर्ण वर्ग बनाना 3. द्विघाती सूत्र
• द्विघाती सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र):x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a
• विविक्तकर (D): D = b² - 4ac
• मूलों की प्रकृति:
  1. D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल
  2. D = 0: दो बराबर वास्तविक मूल (संपाती मूल)
  3. D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं (काल्पनिक मूल)

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. गुणनखंड विधि से x² – 3x – 10 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

x² – 5x + 2x – 10 = 0

x(x – 5) + 2(x – 5) = 0

(x – 5)(x + 2) = 0

अतः x – 5 = 0 या x + 2 = 0

मूल हैं x = 5 और x = -2.

2. द्विघाती सूत्र का प्रयोग करके समीकरण 2x² – 7x + 3 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

a = 2, b = -7, c = 3

D = b² – 4ac = (-7)² – 4(2)(3) = 49 – 24 = 25

x = [-b ± √D] / 2a

x = [-(-7) ± √25] / (2 × 2)

x = (7 ± 5) / 4

x₁ = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3

x₂ = (7 – 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2

मूल हैं 3 और 1/2.

3. समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।

हल:

बराबर मूलों के लिए, विविक्तकर D = 0.

a = 2, b = k, c = 3

D = b² – 4ac = k² – 4(2)(3) = 0

k² – 24 = 0

k² = 24

k = ±√24 = ±√(4 × 6) = ±2√6

4. 3x² – 4√3 x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल:

a = 3, b = -4√3, c = 4

D = b² – 4ac = (-4√3)² – 4(3)(4)

D = (16 × 3) – 48 = 48 – 48 = 0

चूंकि D = 0, मूल वास्तविक और बराबर हैं।

5. दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

हल:

माना पहली संख्या x है।

दूसरी संख्या = 27 – x

प्रश्नानुसार: x * (27 – x) = 182

27x – x² = 182

x² – 27x + 182 = 0

x² – 14x – 13x + 182 = 0

x(x – 14) – 13(x – 14) = 0

(x – 13)(x – 14) = 0

x = 13 या x = 14.

यदि पहली संख्या 13 है, तो दूसरी 14 है।

यदि पहली संख्या 14 है, तो दूसरी 13 है।

संख्याएँ 13 और 14 हैं।

अध्याय-5: समांतर श्रेढ़ियाँ (AP)

मुख्य तथ्य

• AP: संख्याओं की एक सूची जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या d (सार्व अंतर) जोड़कर प्राप्त होता है।
• d धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
• n-वाँ पद (an): an = a + (n – 1)d(जहाँ a = प्रथम पद, d = सार्व अंतर)
• प्रथम n पदों का योग (Sn):Sn = n/2 [2a + (n – 1)d]याSn = n/2 [a + l] (जहाँ l = अंतिम पद an)

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. AP: 10, 7, 4, … का 30वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

a = 10

d = 7 – 10 = -3

n = 30

a₃₀ = a + (30 – 1)d = 10 + 29(-3)

a₃₀ = 10 – 87 = -77

2. AP: 3, 8, 13, … का कौन सा पद 78 है?

हल:

a = 3, d = 8 – 3 = 5

माना n-वाँ पद 78 है (an = 78)

an = a + (n – 1)d

78 = 3 + (n – 1)5

75 = (n – 1)5

15 = n – 1

n = 16

अतः, 16वाँ पद 78 है।

3. AP: 2, 7, 12, … के प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

a = 2, d = 7 – 2 = 5, n = 10

Sn = n/2 [2a + (n – 1)d]

S₁₀ = 10/2 [2(2) + (10 – 1)5]

S₁₀ = 5 [4 + 9(5)] = 5 [4 + 45] = 5 × 49 = 245

4. उस AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

हल:

a₁₁ = a + 10d = 38 (1)

a₁₆ = a + 15d = 73 (2)

समी. (2) में से (1) को घटाने पर:

5d = 35 => d = 7

d = 7 को (1) में रखने पर:

a + 10(7) = 38 => a + 70 = 38 => a = -32

अब, 31वाँ पद:

a₃₁ = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178

5. 6 से विभाज्य प्रथम 40 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

AP है: 6, 12, 18, …

a = 6, d = 6, n = 40

Sn = n/2 [2a + (n – 1)d]

S₄₀ = 40/2 [2(6) + (40 – 1)6]

S₄₀ = 20 [12 + 39(6)] = 20 [12 + 234] = 20 × 246 = 4920

अध्याय-6: त्रिभुज

मुख्य तथ्य

• समरूप आकृतियाँ: आकार समान, माप भिन्न हो सकते हैं।
• समरूपता कसौटियाँ: AA (कोण-कोण), SAS (भुजा-कोण-भुजा), SSS (भुजा-भुजा-भुजा)।
• थेल्स प्रमेय (BPT): यदि DE || BC, तो AD/DB = AE/EC.
• थेल्स प्रमेय का विलोम: यदि AD/DB = AE/EC, तो DE || BC.
• समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात:Area(ΔABC) / Area(ΔPQR) = (AB/PQ)² = (BC/QR)² = (AC/PR)²
• पाइथागोरस प्रमेय: (समकोण Δ में) कर्ण² = लंब² + आधार²
• पाइथागोरस का विलोम: यदि AC² = AB² + BC², तो ∠B = 90°.

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. थेल्स प्रमेय (BPT) का कथन लिखिए और सिद्ध कीजिए।

कथन: (ऊपर मुख्य तथ्य में देखें)

सिद्ध करना: (आमतौर पर रचना और क्षेत्रफल अनुपात का उपयोग करके किया जाता है – पाठ्यपुस्तक देखें)

2. पाइथागोरस प्रमेय का कथन लिखिए और सिद्ध कीजिए।

कथन: (ऊपर मुख्य तथ्य में देखें)

सिद्ध करना: (समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डालकर और समरूप त्रिभुजों का उपयोग करके – पाठ्यपुस्तक देखें)

3. आकृति में यदि DE || BC है, AD=1.5 cm, DB=3 cm और AE=1 cm है, तो EC ज्ञात कीजिए।

हल:

थेल्स प्रमेय (BPT) से:

AD / DB = AE / EC

1.5 / 3 = 1 / EC

1 / 2 = 1 / EC

EC = 2 cm

4. एक 10 मीटर लंबी सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मीटर की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

यह एक समकोण Δ बनाता है।

कर्ण (सीढ़ी) = 10 m

लंब (दीवार की ऊँचाई) = 8 m

आधार (दूरी) = ?

पाइथागोरस प्रमेय से:

आधार² + लंब² = कर्ण²

आधार² + 8² = 10²

आधार² + 64 = 100

आधार² = 36 => आधार = 6 m

5. यदि दो समरूप त्रिभुजों ABC और PQR के क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm² हैं, और BC = 15.4 cm हो, तो QR ज्ञात कीजिए।

हल:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल प्रमेय से:

Area(ΔABC) / Area(ΔPQR) = (BC / QR)²

64 / 121 = (15.4 / QR)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√64 / √121 = 15.4 / QR

8 / 11 = 15.4 / QR

QR = (15.4 × 11) / 8 = 169.4 / 8 = 21.175 cm (प्रश्न में EF = 15.4 होना चाहिए, BC नहीं, यदि ΔDEF है, यदि ΔPQR है तो QR ज्ञात करना है। यदि EF=15.4 है तो BC = (15.4 * 8) / 11 = 11.2 cm. प्रश्न के अनुसार BC दिया है तो QR ज्ञात करते हैं।)

8 / 11 = 15.4 / QR

QR = (15.4 * 11) / 8 = 169.4 / 8 = 21.175 cm

(नोट: प्रश्न में BC = 15.4 के बजाय EF = 15.4 (दूसरे त्रिभुज की भुजा) होना अधिक सामान्य है। यदि EF = 15.4 (मान लीजिए QR=15.4) होता, तो BC = (8 * 15.4) / 11 = 11.2 cm आता। दिए गए प्रश्न के अनुसार हल ऊपर है।)

अध्याय-7: निर्देशांक ज्यामिति

मुख्य तथ्य

• दूरी सूत्र: PQ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
• विभाजन सूत्र: (बिंदु P(x, y) जो A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को m₁ : m₂ में विभाजित करता है)x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂) y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂)
• मध्य-बिंदु सूत्र: [(x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2]
• त्रिभुज का क्षेत्रफल: (1/2) |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
• संरेख बिंदु: यदि तीन बिंदु संरेख हैं, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0.

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

दूरी = √[(4 – 2)² + (1 – 3)²]

= √[(2)² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2

2. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल:

x₁=-1, y₁=7; x₂=4, y₂=-3; m₁=2, m₂=3

x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂) = (2(4) + 3(-1)) / (2 + 3) = (8 – 3) / 5 = 5 / 5 = 1

y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂) = (2(-3) + 3(7)) / (2 + 3) = (-6 + 21) / 5 = 15 / 5 = 3

बिंदु (1, 3) है।

3. y-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (6, 5) और (-4, 3) से समदूरस्थ है।

हल:

y-अक्ष पर बिंदु P (0, y) होगा।

PA = PB (दिया है), अतः PA² = PB²

(6 – 0)² + (5 – y)² = (-4 – 0)² + (3 – y)²

36 + (25 – 10y + y²) = 16 + (9 – 6y + y²)

61 – 10y = 25 – 6y

61 – 25 = 10y – 6y

36 = 4y

y = 9

बिंदु (0, 9) है।

4. k का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु A(2, 3), B(4, k) और C(6, -3) संरेख हैं।

हल:

संरेख के लिए, Δ का क्षेत्रफल = 0

(1/2) |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)| = 0

|2(k – (-3)) + 4(-3 – 3) + 6(3 – k)| = 0

|2(k + 3) + 4(-6) + 6(3 – k)| = 0

|2k + 6 – 24 + 18 – 6k| = 0

|-4k| = 0

k = 0

5. बिंदुओं (5, 2), (4, 7) और (7, -4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

क्षेत्रफल = (1/2) |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|

= (1/2) |5(7 – (-4)) + 4(-4 – 2) + 7(2 – 7)|

= (1/2) |5(11) + 4(-6) + 7(-5)|

= (1/2) |55 – 24 – 35| = (1/2) |55 – 59| = (1/2) |-4| = 2

क्षेत्रफल = 2 वर्ग मात्रक।

अध्याय-8: त्रिकोणमिति का परिचय

मुख्य तथ्य

• अनुपात:sin θ = लंब/कर्ण, cos θ = आधार/कर्ण, tan θ = लंब/आधारcosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ
• tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ
• सर्वसमिकाएँ:
  1. sin²θ + cos²θ = 1
  2. 1 + tan²θ = sec²θ
  3. 1 + cot²θ = cosec²θ
• मान सारणी: (0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मान याद रखें)
• पूरक कोण:sin(90° – θ) = cos θcos(90° – θ) = sin θtan(90° – θ) = cot θcot(90° – θ) = tan θsec(90° – θ) = cosec θcosec(90° – θ) = sec θ

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. यदि tan A = 4/3 है, तो sin A और cos A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

tan A = लंब/आधार = 4/3. माना लंब = 4k, आधार = 3k.

कर्ण² = लंब² + आधार² = (4k)² + (3k)² = 16k² + 9k² = 25k²

कर्ण = 5k

sin A = लंब/कर्ण = 4k / 5k = 4/5

cos A = आधार/कर्ण = 3k / 5k = 3/5

2. मान ज्ञात कीजिए: 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°

हल:

tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2

= 2(1)² + (√3/2)² – (√3/2)²

= 2(1) + 3/4 – 3/4 = 2

3. मान निकालिए: sin 18° / cos 72°

हल:

sin 18° = sin(90° – 72°) = cos 72°

अतः, cos 72° / cos 72° = 1

4. सिद्ध कीजिए: (cosec θ – cot θ)² = (1 – cos θ) / (1 + cos θ)

हल:

LHS = (cosec θ – cot θ)² = (1/sin θ – cos θ/sin θ)²

= ((1 – cos θ) / sin θ)² = (1 – cos θ)² / sin²θ

(चूंकि sin²θ = 1 – cos²θ = (1 – cos θ)(1 + cos θ))

= (1 – cos θ)(1 – cos θ) / [(1 – cos θ)(1 + cos θ)]

= (1 – cos θ) / (1 + cos θ) = RHS.

5. यदि tan(A + B) = √3 और tan(A – B) = 1/√3, तो A और B ज्ञात कीजिए।

हल:

tan(A + B) = √3 = tan 60°

=> A + B = 60° (1)

tan(A – B) = 1/√3 = tan 30°

=> A – B = 30° (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर:

2A = 90° => A = 45°

A = 45° को (1) में रखने पर:

45° + B = 60° => B = 15°

हल: A = 45°, B = 15°.

अध्याय-9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

मुख्य तथ्य

• उन्नयन कोण: क्षैतिज स्तर से ऊपर देखने पर दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बना कोण।
• अवनमन कोण: क्षैतिज स्तर से नीचे देखने पर दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बना कोण।
• अवनमन कोण = संगत उन्नयन कोण (एकांतर अंतः कोण)।
• सही आरेख बनाना सबसे महत्वपूर्ण है।

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 15 मीटर दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

माना मीनार की ऊँचाई h है, आधार से दूरी 15 m है।

tan 60° = लंब/आधार = h / 15

√3 = h / 15

h = 15√3 मीटर।

2. भूमि से 60 मीटर की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। डोरी का भूमि के साथ झुकाव 60° है। डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

माना डोरी की लंबाई L है, ऊँचाई (लंब) = 60 m.

sin 60° = लंब/कर्ण = 60 / L

√3 / 2 = 60 / L

L = (60 × 2) / √3 = 120 / √3 = (120√3) / 3 = 40√3 मीटर।

3. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

माना पेड़ x ऊँचाई से टूटता है और टूटे भाग (कर्ण) की लंबाई y है।

tan 30° = लंब/आधार = x / 8 => 1/√3 = x / 8 => x = 8/√3

cos 30° = आधार/कर्ण = 8 / y => √3/2 = 8 / y => y = 16/√3

पेड़ की कुल ऊँचाई = x + y = (8/√3) + (16/√3) = 24/√3

= (24√3) / 3 = 8√3 मीटर।

4. एक 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

माना भवन AB = 7m, टॉवर CD = H है।

∠EAD = 45° (अवनमन कोण) => ∠ACB = 45°

ΔABC में, tan 45° = AB/BC = 7/BC => 1 = 7/BC => BC = 7 m.

AE = BC = 7 m.

ΔADE में, tan 60° = DE / AE = DE / 7

√3 = DE / 7 => DE = 7√3 m.

टॉवर की ऊँचाई H = DE + EC = DE + AB = 7√3 + 7 = 7(√3 + 1) मीटर।

5. एक नदी के पुल के एक बिंदु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3 मीटर की ऊँचाई पर हो, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

माना पुल की ऊँचाई P = 3 m.

बिंदु A से किनारा B (∠PAB = 30°) और किनारा C (∠PAC = 45°) है।

ΔPAB में, tan 30° = P / AB => 1/√3 = 3 / AB => AB = 3√3 m

ΔPAC में, tan 45° = P / AC => 1 = 3 / AC => AC = 3 m

नदी की चौड़ाई = AB + AC = 3√3 + 3 = 3(√3 + 1) मीटर।

अध्याय-10: वृत्त

मुख्य तथ्य

• स्पर्श रेखा (Tangent): वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
• छेदक रेखा (Secant): वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
• प्रमेय 1: वृत्त की स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
• प्रमेय 2: किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
• वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

हल:

O केंद्र वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींचें। OA और OB त्रिज्याएँ हैं। OP को मिलाएँ।

ΔOAP और ΔOBP में:

OA = OB (वृत्त की त्रिज्याएँ)

OP = OP (उभयनिष्ठ)

∠OAP = ∠OBP = 90° (प्रमेय 1)

RHS समरूपता से, ΔOAP ≅ ΔOBP.

अतः, PA = PB (CPCT द्वारा)।

2. एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

माना केंद्र O, बिंदु A और स्पर्श बिंदु T है। OT ⊥ TA.

ΔOTA एक समकोण त्रिभुज है, OA कर्ण है।

OT² + TA² = OA² (पाइथागोरस)

r² + 4² = 5²

r² + 16 = 25

r² = 9 => r = 3 cm.

3. दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।

हल:

माना बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को P पर स्पर्श करती है।

OP छोटे वृत्त की त्रिज्या = 3 cm. OA बड़े वृत्त की त्रिज्या = 5 cm.

OP ⊥ AB. ΔOPA समकोण है।

OP² + AP² = OA²

3² + AP² = 5²

9 + AP² = 25 => AP² = 16 => AP = 4 cm.

जीवा की लंबाई AB = 2 × AP = 2 × 4 = 8 cm.

4. यदि TP, TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ ज्ञात कीजिए।

हल:

OP ⊥ TP (∠OPT = 90°)

OQ ⊥ TQ (∠OQT = 90°)

चतुर्भुज OQTP में,

∠OQT + ∠QTP + ∠TPO + ∠POQ = 360°

90° + ∠PTQ + 90° + 110° = 360°

∠PTQ + 290° = 360°

∠PTQ = 360° – 290° = 70°

5. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

हल:

माना ABCD वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज है।

AB = CD और BC = DA (समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ)

बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं:

AP = AS (1)

BP = BQ (2)

CR = CQ (3)

DR = DS (4)

(1)+(2)+(3)+(4) करने पर:

(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)

AB + CD = AD + BC

चूंकि AB = CD और AD = BC,

AB + AB = AD + AD

2AB = 2AD => AB = AD

चूंकि समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बराबर हैं, ABCD एक समचतुर्भुज है।

अध्याय-12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

मुख्य तथ्य

• वृत्त का क्षेत्रफल: πr²
• वृत्त की परिधि: 2πr
• त्रिज्यखंड (Sector) का क्षेत्रफल (कोण θ): (θ / 360°) × πr²
• चाप (Arc) की लंबाई (कोण θ): (θ / 360°) × 2πr
• वृत्तखंड (Segment) का क्षेत्रफल: (संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल) – (संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल)
• ΔOAB का क्षेत्रफल (यदि ∠AOB = θ): (1/2)r² sinθ (यदि त्रिकोणमिति का उपयोग करें) या (1/2) × आधार × ऊँचाई।

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। (π=22/7)

हल:

क्षेत्रफल = (θ / 360°) × πr²

= (60 / 360) × (22/7) × (6)²

= (1 / 6) × (22/7) × 36 = (22 × 6) / 7 = 132 / 7 cm²

2. एक वृत्त के चतुर्थांश (Quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।

हल:

परिधि 2πr = 22

2 × (22/7) × r = 22 => r = 7/2 cm

चतुर्थांश (Quadrant) का कोण θ = 90°.

क्षेत्रफल = (90 / 360) × πr² = (1 / 4) × (22/7) × (7/2)²

= (1 / 4) × (22/7) × (49 / 4) = (11 × 7) / (2 × 4) = 77 / 8 cm²

3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

60 मिनट में सुई कोण बनाती है = 360°

1 मिनट में = 360 / 60 = 6°

5 मिनट में (θ) = 5 × 6 = 30°

त्रिज्या (r) = 14 cm

क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr² = (30 / 360) × (22/7) × (14)²

= (1 / 12) × (22/7) × 196 = (1 / 12) × 22 × 28 = (11 × 14) / 3 = 154 / 3 cm²

4. 10 cm त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा केंद्र पर समकोण (90°) अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल:

लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (90 / 360) × πr²

= (1 / 4) × 3.14 × (10)² = (1 / 4) × 314 = 78.5 cm²

समकोण ΔOAB का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × OA × OB

= (1/2) × 10 × 10 = 50 cm²

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल) – (Δ का क्षेत्रफल)

= 78.5 – 50 = 28.5 cm²

5. आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।

हल:

छायांकित भाग = (बड़े त्रिज्यखंड OAC का क्षेत्रफल) – (छोटे त्रिज्यखंड OBD का क्षेत्रफल)

R = 14 cm, r = 7 cm, θ = 40°

क्षेत्रफल = (θ / 360) × πR² – (θ / 360) × πr²

= (θ / 360) × π (R² – r²)

= (40 / 360) × (22/7) × (14² – 7²)

= (1 / 9) × (22/7) × (196 – 49)

= (1 / 9) × (22/7) × 147 = (1 / 9) × 22 × 21 = (22 × 7) / 3 = 154 / 3 cm²

अध्याय-13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

मुख्य तथ्य

(सभी सूत्रों को याद करें)

• घनाभ: आयतन=lbh, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)=2(lb+bh+hl)
• घन: आयतन=a³, TSA=6a²
• बेलन: आयतन=πr²h, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)=2πrh, TSA=2πr(r+h)
• शंकु: आयतन=(1/3)πr²h, CSA=πrl, TSA=πr(l+r) (जहाँ l=√(r²+h²))
• गोला: आयतन=(4/3)πr³, SA=4πr²
• अर्धगोला: आयतन=(2/3)πr³, CSA=2πr², TSA=3πr²
• शंकु का छिन्नक (Frustum):
  • आयतन = (1/3)πh(R² + r² + Rr)
  • CSA = πl(R + r) (जहाँ l = √(h² + (R-r)²))
  • TSA = CSA + πR² + πr²
• ठोस का रूपांतरण: आयतन समान रहता है।

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

घन का आयतन = a³ = 64 => a = 4 cm.

दो घनों को मिलाने पर घनाभ बनता है।

घनाभ की लंबाई (l) = 4 + 4 = 8 cm

चौड़ाई (b) = 4 cm, ऊँचाई (h) = 4 cm.

घनाभ का TSA = 2(lb + bh + hl)

= 2(8×4 + 4×4 + 4×8)

= 2(32 + 16 + 32) = 2(80) = 160 cm²

2. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

r = 3.5 cm

शंकु की ऊँचाई (h) = (कुल ऊँचाई) – (अर्धगोले की त्रिज्या) = 15.5 – 3.5 = 12 cm.

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(h² + r²) = √(12² + 3.5²) = √(144 + 12.25) = √156.25 = 12.5 cm

खिलौने का TSA = (शंकु का CSA) + (अर्धगोले का CSA)

= πrl + 2πr² = πr(l + 2r)

= (22/7) × 3.5 × (12.5 + 2 × 3.5)

= 22 × 0.5 × (12.5 + 7) = 11 × (19.5) = 214.5 cm²

3. त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

रूपांतरण में आयतन समान रहता है।

(बेलन का आयतन) = (गोले का आयतन)

πr_cyl²h = (4/3)πr_sph³

(6)² × h = (4/3) × (4.2)³

36 × h = (4/3) × 4.2 × 4.2 × 4.2

h = (4 × 4.2 × 4.2 × 4.2) / (3 × 36)

h = (4 × 1.4 × 4.2 × 4.2) / 36

h = (1.4 × 4.2 × 4.2) / 9 = 1.4 × 1.4 × 1.4 = 2.744 cm

4. 7 m व्यास वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

कुआँ (बेलन): व्यास = 7m, r = 3.5m, h = 20m

चबूतरा (घनाभ): l = 22m, b = 14m, ऊँचाई = H

(चबूतरे का आयतन) = (कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन)

l × b × H = πr²h

22 × 14 × H = (22/7) × (3.5)² × 20

22 × 14 × H = (22/7) × (3.5 × 3.5) × 20

14 × H = (0.5 × 3.5) × 20

14 × H = 1.75 × 20 = 35

H = 35 / 14 = 5 / 2 = 2.5 m

5. पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। गिलास की धारिता (आयतन) ज्ञात कीजिए।

हल:

h = 14 cm

बड़ा व्यास = 4 cm, R = 2 cm

छोटा व्यास = 2 cm, r = 1 cm

धारिता (आयतन) = (1/3)πh(R² + r² + Rr)

= (1/3) × (22/7) × 14 × (2² + 1² + 2×1)

= (1/3) × 22 × 2 × (4 + 1 + 2)

= (44 / 3) × 7 = 308 / 3 cm³ (या 102.67 cm³)

अध्याय-14: सांख्यिकी

मुख्य तथ्य

• माध्य (Mean):
  • प्रत्यक्ष विधि: x̄ = Σ(fᵢxᵢ) / Σfᵢ
  • कल्पित माध्य विधि: x̄ = a + [Σ(fᵢdᵢ) / Σfᵢ] (जहाँ dᵢ = xᵢ - a)
  • पग विचलन विधि: x̄ = a + h[Σ(fᵢuᵢ) / Σfᵢ] (जहाँ uᵢ = (xᵢ - a)/h)
• बहुलक (Mode):बहुलक = l + [(f₁ – f₀) / (2f₁ – f₀ – f₂)] × h(l=बहुलक वर्ग की निम्न सीमा, h=वर्ग अंतराल, f₁=बहुलक वर्ग की बारंबारता, f₀=पहले वर्ग की बारंबारता, f₂=बाद के वर्ग की बारंबारता)
• माध्यक (Median):माध्यक = l + [(n/2 – cf) / f] × h(l=माध्यक वर्ग की निम्न सीमा, h=वर्ग अंतराल, n=Σfᵢ, cf=माध्यक वर्ग से पहले वर्ग की संचयी बारंबारता, f=माध्यक वर्ग की बारंबारता)
• आनुभविक संबंध: 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

(नोट: सांख्यिकी के प्रश्नों के लिए सारणी बनाना आवश्यक है। हल में अंतिम सूत्र और गणना दिखाई जाएगी।)

1. विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा 20 घरों में लगे पौधों की संख्या का माध्य (प्रत्यक्ष विधि से) ज्ञात कीजिए।

(वर्ग अंतराल: 0-2, 2-4, 4-6, 6-8, 8-10, 10-12, 12-14)

(बारंबारता fᵢ: 1, 2, 1, 5, 6, 2, 3)

हल:

xᵢ (वर्ग चिह्न) ज्ञात करें: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

fᵢxᵢ ज्ञात करें: 1, 6, 5, 35, 54, 22, 39

Σfᵢ = 20

Σ(fᵢxᵢ) = 1 + 6 + 5 + 35 + 54 + 22 + 39 = 162

माध्य x̄ = Σ(fᵢxᵢ) / Σfᵢ = 162 / 20 = 8.1

माध्य पौधों की संख्या 8.1 है।

2. निम्नलिखित आँकड़े 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं। बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए।

(वर्ग: 0-20, 20-40, 40-60, 60-80, 80-100, 100-120)

(fᵢ: 10, 35, 52, 61, 38, 29)

हल:

अधिकतम बारंबारता = 61, अतः बहुलक वर्ग = 60-80.

l = 60, h = 20, f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 38

बहुलक = l + [(f₁ – f₀) / (2f₁ – f₀ – f₂)] × h

= 60 + [(61 – 52) / (2×61 – 52 – 38)] × 20

= 60 + [9 / (122 – 90)] × 20

= 60 + [9 / 32] × 20 = 60 + (9 × 5) / 8 = 60 + 45 / 8

= 60 + 5.625 = 65.625 घंटे।

3. निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक ज्ञात कीजिए।

(वर्ग: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60)

(fᵢ: 5, 8, 20, 15, 7, 5)

हल:

cf (संचयी बारंबारता) ज्ञात करें: 5, 13, 33, 48, 55, 60

n = Σfᵢ = 60. n/2 = 30.

n/2 से ठीक बड़ी cf = 33, अतः माध्यक वर्ग = 20-30.

l = 20, h = 10, f = 20, cf = 13

माध्यक = l + [(n/2 – cf) / f] × h

= 20 + [(30 – 13) / 20] × 10

= 20 + (17 / 20) × 10 = 20 + 17 / 2 = 20 + 8.5 = 28.5

4. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए। (कुल योग = 60)

(वर्ग: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60)

(fᵢ: 5, x, 20, 15, y, 5)

हल:

cf: 5, 5+x, 25+x, 40+x, 40+x+y, 45+x+y

n = 45 + x + y = 60 (दिया है) => x + y = 15 (1)

माध्यक = 28.5, जो वर्ग 20-30 में है।

l = 20, h = 10, f = 20, cf = 5+x, n/2 = 30

माध्यक = l + [(n/2 – cf) / f] × h

28.5 = 20 + [(30 – (5 + x)) / 20] × 10

8.5 = (30 – 5 – x) / 2

17 = 25 – x => x = 8

(1) से, 8 + y = 15 => y = 7.

5. 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य संबंध को सत्यापित कीजिए (प्रश्न 2 और 3 के आँकड़ों का उपयोग करके – नोट: यह अलग-अलग डेटा के लिए काम नहीं करता, एक ही डेटा चाहिए)

प्रश्न: एक डेटा के लिए माध्य=27, बहुलक=24 है, माध्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य

3 माध्यक = 24 + 2(27)

3 माध्यक = 24 + 54 = 78

माध्यक = 78 / 3 = 26

अध्याय-15: प्रायिकता

मुख्य तथ्य

• प्रायिकता P(E): P(E) = (E के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल संभव परिणामों की संख्या)
• 0 ≤ P(E) ≤ 1
• पूरक घटना: P(E) + P(E नहीं) = 1
• निश्चित घटना की प्रायिकता = 1
• असंभव घटना की प्रायिकता = 0
• ताश के पत्ते (52):
  • 26 लाल (13 पान, 13 ईंट), 26 काले (13 हुकुम, 13 चिड़ी)
  • 12 तस्वीर वाले पत्ते (4 बादशाह, 4 बेगम, 4 गुलाम)
  • 4 इक्के (Ace)
• पासा (Dice): कुल परिणाम (1 फेंकने पर) = 6 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• दो पासे: कुल परिणाम = 36
• सिक्का (Coin): कुल परिणाम = 2 {H, T}

महत्वपूर्ण प्रश्न और हल

1. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। (i) एक अभाज्य संख्या, (ii) एक सम संख्या, प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

कुल परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6

(i) अभाज्य संख्या = {2, 3, 5} = 3

P(अभाज्य) = 3 / 6 = 1/2

(ii) सम संख्या = {2, 4, 6} = 3

P(सम) = 3 / 6 = 1/2

2. 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। (i) लाल रंग का बादशाह, (ii) एक तस्वीर वाला पत्ता (फेस कार्ड), की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

कुल परिणाम = 52

(i) लाल रंग के बादशाह = 2 (पान का, ईंट का)

P(लाल बादशाह) = 2 / 52 = 1 / 26

(ii) तस्वीर वाले पत्ते = 12 (4K, 4Q, 4J)

P(तस्वीर वाला पत्ता) = 12 / 52 = 3 / 13

3. एक बक्से में 3 नीली, 2 सफेद और 4 लाल कंचे हैं। एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता क्या है कि यह (i) सफेद है? (ii) नीला है? (iii) लाल नहीं है?

हल:

कुल कंचे = 3 + 2 + 4 = 9

(i) P(सफेद) = 2 / 9

(ii) P(नीला) = 3 / 9 = 1 / 3

(iii) P(लाल नहीं) = 1 – P(लाल) = 1 – (4 / 9) = 5 / 9

(या: P(लाल नहीं) = P(सफेद या नीला) = (2 + 3) / 9 = 5 / 9)

4. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर अक्षर {A, B, C, D, E, A} अंकित हैं। पासे को एक बार फेंका जाता है। (i) A प्राप्त हो, (ii) D प्राप्त हो, की प्रायिकता क्या है?

हल:

कुल परिणाम = 6

(i) A के अनुकूल परिणाम = 2

P(A) = 2 / 6 = 1 / 3

(ii) D के अनुकूल परिणाम = 1

P(D) = 1 / 6

5. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा? (ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?

हल:

कुल परिणाम = 6 × 6 = 36

(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा:

पहली फेंक में (5 नहीं) = 5 तरीके {1,2,3,4,6}

दूसरी फेंक में (5 नहीं) = 5 तरीके {1,2,3,4,6}

अनुकूल परिणाम = 5 × 5 = 25

P(5 नहीं आएगा) = 25 / 36

(ii) P(5 कम से कम एक बार) = 1 – P(5 नहीं आएगा)

= 1 – (25 / 36) = (36 – 25) / 36 = 11 / 36