अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण : MP Board 10th Mathematics Chapter 1.2 Repetition of Irrational Number

MP Board 10th Mathematics Chapter 1.2 Repetition of Irrational Number :

सिद्ध करें कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है

मान लीजिए कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ को दो पूर्णांकों $p$ और $q$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $q \neq 0$ और $p$ और $q$ का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है (अर्थात, भिन्न अपरिमेय रूप में है)।

इसलिए, हम लिख सकते हैं:

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

दोनों पक्षों को वर्ग करने पर:

$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$

$2 = \frac{p^2}{q^2}$

$p^2 = 2q^2$

यह समीकरण दर्शाता है कि $p^2$ एक सम संख्या है (क्योंकि यह 2 का गुणज है)। यदि $p^2$ सम है, तो $p$ भी सम होना चाहिए, क्योंकि किसी विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।

मान लें $p = 2k$ , जहाँ $k$ एक पूर्णांक है। इसे $p^2 = 2q^2$ में प्रतिस्थापित करें:

$(2k)^2 = 2q^2$

$4k^2 = 2q^2$

$q^2 = 2k^2$

यह दर्शाता है कि $q^2$ भी सम है, और इसलिए $q$ भी सम होना चाहिए।

अब, यदि $p$ और $q$ दोनों सम हैं, तो उनके पास कम से कम 2 का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारी प्रारंभिक धारणा के विपरीत है कि $p$ और $q$ का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

इसलिए, हमारी धारणा कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है, गलत है। अतः, $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

सिद्ध करें कि $\raggedright $\sqrt{3}$$ एक अपरिमेय संख्या है

मान लीजिए कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ को दो पूर्णांकों $p$ और $q$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $q \neq 0$ और $p$ और $q$ का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है (अर्थात, भिन्न अपरिमेय रूप में है)।

इसलिए, हम लिख सकते हैं:

$\sqrt{3} = \frac{p}{q}$

दोनों पक्षों को वर्ग करने पर:

$(\sqrt{3})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$

$3 = \frac{p^2}{q^2}$

$p^2 = 3q^2$

यह समीकरण दर्शाता है कि $p^2$ 3 का गुणज है। इसलिए, $p$ भी 3 का गुणज होना चाहिए (क्योंकि यदि $p$ 3 से विभाज्य नहीं है, तो $p^2$ भी 3 से विभाज्य नहीं होगा, जो कि समीकरण के विपरीत है)।

मान लें $p = 3k$ , जहाँ $k$ एक पूर्णांक है। इसे $p^2 = 3q^2$ में प्रतिस्थापित करें:

$(3k)^2 = 3q^2$

$9k^2 = 3q^2$

$q^2 = 3k^2$

यह दर्शाता है कि $q^2$ भी 3 का गुणज है, और इसलिए $q$ भी 3 का गुणज होना चाहिए।

अब, यदि $p$ और $q$ दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो उनके पास कम से कम 3 का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारी प्रारंभिक धारणा के विपरीत है कि $p$ और $q$ का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

इसलिए, हमारी धारणा कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है, गलत है। अतः, $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

यह साबित करें कि $\raggedright $5 - \sqrt{3}$$ एक अपरिमेय संख्या है

सिद्ध करने की प्रक्रिया:

मान लेते हैं कि $5 - \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। अर्थात् इसे $\frac{a}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $a$, $b$ परिमेय संख्याएँ हैं और $b \neq 0$ ।

पुनर्व्यवस्थित करें:

$\sqrt{3} = 5 - \frac{a}{b}$

$\sqrt{3} = \frac{5b - a}{b}$

चूंकि $5b - a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ हैं, तो $\frac{5b - a}{b}$ भी परिमेय संख्या होगी।

लेकिन $\sqrt{3}$ ज्ञात रूप से अपरिमेय संख्या है, जिससे विरोधाभास उत्पन्न होता है।

अतः हमारा प्रारंभिक अनुमान गलत था। इसलिए, $5 - \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्नावली 1.3

प्रश्न 1: $\raggedright सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।$

हम इसे विरोधाभास की विधि (contradiction method) से सिद्ध करेंगे।

मान लीजिए कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है, अर्थात इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ सहप्राइम हैं (अर्थात उनका महत्तम समापवर्तक 1 है) और $q \neq 0$ ।
$\sqrt{5} = \frac{p}{q}$
दोनों ओर स्क्वायर करते हैं:
$5 = \frac{p^2}{q^2}$
इससे मिलता है:
$p^2 = 5q^2$
इसका अर्थ है कि $p^2$ 5 से विभाजित है, जिससे $p$ भी 5 से विभाजित होगा। अतः हम $p = 5k$ लिख सकते हैं।
इसे उपरोक्त समीकरण में रखते हैं:
$(5k)^2 = 5q^2$

$25k^2 = 5q^2$

$q^2 = 5k^2$
इससे पता चलता है कि $q^2$ भी 5 से विभाजित है, अर्थात $q$ भी 5 से विभाजित होगा।
लेकिन $p$ और $q$ सहप्राइम थे, इसलिए दोनों 5 से विभाजित नहीं हो सकते। यह हमारी प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है।

इसलिए, हमारा मानना कि $\sqrt{5}$ परिमेय है, गलत सिद्ध हुआ। अतः $\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2: $\raggedright सिद्ध कीजिए कि $3 + 2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।$

मान लीजिए कि $3 + 2\sqrt{5}$ परिमेय संख्या है, यानी इसे $\frac{a}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$
इससे हमें मिलता है:
$2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$
$\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b}$
दाएँ पक्ष परिमेय संख्या है, लेकिन बाएँ पक्ष अपरिमेय ( $\sqrt{5}$ ) है, जिससे विरोधाभास उत्पन्न होता है।
इसलिए, $3 + 2\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 3: $\raggedright सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं।$

(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
– $\sqrt{2}$ पहले ही अपरिमेय सिद्ध किया जा चुका है।
– यदि कोई संख्या अपरिमेय है, तो उसका व्युत्क्रम भी अपरिमेय होगा।
– अतः $\frac{1}{\sqrt{2}}$ अपरिमेय है।
(ii) $7\sqrt{5}$
– $\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्या है।
– जब किसी अपरिमेय संख्या को गैर-शून्य परिमेय संख्या (जैसे 7) से गुणा किया जाता है, तो परिणाम भी अपरिमेय होता है।
– अतः $7\sqrt{5}$ अपरिमेय है।
(iii) $6 + \sqrt{2}$
– $\sqrt{2}$ अपरिमेय संख्या है।
– किसी अपरिमेय संख्या में किसी परिमेय संख्या को जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय ही होता है।
– अतः $6 + \sqrt{2}$ अपरिमेय है।

प्रश्नावली 1.4

प्रश्न 1: बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं।

हल:कोई भी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होगा यदि $q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। यदि $q$ में कोई अन्य अभाज्य संख्या (जैसे 3, 7, 11, 23 आदि) हो, तो उसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

अब प्रत्येक संख्या की जाँच करते हैं:

संख्या	भाजक $q$ के अभाज्य गुणनखंड	दशमलव प्रसार
$\frac{13}{3125}$	$5^5$	सांत
$\frac{17}{8}$	$2^3$	सांत
$\frac{64}{455}$	$5 \times 7 \times 13$	असांत आवर्ती
$\frac{15}{1600}$	$2^6 \times 5^2$	सांत
$\frac{29}{343}$	$7^3$	असांत आवर्ती
$\frac{23}{2^2 \times 3^5}$	$2^2 \times 3^5$	असांत आवर्ती
$\frac{6}{15}$	$3 \times 5$	असांत आवर्ती
$\frac{35}{50}$	$2 \times 5^2$	सांत
$\frac{77}{210}$	$2 \times 3 \times 5 \times 7$	असांत आवर्ती