MP Board 10th Linear Equation with Two Variables Question Bank अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म प्रश्न बैंक

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दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म :MP Board 10th Linear Equation with Two Variables Question Bank

स्मरणीय बिंदु :

  • वह समीकरण जिसको ax + by + c = 0 के रूप में रखा जा सकता है और a, b और c वास्तविक संख्याऐं हैं और a और b दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण कहलाता है |
  • दो चर वाले किसी रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल उसको निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित एक बिंदु होता है |
  • दो चरों वाले रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 का प्रत्येक हल (x, y) इस समीकरण को निरूपित करने वाली रेखा के एक बिंदु के संगत होता है और विलोमतः भी ऐसा होता है |

प्र.1 सही विकल्प चुनिए|

1. निम्नलिखित में से दो चरों में रैखिक समीकरण है :

(A) 2x^2+3y=5

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(B) 3x+4y^2=6

(C) 4x^2+5y^2=6

(D) 5x+6y=7

उत्तर: (D) 5x+6y=7

(स्पष्टीकरण: एक रैखिक समीकरण में चरों (x, y) की घात 1 होती है।)

2. यदि \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} तो रैखिक समीकरण युग्म a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 का

(A) एक अद्वितीय हल होगा |

(B) कोई हल नहीं होगा |

(C) अनन्तः अनेक हल होंगे |

(D) इनमें से कोई नहीं |

उत्तर: (A) एक अद्वितीय हल होगा |

3. यदि \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} तो रैखिक समीकरण युग्म a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 का

(A) एक अद्वितीय हल होगा |

(B) कोई हल नहीं होगा |

(C) अनन्तः अनेक हल होंगे |

(D) इनमें से कोई नहीं |

उत्तर: (B) कोई हल नहीं होगा |

4. यदि \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} तो रैखिक समीकरण युग्म a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 का

(A) एक अद्वितीय हल होगा |

(B) कोई हल नहीं होगा |

(C) अनन्तः अनेक हल होंगे |

(D) इनमें से कोई नहीं |

उत्तर: (C) अनन्तः अनेक हल होंगे |

5. रैखिक समीकरण युग्म a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 का एक अद्वितीय हल होने की शर्त है:

(A) \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

(B) \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}

(C) \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}

(D) इनमें से कोई नहीं |

उत्तर: (A) \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

6. रैखिक समीकरण युग्म a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 का कोई हल नहीं होने की शर्त है:

(A) \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

(B) \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}

(C) \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}

(D) इनमें से कोई नहीं |

उत्तर: (B) \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}

7. रैखिक समीकरण युग्म a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 के अनंत अनेक हल होने की शर्त है:

(A) \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

(B) \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}

(C) \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}

(D) इनमें से कोई नहीं |

उत्तर: (C) \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}

प्र.2 रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए।

  1. समीकरण 2x+3y=5 में यदि x=1 तो y = \text{......} होगा |
    • हल:2(1) + 3y = 5
    • 2 + 3y = 5
    • 3y = 5 - 2
    • 3y = 3
    • y = 1
    • उत्तर: 1
  2. वह समीकरण जिसको ax+by+c=0 के रूप में रखा जा सकता है, जहाँ a,b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a और b दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों x और y में एक \text{……} समीकरण कहलाता है |
    • उत्तर: रैखिक
  3. समीकरण 2x+y=k में यदि x=2, y=1 हो तो k का मान \text{……} होगा |
    • हल:2(2) + (1) = k
    • 4 + 1 = k
    • k = 5
    • उत्तर: 5

प्र.3 सत्य / असत्य लिखिये |

  1. दो चरों में एक रैखिक समीकरण के अनेक हल होते हैं |
    • उत्तर: सत्य (क्योंकि यह एक सीधी रेखा को निरूपित करता है, जिस पर अनंत बिंदु होते हैं।)
  2. रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल उसको निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित एक बिंदु होता है |
    • उत्तर: सत्य
  3. समीकरण निकाय 2x-3y=7 एवं 4x-6y=14 द्वारा निरूपित रेखाएँ प्रतिच्छेदी होंगी |
    • उत्तर: असत्य
    • (स्पष्टीकरण: यहाँ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}, और \frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} | चूँकि \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} है, इसलिए रेखाएँ संपाती (coincident) होंगी, प्रतिच्छेदी नहीं।)

प्र.4. सही जोड़ी मिलाइए:

स्तम्भ – अस्तम्भ – ब (सही उत्तर)
1. a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 का एक अद्वितीय हल(ii). \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
2. दो चरों में रैखिक समीकरण का व्यापक रूप(i). ax + by + c = 0
3. \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}(iii). a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 का कोई हल नहीं
4. a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a_2x+b_2y+c_2=0 में \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}(v). निकाय द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती
5. x+2y+3=0 में यदि x=0(iv). y = -\frac{3}{2} (हल: 0 + 2y + 3 = 0 \implies 2y = -3 \implies y = -\frac{3}{2})

प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिये।

  1. दो चरों में रैखिक समीकरण का मानक रूप लिखिए।
    उत्तर: ax + by + c = 0, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, और a और b दोनों शून्य नहीं हैं।
  2. रैखिक समीकरण y = mx + 3 में यदि x = -2, y = 5 हो तो m का क्या मान होगा?
    हल:
    5 = m(-2) + 3
    5 - 3 = -2m
    2 = -2m
    m = -1
    उत्तर: m = -1
  3. यदि दो संतरों और पांच सेबों का मूल्य Rs. 70 है, तो इस स्थिति को रैखिक समीकरण के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
    उत्तर: माना संतरे का मूल्य x और सेब का मूल्य y है।
    2x + 5y = 70

प्र.6 से प्र.30 तक के हल:

प्र.6. तीन बल्लों तथा छः गेंदों की कीमत 3900/-…
हल: माना एक बल्ले की कीमत x रु है और एक गेंद की कीमत y रु है।
(i) 3x + 6y = 3900
(ii) x + 3y = 1300

प्र.7. दो किलो सेब और एक किलो अंगूर का मूल्य 160/-…
हल: माना 1 किलो सेब का मूल्य x रु है और 1 किलो अंगूर का मूल्य y रु है।
(i) 2x + y = 160
(ii) 4x + 2y = 320

प्र.8. 5x-4y+8=0 तथा 4x-6y=9 द्वारा निरूपित रेखाएँ प्रतिच्छेदी, समान्तर या सम्पाती हैं।
हल:
\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{4}
\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}
चूँकि \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} है, इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं।

प्र.9. 2x-3y=8 तथा 4x-6y=9 समीकरणों के युग्म संगत है या असंगत।
हल:
\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}
\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{9} (समीकरणों को 2x-3y-8=0 और 4x-6y-9=0 लिखने पर)
चूँकि \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} है, इसलिए निकाय असंगत है (इसका कोई हल नहीं है)।

प्र.10. दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का एक उदाहरण लिखिए, जिसके द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर हों।
उत्तर: (हमें \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} की शर्त पूरी करनी है)
2x + 3y = 5
4x + 6y = 10 (यह संपाती होगा, \frac{5}{10} = \frac{1}{2})
सही उदाहरण:
2x + 3y = 5
4x + 6y = 12
(यहाँ \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \frac{5}{12}. अतः \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{12})

प्र.11. प्रतिस्थापन विधि से हल करें – s - t = 3 (1) और \frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6 (2)
हल:
समी. (1) से: s = 3 + t
इसे समी. (2) में रखने पर:
\frac{3+t}{3} + \frac{t}{2} = 6
(पूरी समी. को 6 से गुणा करने पर)
2(3+t) + 3t = 36
6 + 2t + 3t = 36
5t = 30 \implies t = 6
अब s = 3 + t \implies s = 3 + 6 = 9
उत्तर: s=9, t=6

प्र.12. प्रतिस्थापन विधि से हल करें – \sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 0 (1) और \sqrt{3}x - \sqrt{8}y = 0 (2)
हल:
समी. (1) से: \sqrt{2}x = -\sqrt{3}y \implies x = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}y
इसे समी. (2) में रखने पर:
\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}y) - \sqrt{8}y = 0
-\frac{3}{\sqrt{2}}y - \sqrt{8}y = 0
y(-\frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{8}) = 0
चूँकि (-\frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{8}) \neq 0, इसलिए y = 0
x = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}(0) \implies x = 0
उत्तर: x=0, y=0

प्र.13. विलोपन विधि से हल कीजिये – 3x+y=10 (1) और 2x-2y=2 (2)
हल:
समी. (1) को 2 से गुणा करने पर: 6x + 2y = 20 (3)
समी. (2) और (3) को जोड़ने पर:
(2x - 2y) + (6x + 2y) = 2 + 20
8x = 22 \implies x = \frac{22}{8} = \frac{11}{4}
x का मान समी. (1) में रखने पर:
3(\frac{11}{4}) + y = 10 \implies \frac{33}{4} + y = \frac{40}{4} \implies y = \frac{7}{4}
उत्तर: x = \frac{11}{4}, y = \frac{7}{4}

प्र.14. विलोपन विधि से हल कीजिये – \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 (1) और x - \frac{y}{3} = 3 (2)
हल:
समी. (1) को 6 से गुणा करने पर: 3x + 4y = -6 (3)
समी. (2) को 3 से गुणा करने पर: 3x - y = 9 (4)
समी. (3) में से (4) को घटाने पर:
(3x + 4y) - (3x - y) = -6 - 9
5y = -15 \implies y = -3
y का मान समी. (4) में रखने पर:
3x - (-3) = 9 \implies 3x + 3 = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2
उत्तर: x = 2, y = -3

प्र.15. विलोपन विधि से हल करें – x-3y-7=0 (1) और 3x-3y-15=0 (2)
हल:
समीकरणों को व्यवस्थित करने पर:
x - 3y = 7 (1)
3x - 3y = 15 (2)
समी. (2) में से (1) को घटाने पर:
(3x - 3y) - (x - 3y) = 15 - 7
2x = 8 \implies x = 4
x का मान समी. (1) में रखने पर:
4 - 3y = 7 \implies -3y = 3 \implies y = -1
उत्तर: x = 4, y = -1

प्र.16. हल करें – 3x-5y-4=0 (1) और 9x=2y+7 (2)
हल:
3x - 5y = 4 (1)
9x - 2y = 7 (2)
समी. (1) को 3 से गुणा करने पर: 9x - 15y = 12 (3)
समी. (2) में से (3) को घटाने पर:
(9x - 2y) - (9x - 15y) = 7 - 12
13y = -5 \implies y = -\frac{5}{13}
y का मान समी. (1) में रखने पर:
3x - 5(-\frac{5}{13}) = 4 \implies 3x + \frac{25}{13} = 4
3x = 4 - \frac{25}{13} = \frac{52-25}{13} = \frac{27}{13}
x = \frac{9}{13}
उत्तर: x = \frac{9}{13}, y = -\frac{5}{13}

प्र.17. x+3y=6 (1) और 2x-3y=12 (2) को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
हल:
समी. (1) से: x = 6 - 3y
इसे समी. (2) में रखने पर:
2(6 - 3y) - 3y = 12
12 - 6y - 3y = 12
-9y = 0 \implies y = 0
x = 6 - 3(0) \implies x = 6
उत्तर: x = 6, y = 0

प्र.18. x-2y=0 (1) और 3x+4y=20 (2) को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
हल:
समी. (1) से: x = 2y
इसे समी. (2) में रखने पर:
3(2y) + 4y = 20
6y + 4y = 20 \implies 10y = 20 \implies y = 2
x = 2(2) \implies x = 4
उत्तर: x = 4, y = 2

प्र.19. 7x-15y=2 (1) और x+2y=3 (2) को विलोपन विधि से हल कीजिए।
हल:
समी. (2) को 7 से गुणा करने पर: 7x + 14y = 21 (3)
समी. (3) में से (1) को घटाने पर:
(7x + 14y) - (7x - 15y) = 21 - 2
29y = 19 \implies y = \frac{19}{29}
y का मान समी. (2) में रखने पर:
x + 2(\frac{19}{29}) = 3 \implies x = 3 - \frac{38}{29} = \frac{87-38}{29} = \frac{49}{29}
उत्तर: x = \frac{49}{29}, y = \frac{19}{29}

प्र.20. 3x+5y-8=0 (1) और 9x=2y+7 (2) को विलोपन विधि से हल कीजिए।
हल:
3x + 5y = 8 (1)
9x - 2y = 7 (2)
समी. (1) को 3 से गुणा करने पर: 9x + 15y = 24 (3)
समी. (3) में से (2) को घटाने पर:
(9x + 15y) - (9x - 2y) = 24 - 7
17y = 17 \implies y = 1
y का मान समी. (2) में रखने पर:
9x - 2(1) = 7 \implies 9x = 9 \implies x = 1
उत्तर: x = 1, y = 1

प्र.21. x+y=14 (1) और x-y=4 (2) को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
हल:
समी. (2) से: x = 4 + y
इसे समी. (1) में रखने पर:
(4 + y) + y = 14
4 + 2y = 14 \implies 2y = 10 \implies y = 5
x = 4 + 5 \implies x = 9
उत्तर: x = 9, y = 5

प्र.22. 3x+4y=10 (1) और 2x-2y=2 (2) को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
हल:
समी. (2) से: 2x = 2 + 2y \implies x = 1 + y
इसे समी. (1) में रखने पर:
3(1 + y) + 4y = 10
3 + 3y + 4y = 10 \implies 7y = 7 \implies y = 1
x = 1 + 1 \implies x = 2
उत्तर: x = 2, y = 1

प्र.23. दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9:7 है… यदि प्रत्येक 2000 बचा लेता है…
हल:
माना आय 9x और 7x है।
माना व्यय (खर्च) 4y और 3y है।
बचत = आय – व्यय
9x - 4y = 2000 (1)
7x - 3y = 2000 (2)
समी. (1) को 3 से और समी. (2) को 4 से गुणा करने पर:
27x - 12y = 6000 (3)
28x - 12y = 8000 (4)
समी. (4) में से (3) को घटाने पर:
(28x - 12y) - (27x - 12y) = 8000 - 6000
x = 2000
x का मान समी. (1) में रखने पर:
9(2000) - 4y = 2000 \implies 18000 - 4y = 2000
16000 = 4y \implies y = 4000
मासिक आय:
व्यक्ति 1: 9x = 9(2000) = 18000 रु
व्यक्ति 2: 7x = 7(2000) = 14000 रु
उत्तर: उनकी मासिक आय Rs. 18000 और Rs. 14000 हैं।

प्र.24. ‘k’ के किस मान के लिए… अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
kx + 3y - (k-3) = 0
12x + ky - k = 0
हल:
शर्त: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}
\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k-3)}{-k}
(i) \frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = 6 या k = -6
(ii) \frac{3}{k} = \frac{k-3}{k} \implies 3k = k(k-3). यदि k \neq 0, तो 3 = k-3 \implies k = 6
दोनों शर्तों को k=6 संतुष्ट करता है।
(k=-6 जाँच: \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}, \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}, \frac{-6-3}{-6} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}. यहाँ -\frac{1}{2} \neq \frac{3}{2}, इसलिए k=-6 नहीं है।)
उत्तर: k = 6

प्र.25. 2x+3y=11 (1) और 2x-4y=-24 (2) को हल कीजिए और m का मान ज्ञात कीजिए… y=mx+3
हल:
समी. (1) में से (2) को घटाने पर:
(2x + 3y) - (2x - 4y) = 11 - (-24)
7y = 35 \implies y = 5
y का मान समी. (1) में रखने पर:
2x + 3(5) = 11 \implies 2x + 15 = 11 \implies 2x = -4 \implies x = -2
अब x = -2, y = 5 को y=mx+3 में रखने पर:
5 = m(-2) + 3
2 = -2m \implies m = -1
उत्तर: x = -2, y = 5, m = -1

प्र.26. दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है।
हल:
माना कोण x और y हैं (x > y)।
संपूरक (Supplementary): x + y = 180 (1)
x = y + 18 (2)
समी. (2) को (1) में रखने पर:
(y + 18) + y = 180
2y = 162 \implies y = 81
x = 81 + 18 \implies x = 99
उत्तर: कोण 99° और 81° हैं।

प्र.27. 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹3800 में… 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹1750 में…
हल:
माना बल्ले का मूल्य x रु और गेंद का मूल्य y रु है।
7x + 6y = 3800 (1)
3x + 5y = 1750 (2)
समी. (1) को 3 से और समी. (2) को 7 से गुणा करने पर:
21x + 18y = 11400 (3)
21x + 35y = 12250 (4)
समी. (4) में से (3) को घटाने पर:
17y = 850 \implies y = 50
y का मान समी. (2) में रखने पर:
3x + 5(50) = 1750 \implies 3x + 250 = 1750 \implies 3x = 1500 \implies x = 500
उत्तर: बल्ले का मूल्य = ₹500, गेंद का मूल्य = ₹50

प्र.28. दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों का अंतर 6 हो…
हल:
माना संख्या 10x + y है (x दहाई, y इकाई)।
उलटी संख्या: 10y + x
(i) (10x + y) + (10y + x) = 66 \implies 11x + 11y = 66 \implies x + y = 6 (1)
(ii) x - y = 6 (2) या y - x = 6 (3)
Case 1: समी. (1) और (2) को जोड़ने पर:
2x = 12 \implies x = 6
y = 6 - x \implies y = 0. संख्या = 60
Case 2: समी. (1) और (3) को जोड़ने पर:
2y = 12 \implies y = 6
x = 6 - y \implies x = 0. संख्या = 06 (यह दो अंकों की संख्या नहीं है)
उत्तर: संख्या 60 है। (ऐसी केवल एक संख्या है)।

प्र.29. p के किन मानों के लिए… अद्वितीय हल है: 4x + py + 8 = 0 और 2x + 2y + 2 = 0
हल:
शर्त: \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
\frac{4}{2} \neq \frac{p}{2}
2 \neq \frac{p}{2} \implies 4 \neq p
उत्तर: p के 4 के अतिरिक्त अन्य सभी वास्तविक मानों के लिए।

प्र.30. k के किन मानों के लिए… कोई हल नहीं है: 3x + y = 1 और (2k-1)x + (k-1)y = 2k+1
हल:
शर्त: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}
\frac{3}{2k-1} = \frac{1}{k-1} \neq \frac{1}{2k+1}
(i) \frac{3}{2k-1} = \frac{1}{k-1}
3(k-1) = 1(2k-1)
3k - 3 = 2k - 1 \implies k = 2
(ii) जाँच: \frac{1}{k-1} \neq \frac{1}{2k+1}
k=2 रखने पर: \frac{1}{2-1} \neq \frac{1}{2(2)+1} \implies 1 \neq \frac{1}{5} (शर्त सत्य है)
उत्तर: k = 2

प्र.31. 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य Rs. 50 है…

हल:
माना 1 पेंसिल का मूल्य x रु है।
माना 1 कलम का मूल्य y रु है।
(i) 5x + 7y = 50
(ii) 7x + 5y = 46
समी. (i) को 7 से और समी. (ii) को 5 से गुणा करने पर:
(iii) 35x + 49y = 350
(iv) 35x + 25y = 230
समी. (iii) में से (iv) को घटाने पर:
24y = 120 \implies y = 5
y का मान समी. (i) में रखने पर:
5x + 7(5) = 50 \implies 5x + 35 = 50 \implies 5x = 15 \implies x = 3
उत्तर: 1 पेंसिल का मूल्य = ₹3, 1 कलम का मूल्य = ₹5.

प्र.32. 5 संतरों और 3 सेबों का मूल्य Rs. 35 है…

हल:
माना 1 संतरे का मूल्य x रु है।
माना 1 सेब का मूल्य y रु है।
(i) 5x + 3y = 35
(ii) 2x + 4y = 28 \implies x + 2y = 14 \implies x = 14 - 2y
x का मान समी. (i) में रखने पर (प्रतिस्थापन विधि):
5(14 - 2y) + 3y = 35
70 - 10y + 3y = 35
70 - 7y = 35 \implies 7y = 35 \implies y = 5
x = 14 - 2(5) = 14 - 10 = 4
उत्तर: 1 संतरे का मूल्य = ₹4, 1 सेब का मूल्य = ₹5.

प्र.33. पांच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी…

हल:
माना नूरी की वर्तमान आयु x वर्ष है।
माना सोनू की वर्तमान आयु y वर्ष है।
(i) पांच वर्ष पूर्व:
(x - 5) = 3(y - 5) \implies x - 5 = 3y - 15 \implies x - 3y = -10
(ii) दस वर्ष पश्चात:
(x + 10) = 2(y + 10) \implies x + 10 = 2y + 20 \implies x - 2y = 10
समी. (ii) में से (i) को घटाने पर:
(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)
y = 20
y का मान समी. (ii) में रखने पर:
x - 2(20) = 10 \implies x - 40 = 10 \implies x = 50
उत्तर: नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष, सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष।

प्र.34. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है।

हल:
माना संख्याएँ x और y हैं (x > y)।
(i) x - y = 26
(ii) x = 3y
x का मान समी. (i) में रखने पर:
(3y) - y = 26 \implies 2y = 26 \implies y = 13
x = 3(13) = 39
उत्तर: संख्याएँ 39 और 13 हैं।

प्र.35. एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से एक घटाया जाये…

हल:
माना भिन्न \frac{x}{y} है।
(i) \frac{x - 1}{y} = \frac{1}{3} \implies 3(x - 1) = y \implies 3x - 3 = y
(ii) \frac{x}{y + 8} = \frac{1}{4} \implies 4x = y + 8
समी. (i) से y का मान समी. (ii) में रखने पर:
4x = (3x - 3) + 8
4x = 3x + 5 \implies x = 5
y = 3(5) - 3 = 15 - 3 = 12
उत्तर: वह भिन्न \frac{5}{12} है।

प्र.36. दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना…

हल:
माना दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है।
संख्या = 10x + y
अंकों को पलटने पर बनी संख्या = 10y + x
(i) x + y = 9 \implies y = 9 - x
(ii) 9(10x + y) = 2(10y + x)
90x + 9y = 20y + 2x
88x = 11y \implies 8x = y
y का मान y = 9 - x रखने पर:
8x = 9 - x \implies 9x = 9 \implies x = 1
y = 8(1) = 8
उत्तर: वह संख्या 10(1) + 8 = 18 है।

प्र.37. एक नाव दस घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 किमी…

हल:
माना नाव की स्थिर पानी में चाल x किमी/घंटा है।
माना धारा की चाल y किमी/घंटा है।
अनुकूल चाल = x + y
प्रतिकूल चाल = x - y
(समय = दूरी / चाल)
(i) \frac{30}{x - y} + \frac{44}{x + y} = 10
(ii) \frac{40}{x - y} + \frac{55}{x + y} = 13
माना p = \frac{1}{x - y} और q = \frac{1}{x + y}
(iii) 30p + 44q = 10
(iv) 40p + 55q = 13
समी. (iii) को 4 से और समी. (iv) को 3 से गुणा करने पर:
120p + 176q = 40
120p + 165q = 39
घटाने पर: 11q = 1 \implies q = \frac{1}{11}
q का मान (iii) में रखने पर: 30p + 44(\frac{1}{11}) = 10 \implies 30p + 4 = 10 \implies 30p = 6 \implies p = \frac{1}{5}
p = \frac{1}{x - y} = \frac{1}{5} \implies x - y = 5
q = \frac{1}{x + y} = \frac{1}{11} \implies x + y = 11
दोनों को जोड़ने पर: 2x = 16 \implies x = 8
y = 11 - x = 11 - 8 = 3
उत्तर: नाव की स्थिर पानी में चाल = 8 किमी/घंटा, धारा की चाल = 3 किमी/घंटा।

प्र.38. ऋतु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 किमी तैर सकती है…

हल:
माना ऋतु की स्थिर जल में तैरने की चाल x किमी/घंटा है।
माना धारा की चाल y किमी/घंटा है।
(चाल = दूरी / समय)
(i) अनुकूल: x + y = \frac{20}{2} = 10
(ii) प्रतिकूल: x - y = \frac{4}{2} = 2
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
2x = 12 \implies x = 6
y = 10 - x = 10 - 6 = 4
उत्तर: स्थिर जल में तैरने की चाल = 6 किमी/घंटा, धारा की चाल = 4 किमी/घंटा।

प्र.39. हल करें: \frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} = 2 …

हल:
माना p = \frac{1}{x} और q = \frac{1}{y}
(i) \frac{p}{2} + \frac{q}{3} = 2 \implies 3p + 2q = 12
(ii) \frac{p}{3} + \frac{q}{2} = \frac{13}{6} \implies 2p + 3q = 13
समी. (i) को 2 से और (ii) को 3 से गुणा करने पर:
6p + 4q = 24
6p + 9q = 39
घटाने पर: -5q = -15 \implies q = 3
3p + 2(3) = 12 \implies 3p + 6 = 12 \implies 3p = 6 \implies p = 2
p = \frac{1}{x} = 2 \implies x = \frac{1}{2}
q = \frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}
उत्तर: x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{3}

प्र.40. हल करें: \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} = 2 …

हल:
माना p = \frac{1}{\sqrt{x}} और q = \frac{1}{\sqrt{y}}
(i) 2p + 3q = 2
(ii) 4p - 9q = -1
समी. (i) को 2 से गुणा करने पर: 4p + 6q = 4
इसमें से समी. (ii) घटाने पर: (4p + 6q) - (4p - 9q) = 4 - (-1)
15q = 5 \implies q = \frac{1}{3}
2p + 3(\frac{1}{3}) = 2 \implies 2p + 1 = 2 \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2}
p = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4
q = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{y} = 3 \implies y = 9
उत्तर: x = 4, y = 9

प्र.41. हल करें: 6x + 3y = 6xy , 2x + 4y = 5xy

हल:
दोनों समीकरणों को xy से भाग देने पर:
(i) \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 6
(ii) \frac{2}{y} + \frac{4}{x} = 5
माना p = \frac{1}{x} और q = \frac{1}{y}
(iii) 3p + 6q = 6 \implies p + 2q = 2
(iv) 4p + 2q = 5
समी. (iv) में से (iii) घटाने पर:
3p = 3 \implies p = 1
1 + 2q = 2 \implies 2q = 1 \implies q = \frac{1}{2}
p = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1
q = \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2
उत्तर: x = 1, y = 2

प्र.42. विलोपन विधि से हल करें: \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 …

हल:
(i) \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 \implies (6 से गुणा करने पर) \implies 3x + 4y = -6
(ii) x - \frac{y}{3} = 3 \implies (3 से गुणा करने पर) \implies 3x - y = 9
समी. (i) में से (ii) घटाने पर:
(3x + 4y) - (3x - y) = -6 - 9
5y = -15 \implies y = -3
y का मान (ii) में रखने पर: 3x - (-3) = 9 \implies 3x + 3 = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2
उत्तर: x = 2, y = -3

प्र.43. प्रतिस्थापन विधि से हल करें: 0.2x + 0.3y = 1.3 …

हल:
समीकरणों को 10 से गुणा करने पर:
(i) 2x + 3y = 13
(ii) 4x + 5y = 23
समी. (i) से: 2x = 13 - 3y \implies x = \frac{13 - 3y}{2}
x का मान समी. (ii) में रखने पर:
4(\frac{13 - 3y}{2}) + 5y = 23
2(13 - 3y) + 5y = 23
26 - 6y + 5y = 23
26 - y = 23 \implies y = 3
x = \frac{13 - 3(3)}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2
उत्तर: x = 2, y = 3

प्र.44. हल करें: \frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2 …

हल:
(i) \frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2 \implies (6 से गुणा करने पर) \implies 9x - 10y = -12
(ii) \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6} \implies (6 से गुणा करने पर) \implies 2x + 3y = 13
समी. (i) को 3 से और (ii) को 10 से गुणा करने पर:
27x - 30y = -36
20x + 30y = 130
दोनों को जोड़ने पर: 47x = 94 \implies x = 2
x का मान (ii) में रखने पर: 2(2) + 3y = 13 \implies 4 + 3y = 13 \implies 3y = 9 \implies y = 3
उत्तर: x = 2, y = 3

प्र.45. रोमिला… 2 पेंसिल तथा 3 रबड़ खरीदीं…

हल:
माना 1 पेंसिल का मूल्य x रु है और 1 रबड़ का मूल्य y रु है।

बीजगणितीय रूप:

रोमिला: 2x + 3y = 9

सोनाली: 4x + 6y = 18

ज्यामितीय (ग्राफीय) रूप:
यहाँ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\frac{c_1}{c_2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}
चूँकि \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} है, इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती (Coincident) हैं।

प्र.46. दो रेल की पटरियाँ, समीकरणों x+2y-4=0 और 2x+4y-12=0 द्वारा निरूपित की गई हैं।

हल:

ज्यामितीय रूप:
a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -4
a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = -12
\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}
\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}
चूँकि \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} है, इसलिए दोनों रेखाएँ (पटरियाँ) समान्तर (Parallel) हैं।

प्र.47. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था…’

हल:
माना आफ़ताब की वर्तमान आयु x वर्ष है।
माना उसकी पुत्री की वर्तमान आयु y वर्ष है।

बीजगणितीय रूप:

(i) सात वर्ष पूर्व: (x - 7) = 7(y - 7) \implies x - 7 = 7y - 49 \implies x - 7y = -42

(ii) अब से 3 वर्ष बाद: (x + 3) = 3(y + 3) \implies x + 3 = 3y + 9 \implies x - 3y = 6

ज्यामितीय (ग्राफीय) रूप:
यहाँ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1 और \frac{b_1}{b_2} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}
चूँकि \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} है, इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेदी (Intersecting) हैं।

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