MP Board 10th Coordinate Geometry Question Bank अध्याय-7: निर्देशांक ज्यामिति प्रश्न बैंक

MP Board 10th Coordinate Geometry Question Bank : अध्याय-7: निर्देशांक ज्यामिति प्रश्न बैंक

अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति

स्मरणीय बिंदु

किसी बिन्दु की $y$ -अक्ष से दूरी उस बिन्दु का $x$ -निर्देशांक या भुज कहलाती है। किसी बिन्दु की $x$ -अक्ष से दूरी उस बिन्दु का $y$ -निर्देशांक या कोटि कहलाती है।
दो बिन्दुओं $P(x_1, y_1)$ तथा $Q(x_2, y_2)$ के बीच दूरी:
$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
दो बिन्दुओं $A(x_1, y_1)$ तथा $B(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को $m_1:m_2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु $P(x, y)$ के निर्देशांक:
$P(x, y) = \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right)$
रेखाखण्ड $AB$ के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक:
$(x, y) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ तथा $(x_3, y_3)$ हैं तो उसके केन्द्रक के निर्देशांक:
$\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$

प्र.1 सही विकल्प चुनिए

1. मूल बिन्दु के निर्देशांक हैं:
(a) $(x, y)$ (b) $(x, 0)$ (c) $(0, y)$ (d) $(0, 0)$

हल: (d) $(0, 0)$

2. $x$ -अक्ष पर स्थित मूल बिन्दु से 4 इकाई की दूरी पर स्थित एक बिन्दु के निर्देशांक होंगें:
(a) $(0, 4)$ (b) $(4, 0)$ (c) $(0, -4)$ (d) $(0, 0)$

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हल: $x$ -अक्ष पर $y$ -निर्देशांक 0 होता है, अतः बिन्दु $(4, 0)$ या $(-4, 0)$ होगा। दिए गए विकल्पों में (b) $(4, 0)$ सही है।

3. बिन्दुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी होगी:
(a) $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
(b) $AB = \sqrt{(x_2 + x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
(c) $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 + y_1)^2}$
(d) $AB = \sqrt{(x_2 + x_1)^2 + (y_2 + y_1)^2}$

हल: (a) $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (यह मानक दूरी सूत्र है।)

4. बिन्दु (8, 6) और (0, 0) के बीच की दूरी होगी:
(a) $4\sqrt{2}$ (b) 10 (c) $\sqrt{10}$ (d) $\sqrt{14}$

हल: दूरी = $\sqrt{(8-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ .
सही विकल्प: (b) 10

5. बिन्दुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को मिलाने वाली रेखा के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक होंगें:
(a) $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
(b) $\left(\frac{x_1 - x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
(c) $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2}\right)$
(d) $\left(\frac{x_1 - x_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2}\right)$

हल: (a) $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ (यह मध्य-बिन्दु सूत्र है।)

6. बिन्दुओं $A(1, 2)$ और $B(3, 4)$ को मिलाने वाली रेखा के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक होंगें:
(a) (2, 3) (b) (3, 2) (c) (0, 0) (d) (4, 4)

हल: $x = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ ; $y = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ .
सही विकल्प: (a) (2, 3)

7. यदि किसी बिन्दु P के निर्देशांक $(x, y)$ हैं तो $x$ को क्या कहते हैं?
(a) P का भुज (b) P की कोटि (c) $y$ के निर्देशांक (d) इनमें से कोई नहीं

हल: $x$ -निर्देशांक को भुज कहते हैं।
सही विकल्प: (a) P का भुज

8. बिन्दु A (2, 3) की $Y$ – अक्ष से दूरी है:
(a) 2 (b) 3 (c) 1 (d) 5

हल: $y$ -अक्ष से दूरी $x$ -निर्देशांक (भुज) के बराबर होती है।
सही विकल्प: (a) 2

9. बिन्दुओं A (0, 6) और B (0, 2) के बीच की दूरी है:
(a) 6 (b) 8 (c) 4 (d) 2

हल: दूरी = $\sqrt{(0-0)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{0 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ .
सही विकल्प: (c) 4

10. बिन्दु $(-4, -7)$ किस चतुर्थांश में स्थित है?
(a) प्रथम (b) द्वितीय (c) तृतीय (d) चतुर्थ

हल: $(-,-)$ निर्देशांक तृतीय चतुर्थांश में होते हैं।
सही विकल्प: (c) तृतीय

11. बिन्दुओं $(0, 7)$ और $(-7, 0)$ के बीच की दूरी है।
(a) 7 (b) $7\sqrt{2}$ (c) $2\sqrt{7}$ (d) 14

हल: दूरी = $\sqrt{(-7-0)^2 + (0-7)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{2 \times 49} = 7\sqrt{2}$ .
सही विकल्प: (b) $7\sqrt{2}$

12. बिन्दु $P(2, 3)$ की $x$ – अक्ष से दूरी है:
(a) 2 (b) 3 (c) 1 (d) 5

हल: $x$ -अक्ष से दूरी $y$ -निर्देशांक (कोटि) के बराबर होती है।
सही विकल्प: (b) 3

13. $y$ – अक्ष पर प्रत्येक बिन्दु का $x$ – निर्देशांक होता है:
(a) 2 (b) 0 (c) 1 (d) इनमें से कोई नहीं

हल: $y$ -अक्ष पर $x$ -निर्देशांक हमेशा 0 होता है।
सही विकल्प: (b) 0

प्र.2 रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिये

एक वृत्त के व्यास के सिरों के निर्देशांक और हैं। तब उसके केंद्र के निर्देशांक (0, 0) होंगें।
- हल: केंद्र व्यास का मध्य-बिन्दु होता है: $x = \frac{-3+3}{2} = 0$ ; $y = \frac{4+(-4)}{2} = 0$ .
बिन्दु (4, 5) प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
यदि एक बिन्दु का $y$ -निर्देशांक 0 है तब वह $x$ -अक्ष पर स्थित होगा।
$x$ -अक्ष और $y$ -अक्ष का प्रतिच्छेद बिन्दु मूल बिन्दु कहलाता है।
बिन्दु $(-2, 3)$ में कोटि 3 है।
बिन्दु $(-4, 5)$ में भुज -4 है।
किसी त्रिभुज के शीर्ष (4, 3), (2, -3) तथा (-3, 6) हैं। उसके केन्द्रक के निर्देशांक (1, 2) होंगें।
- हल: $x = \frac{4+2+(-3)}{3} = \frac{3}{3} = 1$ ; $y = \frac{3+(-3)+6}{3} = \frac{6}{3} = 2$ .
यदि एक बिन्दु का $x$ निर्देशांक 0 है तब वह $y$ -अक्ष पर स्थित होगा।
बिन्दु $(-5, -4)$ तृतीय चतुर्थांश में है।

प्र.3 सही जोड़ी बनाइये

स्तम्भ – अ	स्तम्भ – ब	सही जोड़ी
I. $x$ – अक्ष पर बिन्दु के निर्देशांक	(a) चतुर्थ	(d) $(x, 0)$
II. $y$ – अक्ष पर बिन्दु के निर्देशांक	(b) $(0, 0)$	(e) $(0, y)$
III. बिन्दु $(3, -4)$ वाला चतुर्थांश है	(c) $\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$	(a) चतुर्थ
IV. मूलबिन्दु के निर्देशांक	(d) $(x, 0)$	(b) $(0, 0)$
V. बिन्दु $(x_1, y_1)$ की मूल बिन्दु से दूरी	(e) $(0, y)$	(c) $\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

प्र.4 एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए

1. बिन्दु A(3, 4) की मूलबिन्दु से दूरी क्या होगी?

उत्तर: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$

2. बिन्दु A(-1, 2) और B(3, -4) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक क्या होंगें?

उत्तर: $x = \frac{-1+3}{2} = 1$ ; $y = \frac{2+(-4)}{2} = -1$ . (1, -1)

3. बिन्दुओं (-3, 4) और (2, 3) के बीच की दूरी क्या होगी?

उत्तर: $\sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \mathbf{\sqrt{26}}$

4. बिन्दु A (-3, -4) की मूलबिन्दु से दूरी क्या होगी?

उत्तर: $\sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$

5. बिन्दु A (1, 2) और B (3, 4) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक क्या होंगें?

उत्तर: $x = \frac{1+3}{2} = 2$ ; $y = \frac{2+4}{2} = 3$ . (2, 3)

6. किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (4, 3), (2, -3) तथा (-3, 5) है, उसके केन्द्रक निर्देशांक क्या होंगे?

उत्तर: $x = \frac{4+2+(-3)}{3} = \frac{3}{3} = 1$ ; $y = \frac{3+(-3)+5}{3} = \frac{5}{3}$ . $(1, \frac{5}{3})$

7. मूलबिन्दु से बिन्दु $(x, y)$ की दूरी लिखो।

उत्तर: $\mathbf{\sqrt{x^2 + y^2}}$

8. यदि त्रिभुज के शीर्ष निर्देशांक $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ तथा $(x_3, y_3)$ हैं तो उसके केन्द्रक के निर्देशांक क्या होंगें?

उत्तर: $\mathbf{\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)}$

9. मूल बिन्दु के निर्देशांक क्या हैं?

उत्तर: (0, 0)

प्र.5 सत्य / असत्य लिखिए

किसी बिन्दु का भुज शून्य है और कोटि 3 है तब वह $x$ -अक्ष पर स्थित होगा। (असत्य) (वह $y$ -अक्ष पर स्थित होगा)
$y$ -अक्ष पर मूलबिन्दु से 10 इकाई दूरी पर स्थित बिन्दु के निर्देशांक (10, 0) होंगें। (असत्य) (निर्देशांक $(0, 10)$ या $(0, -10)$ होंगे)
बिन्दु $P(x, y)$ की मूलबिन्दु से दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ होती है। (सत्य)
$y$ -अक्ष पर स्थित बिन्दु के निर्देशांक $(0, y)$ रूप के होते हैं। (सत्य)
बिन्दु (1, 5) प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा। (सत्य)
यदि किसी बिन्दु P के निर्देशांक (2, 5) हों तो 5 को P का भुज कहते हैं। (असत्य) (5 कोटि है, 2 भुज है)
मूल बिन्दु से बिन्दु $(x, y)$ की $\sqrt{x^2 + y^2}$ दूरी है। (सत्य)
किसी बिन्दु का भुज शून्य है, तब वह $x$ -अक्ष पर स्थित होगा। (असत्य) (वह $y$ -अक्ष पर स्थित होगा)
किसी बिन्दु की कोटि शून्य है, तब वह $y$ -अक्ष पर स्थित होगा। (असत्य) (वह $x$ -अक्ष पर स्थित होगा)
मूलबिन्दु के निर्देशांक (0, 0) हैं। (सत्य)
बिन्दु (-8, 6) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होगा। (सत्य)
किसी बिन्दु की कोटि शून्य है तब वह $x$ -अक्ष पर स्थित होगा। (सत्य)
किसी बिन्दु की भुज शून्य है, तब $y$ -वह अक्ष पर स्थित होगा। (सत्य)

प्र.6. बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिये।

हल: दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$d = \sqrt{(36 - 0)^2 + (15 - 0)^2}$
$d = \sqrt{36^2 + 15^2}$
$d = \sqrt{1296 + 225}$
$d = \sqrt{1521}$
$d = \mathbf{39}$
उत्तर: 39

प्र.7. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल: विभाजन सूत्र $P(x, y) = \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right)$ का उपयोग करने पर:
यहाँ $(x_1, y_1) = (-1, 7)$ , $(x_2, y_2) = (4, -3)$ , $m_1 = 2$ , $m_2 = 3$
$x = \frac{2(4) + 3(-1)}{2 + 3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1$
$y = \frac{2(-3) + 3(7)}{2 + 3} = \frac{-6 + 21}{5} = \frac{15}{5} = 3$
उत्तर: बिन्दु (1, 3) है।

प्र.8. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये जो बिन्दुओं (2, 5) और (-5, -2) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 3 : 4 अनुपात में विभाजित करता है।

हल: विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
यहाँ $(x_1, y_1) = (2, 5)$ , $(x_2, y_2) = (-5, -2)$ , $m_1 = 3$ , $m_2 = 4$
$x = \frac{3(-5) + 4(2)}{3 + 4} = \frac{-15 + 8}{7} = \frac{-7}{7} = -1$
$y = \frac{3(-2) + 4(5)}{3 + 4} = \frac{-6 + 20}{7} = \frac{14}{7} = 2$
उत्तर: बिन्दु (-1, 2) है।

प्र.9. त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिये जिसके शीर्ष (1, 4), (-1, -1), (3, -2) हैं।

हल: केन्द्रक सूत्र $G(x, y) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{1 + (-1) + 3}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{4 + (-1) + (-2)}{3} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$
उत्तर: केन्द्रक (1, 1/3) है।

प्र.10. वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिये यदि उसके व्यास के सिरे के निर्देशांक (-3, 4) एवं (-5, 6) हैं।

हल: वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है।
मध्य-बिंदु सूत्र $(x, y) = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 + (-5)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$y = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
उत्तर: केन्द्र (-4, 5) है।

प्र.11. किसी रेखाखण्ड के मध्यबिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये यदि उसके सिरे के निर्देशांक (-9, 8) एवं (5, -7) हैं।

हल: मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$y = \frac{8 + (-7)}{2} = \frac{1}{2}$
उत्तर: मध्य-बिन्दु (-2, 1/2) है।

प्र.12. बिन्दुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: $d = \sqrt{(4-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \mathbf{2\sqrt{2}}$
उत्तर: $2\sqrt{2}$

प्र.13. बिन्दुओं (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: $d = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \mathbf{4\sqrt{2}}$
उत्तर: $4\sqrt{2}$

प्र.14. बिन्दुओं $(a, b)$ और $(-a, -b)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: $d = \sqrt{(-a - a)^2 + (-b - b)^2} = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = \mathbf{2\sqrt{a^2 + b^2}}$
उत्तर: $2\sqrt{a^2 + b^2}$

प्र.15. $x$ और $y$ में एक संबंध ज्ञात कीजिए, ताकि बिन्दु $(x, y)$ बिन्दुओं (7, 1) और (3, 5) से समदूरस्थ हो।

हल: $PA = PB \implies PA^2 = PB^2$
$(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2$
$x^2 - 14x + 49 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$
$-14x - 2y + 50 = -6x - 10y + 34$
$-14x + 6x - 2y + 10y = 34 - 50$
$-8x + 8y = -16$
$x - y = 2$ (दोनों पक्षों को -8 से भाग देने पर)
उत्तर: $x - y = 2$

प्र.16. $x$ और $y$ में एक संबंध ज्ञात कीजिए, ताकि बिन्दु $(x, y)$ बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।

हल: $PA = PB \implies PA^2 = PB^2$
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x - (-3))^2 + (y - 4)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
$-6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25$
$45 - 25 = 6x + 6x - 8y + 12y$
$20 = 12x + 4y$
$5 = 3x + y$ (दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर)
उत्तर: $3x + y = 5$

प्र.17. क्या बिन्दु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं? यदि हाँ, तो बताइये कि किस प्रकार का त्रिभुज बनता है।

हल: $A=(3, 2), B=(-2, -3), C=(2, 3)$
$AB = \sqrt{(-2-3)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50}$
$BC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52}$
$AC = \sqrt{(2-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
चूँकि $AB + AC \neq BC$ ( $\sqrt{50} + \sqrt{2} \neq \sqrt{52}$ ), बिन्दु संरेख नहीं हैं, अतः वे त्रिभुज बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय की जाँच: $AB^2 + AC^2 = (\sqrt{50})^2 + (\sqrt{2})^2 = 50 + 2 = 52$
$BC^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$
चूँकि $AB^2 + AC^2 = BC^2$ है।
उत्तर: हाँ, यह एक समकोण त्रिभुज है।

प्र.18. जांच कीजिये कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल: $A=(5, -2), B=(6, 4), C=(7, -2)$
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37}$
$BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37}$
$AC = \sqrt{(7-5)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$
चूँकि $AB = BC$ है।
उत्तर: हाँ, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्र.19. यदि बिन्दु $A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4)$ और $D(p, 3)$ एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (Midpoint of $AC$ = Midpoint of $BD$ )
$AC$ का मध्य-बिन्दु: $(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}) = (\frac{15}{2}, \frac{5}{2})$
$BD$ का मध्य-बिन्दु: $(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}) = (\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2})$
$x$ -निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{15}{2} = \frac{8+p}{2} \implies 15 = 8 + p \implies p = 7$
उत्तर: $p = 7$

प्र.20. वह अनुपात ज्ञात कीजिये जिसमें बिन्दुओं A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड $x$ -अक्ष से विभाजित होता है।

हल: $x$ -अक्ष पर $y$ -निर्देशांक 0 होता है। माना अनुपात $m_1:m_2$ है।
$y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} = 0$
$0 = \frac{m_1(5) + m_2(-5)}{m_1 + m_2}$
$0 = 5m_1 - 5m_2 \implies 5m_1 = 5m_2 \implies \frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{1}$
उत्तर: अनुपात 1:1 है।

प्र.21. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिये जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है। जिसका केन्द्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

हल: केंद्र (O) व्यास (AB) का मध्य-बिंदु होता है। माना $A = (x, y)$
$x_O = \frac{x_A + x_B}{2} \implies 2 = \frac{x + 1}{2} \implies 4 = x + 1 \implies x = 3$
$y_O = \frac{y_A + y_B}{2} \implies -3 = \frac{y + 4}{2} \implies -6 = y + 4 \implies y = -10$
उत्तर: A = (3, -10)

प्र.22. $y$ का वह मान ज्ञात कीजिये जिसके लिये बिन्दु P(2, -3) और Q(10, $y$ ) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।

हल: $PQ^2 = 10^2 = 100$
$(10 - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 100$
$8^2 + (y + 3)^2 = 100$
$64 + (y + 3)^2 = 100$
$(y + 3)^2 = 36 \implies y + 3 = \pm 6$
$y = 6 - 3 = 3$ या $y = -6 - 3 = -9$
उत्तर: $y = 3$ या $y = -9$

प्र.23. यदि बिन्दु C(1, -2) रेखाखण्ड A(2, 5) तथा B को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 3 : 4 में विभाजित करता है, तो B के निर्देशांक ज्ञात करो।

हल: यहाँ C विभाजक बिंदु है। $A=(x_1, y_1) = (2, 5)$ , $C=(x, y) = (1, -2)$ , $m_1=3, m_2=4$ . माना $B=(x_2, y_2)$
$x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2} \implies 1 = \frac{3(x_2) + 4(2)}{3 + 4}$
$7 = 3x_2 + 8 \implies 3x_2 = -1 \implies x_2 = -1/3$
$y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \implies -2 = \frac{3(y_2) + 4(5)}{3 + 4}$
$-14 = 3y_2 + 20 \implies 3y_2 = -34 \implies y_2 = -34/3$
उत्तर: B = (-1/3, -34/3)

प्र.24. बिन्दुओं A(2, -2) और B(-7, 4) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिये।

हल: समत्रिभाजित (Trisect) करने वाले बिंदु (1:2) और (2:1) होते हैं।
- बिंदु P (अनुपात 1:2):
  $x_P = \frac{1(-7) + 2(2)}{1 + 2} = \frac{-7 + 4}{3} = \frac{-3}{3} = -1$
  $y_P = \frac{1(4) + 2(-2)}{1 + 2} = \frac{4 - 4}{3} = 0$
- बिंदु Q (अनुपात 2:1):
  $x_Q = \frac{2(-7) + 1(2)}{2 + 1} = \frac{-14 + 2}{3} = \frac{-12}{3} = -4$
  $y_Q = \frac{2(4) + 1(-2)}{2 + 1} = \frac{8 - 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$
उत्तर: (-1, 0) और (-4, 2)

प्र.25. बिन्दुओं A(-2, 2) तथा B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिये।

हल: हमें 3 बिंदु ज्ञात करने हैं। का मध्य-बिंदु होगा। का मध्य-बिंदु होगा। का मध्य-बिंदु होगा।
- Q (AB का मध्य-बिंदु): $x = \frac{-2+2}{2} = 0$ , $y = \frac{2+8}{2} = 5$ . Q = (0, 5)
- P (AQ का मध्य-बिंदु): $x = \frac{-2+0}{2} = -1$ , $y = \frac{2+5}{2} = \frac{7}{2}$ . P = (-1, 3.5)
- R (QB का मध्य-बिंदु): $x = \frac{0+2}{2} = 1$ , $y = \frac{5+8}{2} = \frac{13}{2}$ . R = (1, 6.5)
उत्तर: (-1, 3.5), (0, 5) और (1, 6.5)

प्र.26. यदि बिन्दु A(-2, -1), B(1, 0), C( $x$ , 3) तथा D(1, $y$ ) समांतर चतुर्भुज के निर्देशांक हों तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिये।

हल: Midpoint of $AC$ = Midpoint of $BD$
$AC$ का मध्य-बिन्दु: $(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+3}{2}) = (\frac{x-2}{2}, 1)$
$BD$ का मध्य-बिन्दु: $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+y}{2}) = (1, \frac{y}{2})$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{x-2}{2} = 1 \implies x-2 = 2 \implies x = 4$
$1 = \frac{y}{2} \implies y = 2$
उत्तर: $x = 4, y = 2$

प्र.27. $y$ -अक्ष के किसी बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करो जो बिन्दु A(6, 5) तथा B(-4, 3) से समदूरस्थ हो।

हल: $y$ -अक्ष पर बिंदु $P(0, y)$ होता है। $PA^2 = PB^2$
$(0 - 6)^2 + (y - 5)^2 = (0 - (-4))^2 + (y - 3)^2$
$36 + y^2 - 10y + 25 = 16 + y^2 - 6y + 9$
$61 - 10y = 25 - 6y$
$61 - 25 = 10y - 6y$
$36 = 4y \implies y = 9$
उत्तर: (0, 9)

प्र.28. यदि Q(0, 1) बिन्दुओं P(5, -2) और R( $x$ , 6) से समदूरस्थ है तो $x$ के मान ज्ञात कीजिये। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिये।

हल: (नोट: प्रश्न P(5,-3) होना चाहिए, लेकिन छवि में P(5,-2) है। पाने के लिए, P(5,-2) का उपयोग करने पर: ) छवि P(5,-2) के अनुसार हल: .
- $R=(3, 6)$ या $R=(-3, 6)$ .
- QR: $QR = \sqrt{(3-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{9 + 25} = \mathbf{\sqrt{34}}$ . (दोनों $x$ मानों के लिए)
- PR (जब R=(3, 6)): $PR = \sqrt{(3-5)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 8^2} = \sqrt{4+64} = \mathbf{\sqrt{68}}$
- PR (जब R=(-3, 6)): $PR = \sqrt{(-3-5)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 8^2} = \sqrt{64+64} = \mathbf{\sqrt{128}} = 8\sqrt{2}$

प्र.29. यदि बिन्दु (1, 2), (4, $y$ ), ( $x$ , 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिये।

हल: $A=(1, 2), B=(4, y), C=(x, 6), D=(3, 5)$
Midpoint of $AC$ = Midpoint of $BD$
$(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}) = (\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2})$
$(\frac{1+x}{2}, 4) = (\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2})$
$1+x = 7 \implies x = 6$
$4 = \frac{y+5}{2} \implies 8 = y + 5 \implies y = 3$
उत्तर: $x = 6, y = 3$

प्र.30. दर्शाईए कि बिन्दु (1, 7), (4, 2), (-1, -1) और (-4, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।

हल:
- भुजाएँ:
  $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
  $BC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
  $CD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
  $DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (7-4)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
  (चारों भुजाएँ बराबर हैं)
- विकर्ण:
  $AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68}$
  $BD = \sqrt{(-4-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68}$
  (दोनों विकर्ण बराबर हैं)
उत्तर: चूँकि चारों भुजाएँ ( $\sqrt{34}$ ) बराबर हैं और दोनों विकर्ण ( $\sqrt{68}$ ) बराबर हैं, यह एक वर्ग है। (इति सिद्धम)