MP Board 10th Circle Question Bank अध्याय-10: वृत्त प्रश्न बैंक

MP Board 10th Circle Question Bank : अध्याय-10: वृत्त प्रश्न बैंक

अध्याय 10: वृत्त

स्मरणीय बिंदु * [चित्र (i), (ii), (iii) दर्शाए गए हैं]

WhatsApp Channel Join Now

Telegram Channel Join Now

आकृति (i) में रेखा PQ और वृत्त के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, इस स्थिति में रेखा PQ को अप्रतिच्छेदी रेखा कहते हैं। आकृति (ii) में रेखा PQ और वृत्त के बीच दो उभयनिष्ठ बिंदु A और B हैं, इस स्थिति में रेखा PQ को छेदक रेखा कहते हैं। आकृति (iii) में रेखा PQ और वृत्त के बीच एक उभयनिष्ठ बिंदु A है, इस स्थिति में रेखा PQ को स्पर्श रेखा कहते हैं।

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
एक वृत्ताकार तार लीजिए तथा वृत्ताकार तार के एक बिंदु P पर एक सीधा तार AB इस प्रकार जोड़िए कि वह बिंदु P के परितः एक समतल में घूम सके | इस प्रणाली को एक मेज पर रखिए तथा तार AB को बिंदु P के परितः धीमे – धीमे घुमाइए जिससे सीधे तार की विभिन्न अवस्थाएँ प्राप्त हो सकें।

[चित्र एक वृत्त और बिंदु P से होकर जाने वाली कई रेखाओं को दर्शाता है]

वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा है। [चित्र एक वृत्त और एक स्पर्श रेखा को बिंदु P पर स्पर्श करते हुए दिखाता है]
वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर दो और केवल दो स्पर्श रेखाएँ हैं।

[चित्र एक बिंदु P पर एक स्पर्श रेखा और कई छेदक रेखाओं को दर्शाता है] इस प्रकार आप प्रेक्षण कर सकते हैं कि “वृत्त के एक बिंदु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है”।

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा छेदक रेखा की एक विशिष्ट दशा है जब संगत जीवा के दोनों सिरे सम्पाती हो जाएँ।
वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है। [दो चित्र दर्शाए गए हैं: एक वृत्त को कई त्रिज्याओं में विभाजित दिखाता है, और दूसरा एक स्पर्श रेखा YPX को त्रिज्या OP के लंबवत दिखाता है]

किसी वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।
वृत्त के अन्दर स्थित किसी बिंदु से जाने वाली वृत्त पर कोई स्पर्श रेखा नहीं है।

प्र.1. सही विकल्प चुनिये:

5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लम्बाई है:
(a) 12 सेमी (b) 13 सेमी (c) 8.5 सेमी (d) 119\sqrt{119}119 सेमी
एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी तथा Q से केंद्र की दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है:
(a) 7 सेमी (b) 12 सेमी (c) 15 सेमी (d) 24.5 सेमी
यदि एक बिंदु P ओ केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएं एर प्रत्येक 80° के कोण पर झुकती हों, तो ∠POA\angle POA∠POA बराबर है:
(a) 50° (b) 60° (c) 70° (d) 80°
यदि TP, TQ एक बिंदु से किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं इस प्रकार हों कि ∠POQ=110∘\angle POQ = 110^\circ∠POQ=110∘, तो ∠PTQ\angle PTQ∠PTQ बराबर है:
(a) 60° (b) 70° (c) 80° (d) 90°
वृत्त तथा दिए किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं?
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) अनंत
किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ आपस में कैसी होती हैं?
(a) समानातर (b) समान्तरमित (c) प्रतिच्छिन्न (d) प्रतिछाया
वृत्त की स्पर्श रेखा किस बिंदु पर प्रतिच्छिन्न करती है?
(a) स्पर्श बिंदु (b) केंद्र (c) बाह्य बिंदु (d) इनमें से कोई नहीं
एक वृत्त पर बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 12 सेंटीमीटर और केंद्र की दूरी 13 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है:
(a) 5 सेंटीमीटर (b) 6 सेंटीमीटर (c) 8 सेंटीमीटर (d) 7 सेंटीमीटर
वृत्त पर स्थिर बिंदु के द्वारा जाने वाली स्पर्श रेखा के वृत्त के केंद्र से बनाये जाने वाला कोण कितना है?
(a) 60° (b) 50° (c) 90° (d) 100°

प्र. 2. रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिये:

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ……… बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
वृत्त को या बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को …….. कहते हैं।
वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उपनमित बिंदु को ……. बिंदु कहते हैं।

स्पर्श रेखा के केंद्र जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर …….. होती है।
स्पर्श रेखा के किसी बिंदु पर लगाया गया तिर्यक बहिष्कार केंद्र में जाता है।
स्पर्श रेखा के किसी बिंदु पर खींचा गया व्यास लंब रहता है।

प्र. 03 सही जोड़ी बनाइये।
स्तम्भ-(1) स्तम्भ-(2)
(i) वृत्त के बाहर: बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या (अ) एक
(ii) वृत्त के किसी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की संख्या (ब) केंद्र बिंदु
(iii) वृत्त पर किसी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की संख्या (स) एक
(iv) वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा को कहते हैं (द) दो
(v) वृत्त पर स्पर्श रेखा को प्रतिच्छेद करता है (इ) शून्य

प्र.4. एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए:

वृत्त के दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को क्या कहते हैं?
वृत्त के एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को क्या कहते हैं?

प्र. 5. सत्य / असत्य लिखिए:

वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को स्पर्श रेखा कहते हैं।
किसी बाह्य बिन्दु पर स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
स्पर्श रेखा केंद्र से उसके स्पर्श बिन्दु को मिलाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
स्पर्श रेखा की किसी बिन्दु पर खींची गयी त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
वृत्त स्पर्श रेखा का तथा बिन्दु स्पर्श बिन्दु प्रतिच्छेद बिन्दु है।
वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उपनमित बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।
स्पर्श बिन्दु से खींचा गया तिर्यक बहिष्कार केंद्र में जाता है।
एक बिन्दु Q से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी, Q ओ केंद्र की दूरी 25 सेमी है वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है।

प्र. 06 वृत्त के केंद्र जाने वाली किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ एर प्रत्येक 80º के कोण पर झुकी हो तो ∠POA का मान कितना होगा?

प्र. 07. 08 त्रिज्या 8 से 5cm दूरी पर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 4cm है।

प्र. 09 सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के बाहर से किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर समस्थानिक होती हैं।

प्र. 10 सिद्ध कीजिए कि किसी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा किसी वृत्त पर केवल एक बिंदु को प्रतिच्छेद करती है।

प्र. 11 यदि वृत्त की त्रिज्या 5cm तथा केंद्र से 3cm दूर किसी बिंदु की स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जो बिंदु केंद्र बिंदु है?

प्र. 12 त्रिज्या दिए बिंदु की स्पर्श बिंदु तथा वृत्त के बिंदु की स्पर्श बिंदु/स्थानिक/बाह्य होती है?

प्र. 13 यदि वृत्त का केंद्र बाह्य बिंदु से मिलने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या क्या होगी?

प्र. 14 वृत्त के समीप स्थित तिर्यक बहिष्कार केंद्र और वृत्त पर स्थिर ‘स्पर्श’ रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए?
वृत्तीयता की विमात्रा योग्यता ‘स्पर्श’ बिंदु केंद्र और प्रतिच्छेद बिंदु का अनुपात होता है?

प्र. 15. 5 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले एक वृत्त के किसी बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 cm हो PQ की लम्बाई ज्ञात करो?

प्र. 16 केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2 ∠OPQ है।

उत्तमाला
(वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

3.1. 1 (d) 119119 सेमी 2. (a) 7 सेमी 3. (a) 50° 4. (b) 70° 5. (b) 2
6. (c) समान 7. (b) 2 8. (b) 5 सेंटीमीटर 9. (c) 90° 10. दो
3.2. (i) दो, (ii)-(iii). एक (iv)-(v). शून्य

3.3. 1. केंद्र बिंदु 2. स्पर्श रेखा 3. स्पर्श बिंदु 4. लम्ब 5. समबहिभाजित

3.4. 1. सत्य 2. असत्य 3. सत्य 4. असत्य 5. सत्य 6. सत्य 7. सत्य

प्र. 06

प्रश्न: वृत्त के केंद्र जाने वाली किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ और प्रत्येक 80° के कोण पर झुकी हो तो ∠POA∠POA का मान कितना होगा?

उत्तर/समझाइए:
यदि दो स्पर्श रेखाएँ (PA, PB) किसी बाह्य बिंदु P से एक वृत्त पर खींची जाती हैं और वे 80^\circ के कोण पर झुकी हैं, तो त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच हमेशा 90^\circ का कोण बनता है।

अनुप्रयोग:PA \text{ और } PB \text{ के बीच का कोण } = 80^\circ

परंतु, ∠POA∠POA (जो केंद्र O, बिंदु P और स्पर्श बिंदु A के बीच का कोण है) निम्न सूत्र से:\angle POA = 90^\circ – \frac{80^\circ}{2} = 50^\circ

प्र. 07

प्रश्न: त्रिज्या 8 सेमी, 5 सेमी दूरी पर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 सेमी है।

स्पर्श रेखा की लम्बाई का सूत्र:l=d2−r2l=d2−r2

जहाँ:

ll: स्पर्श रेखा की लम्बाई
dd: केंद्र से बाह्य बिंदु तक की दूरी
rr: त्रिज्या

यहाँ r=8r=8 सेमी, d=5d=5 सेमी, तो:l=52−82=25−64=−39l=52−82=25−64=−39

यह संभव नहीं है क्योंकि बाह्य बिंदु की दूरी हमेशा त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए।
क्या आप इन मानों की पुष्टि करना चाहेंगे? (उत्तर दीजिए)

प्र. 09

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के बाहर से किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर समस्थानिक होती हैं।

उत्तर:
माना बिंदु P वृत्त के बाहर है। दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB, बिंदु P से वृत्त के A और B पर खींची जाती हैं। प्रमेय: बाह्य बिंदु से वृत्त को दो स्पर्श रेखाएँ समान लम्बाई की होती हैं और ये स्पर्श बिंदु केंद्र से समान कोण (अर्थात समस्थानिक) पर स्थित होते हैं।PA=PBPA=PB

क्या आप प्रत्येक चरण विस्तार से चाहते हैं?

प्र. 10

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि किसी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा किसी वृत्त पर केवल एक बिंदु को प्रतिच्छेद करती है।

उत्तर:
प्रमेय: यदि हम किसी बाह्य बिंदु P से वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचें, तो वह स्पर्श बिंदु पर ही वृत्त को छूती/प्रतिच्छेद करती है — दूसरे किसी बिंदु पर नहीं।

क्या आप इसका चरणबद्ध प्रमाण देखना चाहते हैं?

प्र. 11

प्रश्न: यदि वृत्त की त्रिज्या 5cm तथा केंद्र से 3cm दूर किसी बिंदु की स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।l=d2−r2l=d2−r2

यहाँ r=5r=5 सेमी, d=3d=3 सेमी:l=32−52=9−25=−16l=32−52=9−25=−16

चूंकि बाह्य बिंदु की दूरी हमेशा त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए, यह स्थिति संभव नहीं है।
आप चाहें तो सही आंकड़ें देकर पुन: पूछें।

प्र. 12

प्रश्न: त्रिज्या दिए बिंदु की स्पर्श बिंदु तथा वृत्त के बिंदु की स्पर्श बिंदु/स्थानिक/बाह्य होती है?

उत्तर दें: स्पर्श बिंदु — वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है। स्थानिक — केंद्र के सापेक्ष स्थित। बाह्य — वृत्त के बाहर स्थित।

प्र. 13

प्रश्न: यदि वृत्त का केंद्र बाह्य बिंदु से मिलने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या क्या होगी?

उत्तर: हमेशा दो स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

प्र. 14

प्रश्न: वृत्त के समीप स्थित तिर्यक बहिष्कार केंद्र और वृत्त पर स्थिर ‘स्पर्श’ रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए?

प्रत्येक स्पर्श रेखा और अपने स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच का कोण 90^\circ होता है:\angle = 90^\circ

दूसरा सवाल — विमात्रा योग्यता ‘स्पर्श’ बिंदु, केंद्र & प्रतिच्छेद बिंदु का अनुपात — इसके लिए स्पष्ट गणना या परिभाषा अगर चाहिए तो कृपया आगे विस्तार से पूछें।

प्रश्न: 5 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले एक वृत्त के किसी बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 cm हो PQ की लम्बाई ज्ञात करो?

स्पर्श रेखा की लंबाई:PQ=OQ2−r2=122−52=144−25=119PQ=OQ2−r2=122−52=144−25=119

प्र. 16 प्रश्न: केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ=2∠OPQ∠PTQ=2∠OPQ है।

इस प्रमेय का चरणबद्ध प्रमाण:
माना वृत्त का केंद्र O, बाह्य बिंदु T से TP और TQ दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त को P और Q पर छूती हैं। केंद्र O से TP और TQ को मिलाएँ। OT, OP और OQ की त्रिज्या जोड़ें। सिद्ध किया जाता है कि:∠PTQ=2∠OPQ∠PTQ=2∠OPQ