MP Board 10th Arithmetic Progression Question Bank अध्याय-5: समांतर श्रेढ़ियाँ प्रश्न बैंक

MP Board 10th Arithmetic Progression Question Bank : अध्याय-5: समांतर श्रेढ़ियाँ प्रश्न बैंक

अध्याय 5: समांतर श्रेणी

स्मरणीय बिंदु

एक समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद के अतिरिक्त) अपने पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है। यह निश्चित संख्या सार्व अंतर कहलाती है।
किसी समांतर श्रेणी (A.P.) में सार्व अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
व्यापक समांतर श्रेणी (A.P.): $a, a+d, a+2d, a+3d, …$ , जहाँ $a$ पहला पद और $d$ सार्व अंतर है।
ऐसी समांतर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या सीमित होती है, परिमित समांतर श्रेणी कहलाती है।
ऐसी समांतर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या असीमित होती है, अपरिमित समांतर श्रेणी कहलाती है।
समांतर श्रेणी (A.P.): $a, a+d, a+2d, a+3d, …$ , का व्यापक पद $a_n = a + (n-1)d$ है।
समांतर श्रेणी (A.P.): $a, a+d, a+2d, a+3d, …$ , में पदों की संख्या यदि $n$ है तो श्रेणी का अंतिम पद $l = a + (n-1)d$ है।
समांतर श्रेणी (A.P.): $a, a+d, a+2d, a+3d, …$ , के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
समांतर श्रेणी (A.P.): $a, a+d, a+2d, a+3d, …$ , में पदों की संख्या यदि $n$ है तो श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$ है।

प्र.1 सही विकल्प चुनिए।

1. A.P.: $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, …$ के लिए प्रथम पद एवं सार्व-अंतर क्रमशः हैं:

हल: प्रथम पद ( $a$ ) = $\frac{3}{2}$
सार्व-अंतर ( $d$ ) = $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1$
सही विकल्प: (C) $\frac{3}{2}, -1$

2. A.P.: $10, 7, 4, …$ का 30 वां पद है:

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हल: $a = 10$ , $d = 7 - 10 = -3$ , $n = 30$
$a_{30} = a + (n - 1)d = 10 + (30 - 1)(-3) = 10 + (29)(-3) = 10 - 87 = -77$
सही विकल्प: (C) -77

3. A.P.: $-3, -\frac{1}{2}, 2, …$ का 11 वां पद है:

हल: $a = -3$ , $n = 11$
$d = (-\frac{1}{2}) - (-3) = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{-1 + 6}{2} = \frac{5}{2}$
$a_{11} = a + (11 - 1)d = -3 + 10(\frac{5}{2}) = -3 + 25 = 22$
सही विकल्प: (B) 22

4. $3, 6, 9, ….$ का कौनसा पद 27 है:

हल: $a = 3$ , $d = 6 - 3 = 3$ , $a_n = 27$
$a_n = a + (n - 1)d$
$27 = 3 + (n - 1)3$
$24 = (n - 1)3$
$8 = n - 1 \implies n = 9$
सही विकल्प: (C) नवां

5. $-5, -\frac{5}{2}, 0, \frac{5}{2}, …$ का 11 वां पद है:

हल: $a = -5$ , $n = 11$
$d = (-\frac{5}{2}) - (-5) = -\frac{5}{2} + 5 = \frac{-5 + 10}{2} = \frac{5}{2}$
$a_{11} = a + (11 - 1)d = -5 + 10(\frac{5}{2}) = -5 + 25 = 20$
सही विकल्प: (B) 20

6. समांतर श्रेणी $6, 4, 2, …$ का सार्व-अंतर है –

हल: $d = 4 - 6 = -2$
सही विकल्प: (C) -2

7. समांतर श्रेणी $2, 5, 8, …$ का 5 वां पद है:

हल: $a = 2$ , $d = 5 - 2 = 3$ , $n = 5$
$a_5 = a + (5 - 1)d = 2 + 4(3) = 2 + 12 = 14$
सही विकल्प: (B) 14

8. किसी श्रेणी का प्रथम पद 7 तथा सार्व-अंतर -2 हो तो प्रथम चार पद होंगे –

हल: $a_1 = 7$ , $a_2 = 7 + (-2) = 5$ , $a_3 = 5 + (-2) = 3$ , $a_4 = 3 + (-2) = 1$
सही विकल्प: (A) 7,5,3,1

9. समांतर श्रेणी में $a = 28, d = -4, n = 7$ तब $a_7$ है:

हल: $a_7 = a + (7 - 1)d = 28 + 6(-4) = 28 - 24 = 4$
सही विकल्प: (A) 4

10. श्रेणी $3, 1, -1, -3$ का प्रथम पद एवं सार्व-अंतर है:

हल: प्रथम पद ( $a$ ) = 3
सार्व-अंतर ( $d$ ) = $1 - 3 = -2$
सही विकल्प: (C) 3 और -2

11. 3 के गुणज प्रथम पाँच पदों का योगफल है:

हल: श्रेणी है $3, 6, 9, 12, 15$ .
$S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{5}{2}(3 + 15) = \frac{5}{2}(18) = 5 \times 9 = 45$
सही विकल्प: (A) 45

12. समांतर श्रेणी $5, 8, 11, 14, …$ का 10 वां पद :

हल: $a = 5$ , $d = 8 - 5 = 3$ , $n = 10$
$a_{10} = a + (10 - 1)d = 5 + 9(3) = 5 + 27 = 32$
सही विकल्प: (C) 32

13. समांतर श्रेणी का सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए जबकि $a_{18} - a_{14} = 32$ हो:

हल: $a_{18} = a + 17d$
$a_{14} = a + 13d$
$(a + 17d) - (a + 13d) = 32$
$4d = 32 \implies d = 8$
सही विकल्प: (A) 8

प्र.2 रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए।

समांतर श्रेणी $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, …$ में सार्वअंतर $d$ -1 है।
यदि किसी समांतर श्रेणी का $n$ वां पद $3 + 2n$ हो तब श्रेणी का प्रथम पद 5 होगा। (हल: $a_1 = 3 + 2(1) = 5$ )
समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ तथा सार्व-अंतर $d$ हो तो उसका दसवां पद $a + 9d$ होगा।
यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं, तब $b$ को $a$ और $c$ का समांतर माध्य कहते हैं।
$n$ पदों वाली समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ तथा अंतिम पद $l$ हो, तो श्रेणी का योगफल $\frac{n}{2}(a + l)$ होता है।
समांतर श्रेणी के कोई दो लगातार पदों का अन्तर सार्व-अंतर कहलाता है।
9 और 7 का समांतर माध्य 8 होता है। (हल: $(9+7)/2 = 8$ )
समांतर श्रेणी $\frac{3}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}}, \sqrt{5} …$ का सार्व-अंतर $\frac{1}{\sqrt{5}}$ है। (हल: $d = \frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ )
श्रेणी $2, 5, 8, 11, …$ का 8 वां पद 23 है। (हल: $a_8 = 2 + (8-1)3 = 2 + 21 = 23$ )
समांतर श्रेणी $2\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0$ का अगला पद $-\sqrt{2}$ है। (हल: $d = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$ , $a_4 = 0 + (-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$ )
समांतर श्रेणी में $a = 3, l = 15$ हो तो 5 पदों का योग 45 होगा। (हल: $S_5 = \frac{5}{2}(3 + 15) = \frac{5}{2}(18) = 45$ )
समांतर श्रेणी में $a = -18, n = 10$ तथा $a_n = 0$ हो तो सार्व-अंतर $d =$ 2 होगा। (हल: $0 = -18 + (10 - 1)d \implies 18 = 9d \implies d = 2$ )

यहाँ सभी छवियों में दिए गए समांतर श्रेणी (A.P.) के प्रश्नों के हल दिए गए हैं:

प्र.3 सही जोड़ी बनाइए

स्तम्भ – A	स्तम्भ – B
(i) व्यापक समांतर श्रेणी (A.P.)	(b) $a, a+d, a+2d, a+3d, …$
(ii) ऐसी समांतर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या सीमित हो	(c) परिमित समांतर श्रेणी
(iii) ऐसी समांतर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या असीमित हो	(a) अपरिमित समांतर श्रेणी
(iv) समांतर श्रेणी का $n$ वाँ पद	(e) $a_n = a+(n-1)d$
(v) समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग	(d) $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

प्र.4 एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए

A.P.: 2, 7, 12, … के 10 वें पद का मान:
- यहाँ $a = 2, d = 7 - 2 = 5, n = 10$
- $a_{10} = a + (n - 1)d = 2 + (10 - 1)5 = 2 + 9 \times 5 = 2 + 45 = \mathbf{47}$
A.P.: 4, 6, 8, …, 40 में पदों की संख्या:
- यहाँ $a = 4, d = 6 - 4 = 2, a_n = 40$
- $a_n = a + (n - 1)d \implies 40 = 4 + (n - 1)2$
- $36 = (n - 1)2 \implies 18 = n - 1 \implies n = \mathbf{19}$
$\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, …$ समांतर श्रेणी है या नहीं?
- $d_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ; $d_2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
- चूंकि सार्व-अंतर समान है, हाँ, यह एक समांतर श्रेणी है।
4, 0, -4 का अगला पद क्या होगा?
- यहाँ $d = 0 - 4 = -4$
- अगला पद = $-4 + d = -4 + (-4) = \mathbf{-8}$
-2, 4, 10 का सार्व-अंतर क्या होगा?
- $d = 4 - (-2) = 4 + 2 = \mathbf{6}$
यदि किसी श्रेणी के पदों की संख्या सीमित न हो तो उसे क्या कहते हैं?
- अपरिमित श्रेणी (Aparimit Shreni)
5, 10, 15… के 8 पदों का योग क्या होगा?
- यहाँ $a = 5, d = 5, n = 8$
- $S_8 = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] = \frac{8}{2}[2(5) + (8 - 1)5] = 4[10 + 7 \times 5] = 4[10 + 35] = 4[45] = \mathbf{180}$
-1, -2, -3 का 6 वां पद लिखिए।
- यहाँ $a = -1, d = -2 - (-1) = -1$
- $a_6 = a + 5d = -1 + 5(-1) = -1 - 5 = \mathbf{-6}$

प्र.5 सत्य / असत्य लिखिए

$-2, 2, -2, 2, …$ एक समांतर श्रेणी है। (असत्य)
यदि $a, b, c$ A.P. में हैं तब $b = \frac{a+c}{2}$ है। (सत्य)
श्रेणी 8, 6, 4, … का 6वाँ पद -2 है। (सत्य) (हल: $a_6 = 8 + 5(-2) = 8 - 10 = -2$ )
$1, 2, 4, 8, …$ समांतर श्रेणी है। (असत्य) (यह गुणोत्तर श्रेणी है)
3 और 5 का समांतर माध्य 4 है। (सत्य) (हल: $(3+5)/2 = 4$ )
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योगफल $a_n = a+(n-1)d$ होता है। (असत्य) (यह $n$ वें पद का सूत्र है)
यदि $\frac{6}{5}, a, 4$ समांतर श्रेणी है, तो $a$ का मान $\frac{13}{5}$ होगा। (सत्य) (हल: $a = \frac{\frac{6}{5} + 4}{2} = \frac{26/5}{2} = \frac{13}{5}$ )
$-5, -1, 3, 7, …$ का सार्व-अंतर 6 होगा। (असत्य) (सार्व-अंतर 4 है)
$2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, …$ समांतर श्रेणी है। (सत्य) (सार्व-अंतर $\frac{1}{2}$ है)
समांतर श्रेणी के पदों का योगफल $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ है। (सत्य)

विविध प्रश्न (प्र.6 से प्र.43)

प्र.6 $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, …$ का प्रथम पद $\frac{1}{3}$ एवं सार्व-अंतर $d = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{4}{3}}$ है।

प्र.7 $a = -2$ और $d = 2$ हो तो अगले चार पद:

$a_1 = -2$
$a_2 = -2 + 2 = 0$
$a_3 = 0 + 2 = 2$
$a_4 = 2 + 2 = 4$
उत्तर: -2, 0, 2, 4

प्र.8 A.P. $10, 7, 4, …$ का 10 वां पद:

$a = 10, d = -3, n = 10$
$a_{10} = 10 + (10 - 1)(-3) = 10 - 27 = \mathbf{-17}$

प्र.9 5 के प्रथम 10 गुणजों का योग (A.P.: 5, 10, …, 50):

$a = 5, n = 10, l = 50$
$S_{10} = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{10}{2}(5 + 50) = 5(55) = \mathbf{275}$

प्र.10 A.P. $-3, -\frac{1}{2}, 2, …$ का 6वाँ पद:

$a = -3, d = -\frac{1}{2} - (-3) = \frac{5}{2}$
$a_6 = a + 5d = -3 + 5(\frac{5}{2}) = -3 + \frac{25}{2} = \frac{-6 + 25}{2} = \mathbf{\frac{19}{2}}$

प्र.11 5 से विभाज्य प्रथम 10 धनात्मक पूर्णांकों का योग: (यह प्र.9 के समान है)

A.P.: 5, 10, …, 50. $a = 5, n = 10, l = 50$ .
$S_{10} = \frac{10}{2}(5 + 50) = 5(55) = \mathbf{275}$

प्र.12 A.P. $2, 7, 12, …$ के 10 पदों तक योग:

$a = 2, d = 5, n = 10$
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(2) + (10 - 1)5] = 5[4 + 45] = 5[49] = \mathbf{245}$

प्र.13 $8, A, 6$ समांतर श्रेणी में हैं तो A का मान:

$A = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = \mathbf{7}$

प्र.14 17 वां पद 10 वें पद से 7 अधिक है ( $a_{17} = a_{10} + 7$ ):

$(a + 16d) = (a + 9d) + 7 \implies 16d = 9d + 7 \implies 7d = 7 \implies d = \mathbf{1}$

प्र.15 A.P. का $a_3 = 5$ और $a_7 = 9$ :

$a + 2d = 5$ (1)
$a + 6d = 9$ (2)
(2) – (1) करने पर: $4d = 4 \implies \mathbf{d = 1}$
$d$ का मान (1) में रखने पर: $a + 2(1) = 5 \implies \mathbf{a = 3}$

प्र.16 श्रेणी $7, 13, 19, …, 205$ में कितने पद हैं?

$a = 7, d = 6, a_n = 205$
$205 = 7 + (n - 1)6 \implies 198 = (n - 1)6 \implies 33 = n - 1 \implies n = \mathbf{34}$

प्र.17 $a_n = 3 + 4n$ हो तो प्रथम दो पद:

$a_1 = 3 + 4(1) = \mathbf{7}$
$a_2 = 3 + 4(2) = \mathbf{11}$

प्र.18 तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

A.P.: 105, 112, …, 994
$a = 105, d = 7, a_n = 994$
$994 = 105 + (n - 1)7 \implies 889 = (n - 1)7 \implies 127 = n - 1 \implies n = \mathbf{128}$

प्र.19 दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?

A.P.: 12, 15, …, 99
$a = 12, d = 3, a_n = 99$
$99 = 12 + (n - 1)3 \implies 87 = (n - 1)3 \implies 29 = n - 1 \implies n = \mathbf{30}$

प्र.20 A.P. $21, 18, 15, …$ का कौनसा पद -81 है?

$a = 21, d = -3, a_n = -81$
$-81 = 21 + (n - 1)(-3) \implies -102 = (n - 1)(-3) \implies 34 = n - 1 \implies n = \mathbf{35}$

प्र.21 क्या $5, 11, 17, 23, …$ का कोई पद 301 है?

$a = 5, d = 6, a_n = 301$
$301 = 5 + (n - 1)6 \implies 296 = (n - 1)6 \implies n - 1 = \frac{296}{6} = 49.33…$
उत्तर: नहीं, क्योंकि $n$ एक पूर्णांक नहीं है।

प्र.22 $a_3 = 4$ और $a_9 = -8$ है, कौनसा पद शून्य होगा?

$a + 2d = 4$ (1)
$a + 8d = -8$ (2)
(2) – (1) करने पर: $6d = -12 \implies d = -2$
$d$ का मान (1) में रखने पर: $a + 2(-2) = 4 \implies a = 8$
$a_n = 0 \implies a + (n - 1)d = 0 \implies 8 + (n - 1)(-2) = 0 \implies 8 = 2(n - 1) \implies 4 = n - 1 \implies n = \mathbf{5}$

प्र.23 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

A.P.: 12, 16, …, 248
$a = 12, d = 4, a_n = 248$
$248 = 12 + (n - 1)4 \implies 236 = (n - 1)4 \implies 59 = n - 1 \implies n = \mathbf{60}$

प्र.24 A.P. का $a_{11} = 38$ और $a_{16} = 73$ है, $a_{31}$ ज्ञात कीजिए:

$a + 10d = 38$ (1)
$a + 15d = 73$ (2)
(2) – (1) करने पर: $5d = 35 \implies d = 7$
$d$ का मान (1) में रखने पर: $a + 10(7) = 38 \implies a = -32$
$a_{31} = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = \mathbf{178}$

प्र.25 वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका $a_3 = 5$ और $a_7 = 9$ है:

(यह प्र.15 के समान है) $a = 3, d = 1$
A.P.: 3, 4, 5, 6, …

प्र.26 A.P. $3, 8, 13, 18, …$ का कौनसा पद 78 होगा?

$a = 3, d = 5, a_n = 78$
$78 = 3 + (n - 1)5 \implies 75 = (n - 1)5 \implies 15 = n - 1 \implies n = \mathbf{16}$

प्र.27 क्या A.P. $11, 8, 5, 2, …$ का एक पद -150 है?

$a = 11, d = -3, a_n = -150$
$-150 = 11 + (n - 1)(-3) \implies -161 = (n - 1)(-3) \implies n - 1 = \frac{161}{3} = 53.66…$
उत्तर: नहीं, क्योंकि $n$ एक पूर्णांक नहीं है।

प्र.28 $a = 17, l = 350, d = 9$ है, $n$ और $S_n$ क्या है?

$l = a + (n - 1)d \implies 350 = 17 + (n - 1)9 \implies 333 = (n - 1)9 \implies 37 = n - 1 \implies n = \mathbf{38}$
$S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{38}{2}(17 + 350) = 19(367) = \mathbf{6973}$

प्र.29 दो A.P. का $d$ समान है, 100वें पदों का अंतर 100 है, तो 1000वें पदों का अंतर:

$A_{100} - a_{100} = (A + 99d) - (a + 99d) = A - a = 100$
$A_{1000} - a_{1000} = (A + 999d) - (a + 999d) = A - a$
उत्तर: 100

प्र.30 A.P. $24, 21, 18, …$ के कितने पद लिए जाएँ ताकि योग 78 हो?

$a = 24, d = -3, S_n = 78$
$78 = \frac{n}{2}[2(24) + (n - 1)(-3)] = \frac{n}{2}[48 - 3n + 3] = \frac{n}{2}[51 - 3n]$
$156 = 51n - 3n^2 \implies 3n^2 - 51n + 156 = 0 \implies n^2 - 17n + 52 = 0$
$(n - 4)(n - 13) = 0$
उत्तर: $n = \mathbf{4}$ या $n = \mathbf{13}$ (दोनों मान संभव हैं)

प्र.31 636 योग प्राप्त करने के लिए A.P. $9, 17, 25, …$ के कितने पद लेने चाहिए?

$a = 9, d = 8, S_n = 636$
$636 = \frac{n}{2}[2(9) + (n - 1)8] = \frac{n}{2}[18 + 8n - 8] = \frac{n}{2}[10 + 8n] = n(5 + 4n)$
$4n^2 + 5n - 636 = 0$
द्विघाती सूत्र से: $n = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(4)(-636)}}{2(4)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 10176}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{10201}}{8}$
$n = \frac{-5 \pm 101}{8} \implies n = \frac{96}{8} = 12$ (ऋणात्मक मान संभव नहीं)
उत्तर: $n = \mathbf{12}$

प्र.32 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग:

A.P.: 1, 3, 5, …, 49.
$a = 1, l = 49$ . $n = 25$ (कुल 25 विषम संख्याएँ हैं)
$S_{25} = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{25}{2}(1 + 49) = \frac{25}{2}(50) = 25 \times 25 = \mathbf{625}$

प्र.33 फूलों की क्यारी… 1ली पंक्ति में 23, …, अंतिम में 5. कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?

A.P.: 23, 21, 19, …, 5
$a = 23, d = -2, a_n = 5$
$5 = 23 + (n - 1)(-2) \implies -18 = (n - 1)(-2) \implies 9 = n - 1 \implies n = \mathbf{10}$

प्र.34 A.P. ज्ञात कीजिए जिसका $a_3 = 16$ और $a_7 = a_5 + 12$ :

$a_7 - a_5 = 12 \implies (a + 6d) - (a + 4d) = 12 \implies 2d = 12 \implies d = 6$
$a_3 = a + 2d = 16 \implies a + 2(6) = 16 \implies a = 4$
A.P.: 4, 10, 16, 22, …

प्र.35 A.P. $10, 7, 4, …, -62$ का अंतिम पद से 11वां पद:

A.P. को पलटें: $-62, -59, …$
$a = -62, d = 3$
$a_{11} = a + 10d = -62 + 10(3) = -62 + 30 = \mathbf{-32}$

प्र.36 A.P. $3, 15, 27, 39, …$ का कौनसा पद 54वें पद से 132 अधिक होगा?

$a = 3, d = 12$
$a_n = a_{54} + 132 \implies a + (n - 1)d = (a + 53d) + 132$
$(n - 1)d = 53d + 132 \implies (n - 1)12 = 53(12) + 132$
$(n - 1)12 = 636 + 132 = 768$
$n - 1 = \frac{768}{12} = 64 \implies n = \mathbf{65}$

प्र.37 $n$ के किस मान के लिए A.P. $63, 65, 67, …$ और $3, 10, 17, …$ के nवें पद बराबर होंगे?

A.P. 1: $A_n = 63 + (n - 1)2 = 61 + 2n$
A.P. 2: $a_n = 3 + (n - 1)7 = 7n - 4$
$61 + 2n = 7n - 4 \implies 65 = 5n \implies n = \mathbf{13}$

प्र.38 A.P. $3, 8, 13, …, 253$ में अंतिम पद से 20 वां पद:

A.P. को पलटें: $253, 248, …$
$a = 253, d = -5$
$a_{20} = a + 19d = 253 + 19(-5) = 253 - 95 = \mathbf{158}$

प्र.39 A.P. के $S_{14} = 1050$ और $a = 10$ है, $a_{20}$ ज्ञात कीजिए:

$S_{14} = \frac{14}{2}[2(10) + (14 - 1)d] = 1050$
$7[20 + 13d] = 1050 \implies 20 + 13d = 150 \implies 13d = 130 \implies d = 10$
$a_{20} = a + 19d = 10 + 19(10) = 10 + 190 = \mathbf{200}$

प्र.40 प्रथम 100 धन पूर्णांकों का योग (A.P.: 1, 2, …, 100):

$S_{100} = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50(101) = \mathbf{5050}$

प्र.41 $a_n = 3 + 2n$ वाली सूची के प्रथम 24 पदों का योग:

$a_1 = 3 + 2(1) = 5$
$a_{24} = 3 + 2(24) = 51$
$S_{24} = \frac{n}{2}(a_1 + a_{24}) = \frac{24}{2}(5 + 51) = 12(56) = \mathbf{672}$

प्र.42 $a_n = 4, d = 2, S_n = -14$ दिया है, $n$ और $a$ का मान:

$a_n = a + (n - 1)d \implies 4 = a + (n - 1)2 \implies a = 6 - 2n$ (1)
$S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \implies -14 = \frac{n}{2}(a + 4)$ (2)
(1) को (2) में रखने पर: $-14 = \frac{n}{2}(6 - 2n + 4) = \frac{n}{2}(10 - 2n) = n(5 - n)$
$n^2 - 5n - 14 = 0 \implies (n - 7)(n + 2) = 0$
$n = 7$ ( $n$ ऋणात्मक नहीं हो सकता)
$n = 7$ को (1) में रखने पर: $a = 6 - 2(7) = 6 - 14 = -8$
उत्तर: $n = \mathbf{7}, a = \mathbf{-8}$