MP Board 10th Areas related to circles Question Bank अध्याय-12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

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स्मरणीय बिंदु

  • एक वृत्त के अनुदिश एक बार चलन में तय की गई दूरी उसका परिमाप होता है, जिसे प्रायः परिधि कहा जाता है।
  • वृत्त की परिधि = 2\pi r, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
  • वृत्त का क्षेत्रफल = \pi r^2, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
  • एक वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो, उस वृत्त का एक त्रिज्यखंड कहलाता है।
  • वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो एक जीवा और संगत चाप के बीच में परिबद्ध हो एक वृत्तखंड कहलाता है।
  • कोण \theta वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \pi r^2 \times \frac{\theta}{360}
  • कोण \theta वाले त्रिज्यखंड के संगत चाप की लम्बाई = 2\pi r \times \frac{\theta}{360}
    = \pi r \times \frac{\theta}{180}

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प्र.1. सही विकल्प चुनिये:

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  1. यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल 154 \text{ cm}^2 है तो इसकी परिमाप होगी:
    (a) 11 cm
    (b) 22 cm
    (c) 44 cm
    (d) 55 cm
  2. यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:
    (a) 2 मात्रक
    (b) \pi मात्रक
    (c) 4 मात्रक
    (d) 7 मात्रक
  3. त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण P^\circ है, निम्नलिखित है:
    (a) \frac{P}{180} \times 2\pi R
    (b) \frac{P}{180} \times \pi R^2
    (c) \frac{P}{360} \times 2\pi R
    (d) \frac{P}{720} \times 2\pi R^2
  4. त्रिज्या R वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा:
    (a) \frac{1}{2} \times \pi R^2
    (b) \frac{1}{4} \times \pi R^2
    (c) 4\pi R^2
    (d) 2\pi R^2
  5. 44 मीटर परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या होगी:
    (a) 7 मीटर
    (b) 5 मीटर
    (c) 14 मीटर
    (d) 44 मीटर
  6. त्रिज्या 21 सेमी. वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60^\circ का कोण अंतरित करता है, चाप की लम्बाई होगी:
    (a) 25 सेमी.
    (b) 22 सेमी.
    (c) 21 सेमी.
    (d) 20 सेमी.
  7. एक वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात है:
    (a) 2\pi : 1
    (b) \pi : 1
    (c) 1 : 1
    (d) 2 : 1
  8. कोण \theta वाले त्रिज्यखंड के चाप की लम्बाई है:
    (a) \frac{\theta}{180^\circ} \times 2\pi R
    (b) \frac{\theta}{180^\circ} \times 2\pi R^2
    (c) \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R
    (d) \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R^2
  9. एक वृत्त के क्षेत्रफल का वृत्त की परिधि से अनुपात है-
    (a) \pi : 1
    (b) r : 2
    (c) \pi r : 2
    (d) \pi : 2
  10. \pi एक संख्या है:
    (a) परिमेय संख्या
    (b) अपरिमेय संख्या
    (c) सम संख्या
    (d) विषम संख्या

प्र.2. रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिये:

  1. त्रिज्या 7 सेमी. वाले वृत्त का क्षेत्रफल ……. होता है।
  2. एक महान भारतीय गणितज्ञ ……. ने पाई का सन्निकट मान दिया।
  3. वृत्त के अनुदिश एक बार चलने में तय की गई दूरी वृत्त की ……. कहलाती है।
  4. त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल ……. होता है।
  5. वृत्त की त्रिज्या उसके व्यास की ……. होती है।
  6. एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी. है तो उसकी परिधि ……. होगी।
  7. यदि वृत्त का क्षेत्रफल 4\pi वर्ग सेमी. है, तो उसकी त्रिज्या ……. होगी।

प्र.3 सही जोड़ी बनाइए:

स्तम्भ-1स्तम्भ-2
1- वृत्त की परिधि(a) \pi r^2
2- वृत्त का क्षेत्रफल(b) 2\pi r
3- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल(c) \frac{1}{2}\pi r^2
4- त्रिज्यखंड के चाप की लम्बाई(d) \frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2
5- अर्धवृत्त का क्षेत्रफल(e) \frac{\theta}{360^\circ}2\pi r

प्र.4 एक शब्द/ वाक्य में उत्तर दीजिए।

1- एक वृत्ताकार खेत पर Rs. 24 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का ठेका Rs. 5280 है, खेत का परिमाप बताइए?
2- 14 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल बताइए?
3- त्रिज्या y वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड जिसका कोण अंशों में \theta है, का क्षेत्रफल क्या होगा?
4- त्रिज्या y वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड जिसका कोण अंशों में \theta है, के संगत चाप की लम्बाई का सूत्र लिखिए।
5- वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।

प्र.06 6\text{cm} त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60^\circ है।
प्र.07 एक वृत्त की त्रिज्या 11.2 सेमी. है। इसके परिमाप की गणना कीजिए?
प्र.08. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22\text{ cm} है।
प्र.09 एक घड़ी की सुई जिसकी लम्बाई 14 सेमी. है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
प्र.10. एक पहिये का व्यास 4 मीटर हैं तो 400 चक्करों में वह कितनी दूरी (मीटर) में तय करेगा?
प्र.11. एक वर्ग का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. है, इसकी परिमाप ज्ञात कीजिए?
प्र.12. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 21 सेमी. है, इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
प्र.13. 21 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60^\circ का कोण अंतरित करता है, चाप की लम्बाई ज्ञात करो?
प्र.14 12 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120^\circ का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफलज्ञात कीजिए।
प्र.15 10 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण बनाती है। संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्र.16 10 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण बनाती है संगत लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्र. 5- सत्य/असत्य लिखिए।
1- वृत्त का क्षेत्रफल 2\pi r सेमी. होता है।
2- वृत्त का परिमाप 2\pi r सेमी. होता है।
3- यदि दो वृत्तों जिनकी त्रिज्याएं क्रमशः R_1 और R_2 हैं, के क्षेत्रफलों का योग R त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है, तब R^2 = R_1^2 + R_2^2.
4- यदि वृत्त की त्रिज्या दुगुना कर देंगे तो उसका क्षेत्रफल चार गुना हो जायेगा।
5- यदि दो वृत्तों जिनकी त्रिज्याएं क्रमशः R_1 व R_2 हैं, के परिमापों का योग R त्रिज्या वाले वृत्त के परिमाप के बराबर है, तब R_1 + R_2 > R.
6- अर्धवृत्त का क्षेत्रफल \frac{1}{2}\pi r^2 होता है जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
7- वृत्त की परिधि = 2\pi r होती है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
8- वृत्त का क्षेत्रफल = \pi r^2 होता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
9- वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \pi r^2 \frac{\theta}{360^\circ} होता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या तथा \theta केंद्र पर अंतरित कोण है।
10-वृत्त की त्रिज्या उसके व्यास से बड़ी होती है।

प्र.17. आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ ABCD भुजा 14 \text{ cm} का एक वर्ग है।
[आकृति]

प्र.18. किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 \text{ cm} है। यदि यह कार 66 \text{ km} प्रति घंटे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
प्र.19. आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7\text{cm} और 14\text{cm} हैं तथा \angle AOC = 40^\circ है।
[आकृति]

प्र.20. आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 \text{ cm} का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।
[आकृति]

प्र.21. एक वृत्ताकार खेत पर ₹24 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ₹5280 है। इस खेत की ₹ 0.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से जुताई कराई जानी है। खेत की जुताई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
( \pi = \frac{22}{7} लीजिए)

प्र.22. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 \text{ cm} और 9 \text{ cm} हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

प्र.23. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 \text{ cm} और 6 \text{ cm} हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

प्र.24. 15 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 मीटर लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए तो ज्ञात कीजिए:
अ. मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
ब. चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 मीटर लंबी रस्सी के स्थान पर 10 मीटर लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (\pi = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

प्र.25. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 \text{ cm}^2 है, इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्र.26. आकृति में AB और CD केंद्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7\text{cm}. है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[आकृति]

प्र.27. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरियों पर लगे हुए है। छतरी को 45 सेमी. त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, हुए इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्र.28. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस 80^\circ कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 कि.मी. की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। ( \pi = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
प्र.29 एक वृत्ताकार मेज़ पोश जिसकी त्रिज्या 32 सेमी. है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, इस डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[आकृति]

प्र.30 आकृति में ABC त्रिज्या 14 सेमी. वाले वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[आकृति]

प्र.31. आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ 12 सेमी. वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केंद्र मानकर 6 सेमी. त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।
[आकृति]

प्र.32. त्रिज्या 21 सेमी. वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60^\circ का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए-
अ. चाप की लम्बाई
ब. चाप द्वारा बनाये गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
स. संगत जीवा द्वारा बनाये गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल।
प्र.33. आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 \text{ cm}, PR = 7 \text{ cm} तथा O वृत्त का केंद्र है।
[आकृति]

उत्तरमाला
( वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

उ.1. 1. (c) 44 \text{ cm}

  1. (a) 2 मात्रक
  2. (d) \frac{p}{720} \times 2\pi R^2
  3. (b) \frac{1}{4} \times \pi R^2
  4. (a) 7 मीटर
  5. (b) 22 सेमी.
  6. (b) \pi : 1
  7. (c) \frac{\theta}{360} \times 2\pi R
  8. (b) r : 2
  9. (b) अपरिमेय संख्या

उ.2. 1. 154 सेमी^2

  1. आर्यभट्ट
  2. परिधि
  3. \pi r^2
  4. आधी
  5. 88 सेमी
  6. 2 सेमी

उ.3. (1).\leftrightarrow (b), (2).\leftrightarrow (a), (3).\leftrightarrow (d), (4).\leftrightarrow (e), (5).\leftrightarrow (c)

उ.4. 1. 220 मीटर

  1. 616 वर्ग मीटर
  2. \pi y^2 \frac{\theta}{360^\circ}
  3. \pi y \frac{\theta}{180^\circ}
  4. वृत्त का क्षेत्रफल = \pi r^2 होता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

उ.5. 1. असत्य

  1. सत्य
  2. सत्य
  3. सत्य
  4. असत्य
  5. सत्य
  6. सत्य
  7. सत्य
  8. सत्य
  9. असत्य

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