MP Board 9th Mathematics Volume of a Sphere and Hemisphere

यहाँ कक्षा 9 के गणित अध्याय 11 (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन) के अंतर्गत “गोले और अर्धगोले का आयतन” (Volume of a Sphere and Hemisphere) पर विस्तृत नोट्स और परीक्षा के लिए 10 महत्त्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर दिए गए हैं।

अध्याय 11: गोले और अर्धगोले का आयतन (Volume of a Sphere and Hemisphere)

1. गोले का आयतन (Volume of a Sphere)

एक गोला पूर्णतः गोल त्रिविमीय (3D) आकृति है। इसका आयतन उसकी त्रिज्या ( $r$ ) पर निर्भर करता है।

सूत्र: यदि गोले की त्रिज्या $r$ है, तो:
$\text{गोले का आयतन} = \frac{4}{3} \pi r^3$

2. अर्धगोले का आयतन (Volume of a Hemisphere)

जब एक गोले को उसके केंद्र से दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो प्राप्त आकृति अर्धगोला कहलाती है। इसका आयतन पूरे गोले के आयतन का आधा होता है।

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सूत्र: यदि अर्धगोले की त्रिज्या $r$ है, तो:
$\text{अर्धगोले का आयतन} = \frac{2}{3} \pi r^3$

परीक्षा के लिए 10 महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (10 Important Q&A)

प्रश्न 1: उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 7 सेमी है।
हल:
दिया है: $r = 7$ सेमी
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7$
$V = \frac{4 \times 22 \times 49}{3} = \frac{4312}{3} \approx 1437.33 \text{ सेमी}^3$
अतः, गोले का आयतन 1437.33 सेमी³ है।

प्रश्न 2: 3.5 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: $r = 3.5 = \frac{7}{2}$ सेमी
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$
$V = \frac{11 \times 49}{3 \times 2} = \frac{539}{6} \approx 89.83 \text{ सेमी}^3$

प्रश्न 3: लोहे की एक गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस लोहे का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति सेमी³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल:
$r = \frac{4.2}{2} = 2.1$ सेमी
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 38.808 \text{ सेमी}^3$
द्रव्यमान $=$ आयतन $\times$ घनत्व $= 38.808 \times 8.9 \approx 345.39 \text{ ग्राम}$ ।

प्रश्न 4: एक अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या 3.5 सेमी है। इसके अंदर भरे जा सकने वाले पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
$r = 3.5$ सेमी
$V = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^3$
$V = 89.83 \text{ सेमी}^3$ (या मिलीलीटर)।

प्रश्न 5: चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
हल:
माना पृथ्वी का व्यास $d$ , त्रिज्या $R = d/2$ । चंद्रमा की त्रिज्या $r = R/4$ ।
पृथ्वी का आयतन $V_e = \frac{4}{3} \pi R^3$
चंद्रमा का आयतन $V_m = \frac{4}{3} \pi (\frac{R}{4})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{64}$
अतः, $V_m = \frac{1}{64} V_e$ । उत्तर: 1/64 वां भाग।

प्रश्न 6: व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
हल:
$r = 5.25$ सेमी
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 5.25 = 303.1875 \text{ सेमी}^3$
लीटर में $= 303.1875 / 1000 = 0.303$ लीटर (लगभग)।

प्रश्न 7: एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
$4\pi r^2 = 154 \implies 4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 154 \implies r^2 = \frac{154 \times 7}{88} = \frac{49}{4}$
$r = 7/2 = 3.5$ सेमी
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = 179.67 \text{ सेमी}^3$ ।

प्रश्न 8: एक अर्धगोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मी है, तो इस टंकी को बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
आंतरिक त्रिज्या ( $r$ ) = 1 मी, बाहरी त्रिज्या ( $R$ ) = 1 + 0.01 = 1.01 मी
लोहे का आयतन $= \frac{2}{3} \pi (R^3 - r^3) = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.01^3 - 1^3)$
$V = \frac{44}{21} \times (1.030301 - 1) = 0.06348 \text{ मी}^3$ (लगभग)।

प्रश्न 9: उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ है।
हल:
$S = 4\pi r^2 \implies r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$
आयतन $= \frac{4}{3} \pi (\sqrt{\frac{S}{4\pi}})^3$

प्रश्न 10: 27 लोहे के गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S'$ है। नए गोले की त्रिज्या $r'$ ज्ञात कीजिए।
हल:
27 छोटे गोलों का आयतन = 1 बड़े गोले का आयतन
$27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (r')^3$
$27r^3 = (r')^3 \implies (3r)^3 = (r')^3$
अतः, $r' = 3r$ ।

याद रखने योग्य बातें:

आयतन हमेशा घन इकाइयों ( $\text{cm}^3, \text{m}^3$ ) में होता है।
धारिता (Capacity): $1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ लीटर}$ और $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ लीटर}$ ।
यदि प्रश्न में व्यास दिया हो, तो उसे आधा करके त्रिज्या निकालना न भूलें।