MP Board 9th Circles Angle Subtended by an Arc of a Circle एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण

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MP Board 9th Circles Angle Subtended by an Arc of a Circle

यहाँ कक्षा 9 के गणित विषय के अध्याय “वृत्त” (Circles) के सबसे महत्त्वपूर्ण और स्कोरिंग विषय “एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण” (Angle Subtended by an Arc of a Circle) पर विस्तृत, द्विभाषी शीर्षकों (Bilingual Headings) वाले नोट्स और परीक्षा-उपयोगी प्रश्न-उत्तर दिए गए हैं।

अध्याय 9: वृत्त – एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Chapter 9: Circles – Angle Subtended by an Arc of a Circle)

1. चाप क्या है? (What is an Arc?)

वृत्त की परिधि (Circumference) के किसी भी सतत भाग (लगातार हिस्से) को चाप (Arc) कहते हैं।
यदि हम वृत्त पर दो बिंदु A और B लेते हैं, तो वृत्त दो चापों में बँट जाता है:

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  • लघु चाप (Minor Arc): छोटा हिस्सा।
  • दीर्घ चाप (Major Arc): बड़ा हिस्सा।

2. इस विषय के सबसे महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Most Important Theorems of this Topic)

इस भाग से परीक्षा में हर साल प्रश्न पूछे जाते हैं। इन तीन मुख्य प्रमेयों को अच्छे से समझ लें:

प्रमेय 1 (Theorem 1): केंद्र और परिधि के कोण का संबंध

“एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।”
(The angle subtended by an arc at the centre is double the angle subtended by it at any remaining part of the circle.)

  • व्याख्या: मान लीजिए एक चाप AB है। यह केंद्र O पर \angle AOB बनाता है और वृत्त की परिधि पर स्थित किसी बिंदु P पर \angle APB बनाता है। इस प्रमेय के अनुसार, केंद्र का कोण हमेशा परिधि के कोण का ठीक डबल (दुगुना) होगा।
  • सूत्र (Formula): \angle AOB = 2 \times \angle APB

प्रमेय 2 (Theorem 2): एक ही वृत्तखंड के कोण

“एक ही वृत्तखंड (Same segment) के कोण आपस में बराबर होते हैं।”
(Angles in the same segment of a circle are equal.)

  • व्याख्या: यदि एक चाप (या जीवा) AB वृत्त की परिधि पर दो अलग-अलग बिंदु P और Q पर कोण बनाती है (जहाँ P और Q वृत्त के एक ही तरफ स्थित हों), तो वे दोनों कोण बिल्कुल बराबर होंगे।
  • सूत्र: \angle APB = \angle AQB

प्रमेय 3 (Theorem 3): अर्धवृत्त का कोण

“अर्धवृत्त (Semicircle) का कोण समकोण (Right angle) होता है।”
(Angle in a semicircle is a right angle.)

  • व्याख्या: यदि चाप एक पूरा व्यास (Diameter) बन जाए (अर्थात् अर्धवृत्त), तो वह परिधि पर हमेशा 90^\circ का कोण बनाएगा।
  • सूत्र: यदि AB व्यास है, तो परिधि पर बना \angle APB = 90^\circ।

3. परीक्षा के लिए महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Important Q&A for Exams)

प्रश्न 1 (Question 1): एक वृत्त के चाप AB द्वारा केंद्र पर बना कोण 110^\circ है। इस चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर स्थित बिंदु C पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: प्रमेय 1 के अनुसार, केंद्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है।
\angle AOB = 2 \times \angle ACB
110^\circ = 2 \times \angle ACB
\angle ACB = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ

प्रश्न 2 (Question 2): चित्र में, A, B और C केंद्र O वाले वृत्त पर स्थित तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि \angle BOC = 30^\circ तथा \angle AOB = 60^\circ है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर एक बिंदु D है, तो \angle ADC ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सबसे पहले केंद्र पर बनने वाला कुल कोण (\angle AOC) निकालते हैं:
\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC
\angle AOC = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ
अब, प्रमेय के अनुसार केंद्र का कोण परिधि के कोण का दुगुना होता है:
\angle AOC = 2 \times \angle ADC
90^\circ = 2 \times \angle ADC
\angle ADC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ

प्रश्न 3 (Question 3): एक वृत्त में, जीवा PQ द्वारा एक ही वृत्तखंड (same segment) में दो कोण \angle PRQ और \angle PSQ बनते हैं। यदि \angle PRQ = 65^\circ है, तो \angle PSQ का मान क्या होगा?
उत्तर:
प्रमेय 2 के अनुसार, “एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।”
चूँकि \angle PRQ और \angle PSQ एक ही जीवा PQ द्वारा एक ही ओर बनाए गए हैं, इसलिए:
\angle PSQ = \angle PRQ
अतः \angle PSQ = 65^\circ।

प्रश्न 4 (Question 4): दी गई आकृति में, AB वृत्त का व्यास (diameter) है और C वृत्त पर कोई बिंदु है। यदि \angle CAB = 40^\circ है, तो \angle CBA का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
चूँकि AB व्यास है, इसलिए C पर बनने वाला कोण अर्धवृत्त का कोण होगा।
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण (90^\circ) होता है। अतः \angle ACB = 90^\circ।
अब \Delta ABC में, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180^\circ होता है:
\angle CAB + \angle ACB + \angle CBA = 180^\circ
40^\circ + 90^\circ + \angle CBA = 180^\circ
130^\circ + \angle CBA = 180^\circ
\angle CBA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ।

प्रश्न 5 (Question 5): एक वृत्त में \Delta ABC इस प्रकार बना है कि AB = AC है। यदि \angle BAC = 50^\circ है और बिंदु D लघु चाप BC पर स्थित है, तो \angle BDC ज्ञात कीजिए।
(संकेत: चक्रीय चतुर्भुज के नियम का भी उपयोग होगा)
उत्तर:
\Delta ABC में, AB = AC है, अतः उनके सम्मुख कोण बराबर होंगे (\angle B = \angle C)।
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
50^\circ + 2\angle B = 180^\circ \implies 2\angle B = 130^\circ \implies \angle B = 65^\circ और \angle C = 65^\circ।
चूँकि ABDC एक चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral) है, इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग 180^\circ होता है।
\angle A + \angle D = 180^\circ
50^\circ + \angle BDC = 180^\circ
\angle BDC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ।

इंटरैक्टिव सिमुलेशन: केंद्र और परिधि के कोण का संबंध

इस प्रमेय को गहराई से समझने के लिए (कि केंद्र का कोण हमेशा परिधि के कोण का दुगुना कैसे होता है), मैंने आपके लिए एक इंटरैक्टिव टूल तैयार किया है।

आप नीचे दिए गए टूल में बिंदु P (परिधि पर) को वृत्त के चारों ओर घुमाकर देख सकते हैं। आप देखेंगे कि बिंदु P चाहे जहाँ भी हो, कोण \angle APB नहीं बदलता (एक ही वृत्तखंड के कोण) और वह हमेशा केंद्र \angle AOB का ठीक आधा रहता है!

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