MP Board 9th Mathematics Factorization of Polynomials

कक्षा 9 गणित: बहुपदों का गुणनखंडन (Factorization of Polynomials) – विस्तृत नोट्स और महत्त्वपूर्ण प्रश्न

गणित में ‘बहुपदों का गुणनखंडन’ एक अत्यंत महत्त्वपूर्ण विषय है। किसी बहुपद को दो या दो से अधिक बहुपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना ही ‘गुणनखंडन’ (Factorization) कहलाता है। इस पोस्ट में हम गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem), मध्य पद को विभक्त करने की विधि (Splitting the middle term) और परीक्षा के दृष्टिकोण से 10 सबसे महत्त्वपूर्ण प्रश्नों को हल करेंगे।

1. गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem)

गुणनखंड प्रमेय बहुपदों के गुणनखंड ज्ञात करने का सबसे प्रमुख आधार है। इस प्रमेय के अनुसार:

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यदि $p(x)$ घात $n \ge 1$ वाला एक बहुपद हो और $a$ कोई वास्तविक संख्या हो, तो:

$x - a$ , बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है, यदि $p(a) = 0$ हो ।
$p(a) = 0$ होता है, यदि $x - a$ , बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड हो ।

2. द्विघाती बहुपदों का गुणनखंडन (मध्य पद को विभक्त करना)

$ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघाती बहुपदों का गुणनखंडन ‘मध्य पद को विभक्त करके’ (Splitting the middle term) किया जाता है ।

इसमें मध्य पद $b$ को ऐसी दो संख्याओं $p$ और $q$ के योगफल ( $p+q=b$ ) के रूप में लिखा जाता है, जिनका गुणनफल $ac$ ( $pq = ac$ ) के बराबर हो ।

3. त्रिघाती बहुपदों का गुणनखंडन

$ax^3 + bx^2 + cx + d$ के रूप वाले त्रिघाती बहुपदों का गुणनखंडन करने के लिए प्रारंभ में मध्य पद को विभक्त करने की विधि अधिक उपयोगी नहीं होती ।

इसमें सबसे पहले अचर पद के संभावित गुणनखंडों का पता लगाया जाता है ।
फिर ‘गुणनखंड प्रमेय’ (Factor Theorem) का उपयोग करके पहला गुणनखंड ज्ञात किया जाता है (अर्थात $x$ का वह मान ढूँढा जाता है जिस पर बहुपद शून्य हो जाए) ।
इसके बाद बहुपद को विभाजित करके शेष द्विघाती बहुपद प्राप्त किया जाता है, जिसका गुणनखंडन मध्य पद को विभक्त करके कर लिया जाता है ।

परीक्षा के लिए 10 महत्त्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल (10 Important Q&A)

प्रश्न 1: जाँच कीजिए कि $x + 2$ , बहुपद $x^3 + 3x^2 + 5x + 6$ का एक गुणनखंड है या नहीं ।

हल: मान लीजिए $p(x) = x^3 + 3x^2 + 5x + 6$ । $x + 2$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ अब $p(-2)$ का मान निकालेंगे: $p(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 5(-2) + 6$ $= -8 + 12 - 10 + 6$ $= 0$ चूँकि $p(-2) = 0$ है, अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $x + 2$ , दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है ।

प्रश्न 2: यदि $x - 1$ , बहुपद $4x^3 + 3x^2 - 4x + k$ का एक गुणनखंड है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए ।

हल: चूँकि $x - 1$ , $p(x) = 4x^3 + 3x^2 - 4x + k$ का एक गुणनखंड है, इसलिए $p(1) = 0$ होगा । $p(1) = 4(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1) + k = 0$ $4 + 3 - 4 + k = 0$ $3 + k = 0$ $k = -3$ अतः, $k$ का मान -3 है।

प्रश्न 3: गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि $g(x) = x + 1$ , बहुपद $p(x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1$ का एक गुणनखंड है या नहीं ।

हल: $g(x) = x + 1 \Rightarrow x = -1$ $p(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) - 1$ $= 2(-1) + 1 + 2 - 1$ $= -2 + 1 + 2 - 1 = 0$ चूँकि $p(-1) = 0$ है, अतः $g(x)$ , $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

प्रश्न 4: $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि $x - 1$ , बहुपद $p(x) = x^2 + x + k$ का एक गुणनखंड हो ।

हल: चूँकि $x - 1$ , $p(x)$ का एक गुणनखंड है, अतः $p(1) = 0$ होगा। $p(1) = (1)^2 + (1) + k = 0$ $1 + 1 + k = 0$ $2 + k = 0 \Rightarrow k = -2$ अतः, $k = -2$ है।

प्रश्न 5: मध्य पद को विभक्त करके $6x^2 + 17x + 5$ का गुणनखंडन कीजिए ।

हल: हमें ऐसी दो संख्याएँ ढूँढनी हैं जिनका योग 17 हो और गुणनफल $6 \times 5 = 30$ हो । वे संख्याएँ 2 और 15 हैं क्योंकि $2 + 15 = 17$ और $2 \times 15 = 30$ । $6x^2 + 17x + 5 = 6x^2 + (2 + 15)x + 5$ $= 6x^2 + 2x + 15x + 5$ $= 2x(3x + 1) + 5(3x + 1)$ $= (3x + 1)(2x + 5)$

प्रश्न 6: गुणनखंड ज्ञात कीजिए: $12x^2 - 7x + 1$ ।

हल: योग = -7 और गुणनफल = $12 \times 1 = 12$ संख्याएँ होंगी -4 और -3 (क्योंकि -4 – 3 = -7 और -4 \times -3 = 12)। $12x^2 - 4x - 3x + 1$ $= 4x(3x - 1) - 1(3x - 1)$ $= (4x - 1)(3x - 1)$

प्रश्न 7: गुणनखंड ज्ञात कीजिए: $6x^2 + 5x - 6$ ।

हल: योग = 5 और गुणनफल = $6 \times -6 = -36$ संख्याएँ होंगी 9 और -4 (क्योंकि 9 – 4 = 5 और 9 \times -4 = -36)। $6x^2 + 9x - 4x - 6$ $= 3x(2x + 3) - 2(2x + 3)$ $= (3x - 2)(2x + 3)$

प्रश्न 8: गुणनखंड प्रमेय की सहायता से $y^2 - 5y + 6$ का गुणनखंडन कीजिए ।

हल: मान लीजिए $p(y) = y^2 - 5y + 6$ । इसके गुणनखंड ज्ञात करने के लिए हम अचर पद 6 के गुणनखंड ढूँढेंगे, जो 1, 2, 3, 6 हैं । $p(2) = 2^2 - (5 \times 2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ । इसलिए $(y - 2)$ , $p(y)$ का एक गुणनखंड है । $p(3) = 3^2 - (5 \times 3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ । इसलिए $(y - 3)$ भी इसका एक गुणनखंड है । अतः, $y^2 - 5y + 6 = (y - 2)(y - 3)$ ।

प्रश्न 9: त्रिघाती बहुपद $x^3 - 2x^2 - x + 2$ का गुणनखंडन कीजिए ।

हल: इस प्रश्न को हम पदों को समूहित करके आसानी से हल कर सकते हैं: $x^3 - 2x^2 - x + 2$ $= x^2(x - 2) - 1(x - 2)$ $= (x^2 - 1)(x - 2)$ अब $x^2 - 1$ को $(x - 1)(x + 1)$ में तोड़ा जा सकता है। अतः गुणनखंड होंगे: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$

प्रश्न 10: $x^3 - 23x^2 + 142x - 120$ का गुणनखंडन कीजिए ।

हल: मान लीजिए $p(x) = x^3 - 23x^2 + 142x - 120$ । अचर पद -120 के गुणनखंड $\pm 1, \pm 2, \dots$ आदि होंगे । $x = 1$ रखकर जाँच करने पर: $p(1) = 1 - 23 + 142 - 120 = 0$ । अतः $(x - 1)$ इसका एक गुणनखंड है । अब $p(x)$ को $(x - 1)$ के रूप में लिखेंगे: $x^3 - x^2 - 22x^2 + 22x + 120x - 120$ $= x^2(x - 1) - 22x(x - 1) + 120(x - 1)$ $= (x - 1)(x^2 - 22x + 120)$ अब $x^2 - 22x + 120$ का गुणनखंडन मध्य पद विभक्त करके करेंगे: $= x^2 - 12x - 10x + 120$ $= x(x - 12) - 10(x - 12)$ $= (x - 10)(x - 12)$ अतः अंतिम गुणनखंड होंगे: $(x - 1)(x - 10)(x - 12)$ ।