MP Board 9th Mathematics Chapter 2 Polynomials Introduction

यहाँ कक्षा 9 के छात्रों के लिए “बहुपद” (Polynomials) के परिचय पर विस्तृत और सरल नोट्स दिए गए हैं। इन्हें आसानी से समझने के लिए शीर्षकों और उप-शीर्षकों में बाँटा गया है, और अंत में अभ्यास के लिए कुछ बुनियादी प्रश्न भी दिए गए हैं:

कक्षा 9 गणित: बहुपद (Polynomials) – एक विस्तृत परिचय

1. बुनियादी अवधारणाएँ: चर और अचर (Variables and Constants)

बहुपद को समझने से पहले हमें यह जानना होगा कि चर और अचर क्या होते हैं:

WhatsApp Channel Join Now

Telegram Channel Join Now

चर (Variable): चर को एक प्रतीक से प्रकट किया जाता है जो कोई भी वास्तविक मान धारण कर सकता है । हम चरों को सामान्यतः $x, y, z$ आदि अक्षरों से प्रकट करते हैं [cite: 17]। [cite_start]एक दी हुई समस्या में चर के मान में परिवर्तन होता रहता है ।
अचर (Constant): अचरों को प्रकट करने वाले अक्षर चर से भिन्न होते हैं (जैसे $a, b, c$ ) । किसी एक विशेष स्थिति में अचरों के मान सदा समान बने रहते हैं और बदलते नहीं हैं [।

2. बहुपद क्या है? (What is a Polynomial?)

जब अचर और चर आपस में मिलते हैं, तो बीजीय व्यंजक (Algebraic expressions) बनते हैं।

ऐसे बीजीय व्यंजक जिनमें चर के घातांक (powers) केवल पूर्ण संख्या (Whole numbers) होते हैं, उन्हें ‘एक चर वाला बहुपद’ कहा जाता है ।
यदि किसी बहुपद में चर $x$ हो, तो हम उसे $p(x), q(x)$ या $r(x)$ आदि से प्रकट कर सकते हैं ।
उदाहरण: $p(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7$ एक बहुपद है ।

क्या बहुपद नहीं है? (What is NOT a Polynomial?)

यदि किसी व्यंजक में चर की घात ऋणात्मक हो या भिन्न (fraction) में हो (अर्थात पूर्ण संख्या न हो), तो वह व्यंजक बहुपद नहीं कहलाता ।

उदाहरण 1: $x + \frac{1}{x}$ को $x + x^{-1}$ लिखा जा सकता है। यहाँ दूसरे पद का घातांक -1 है, जो पूर्ण संख्या नहीं है, अतः यह बहुपद नहीं है ।
उदाहरण 2: $\sqrt{x} + 3$ को $x^{\frac{1}{2}} + 3$ लिखा जाता है। यहाँ $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है, जो पूर्ण संख्या नहीं है, अतः यह भी बहुपद नहीं है।

3. बहुपद के पद और गुणांक (Terms and Coefficients)

पद (Terms): बहुपद के वे हिस्से जो ‘+’ या ‘-‘ चिह्न द्वारा अलग होते हैं, पद कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद $x^2 + 2x$ में व्यंजक $x^2$ और $2x$ बहुपद के पद कहे जाते हैं ।
गुणांक (Coefficient): बहुपद के प्रत्येक पद का एक गुणांक होता है [cite: 56]। उदाहरण के लिए, बहुपद $-x^3 + 4x^2 + 7x - 2$ में $x^3$ का गुणांक -1 है, $x^2$ का गुणांक 4 है, और $x$ का गुणांक 7 है ।

4. पदों की संख्या के आधार पर बहुपदों के प्रकार

बहुपदों को उनमें मौजूद पदों की संख्या के आधार पर बाँटा जाता है:

एकपदी (Monomial): केवल एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहा जाता है । उदाहरण: $2x, 5x^3, 2$ ।
द्विपद (Binomial): केवल दो पदों वाले बहुपदों को द्विपद कहा जाता है । उदाहरण: $x + 1, x^2 - x$
त्रिपद (Trinomial): केवल तीन पदों वाले बहुपदों को त्रिपद कहा जाता है । उदाहरण: $x + x^2 + \pi$ ।

5. बहुपद की घात (Degree of a Polynomial)

एक बहुपद में चर की अधिकतम घात (Highest power) वाले पद के घातांक को बहुपद की घात कहा जाता है ।

उदाहरण: बहुपद $3x^7 - 4x^6 + x + 9$ में चर $x$ की अधिकतम घात 7 है, अतः इस बहुपद की घात 7 है ।

6. घात के आधार पर बहुपदों के प्रकार

चर की अधिकतम घात के आधार पर बहुपदों को निम्नलिखित प्रकारों में बाँटा गया है:

]रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है [cite: 113]। ]इसका मानक रूप $ax + b$ होता है, जहाँ $a \neq 0$ । उदाहरण: $2x - 1, \sqrt{2}y + 1$ ।
द्विघाती बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 वाले बहुपद को द्विघाती या द्विघात बहुपद कहा जाता है । इसका रूप $ax^2 + bx + c$ होता है, जहाँ $a \neq 0$ । उदाहरण: $2x^2 + 5, 5 - y^2$ ।
त्रिघाती बहुपद (Cubic Polynomial): तीन घात वाले बहुपद को त्रिघाती बहुपद कहा जाता है । इसका रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ होता है, जहाँ $a \neq 0$ । उदाहरण: $4x^3, 5x^3 + x^2$ ।

7. अचर और शून्य बहुपद (Constant and Zero Polynomials)

अचर बहुपद: 2, 5, 7 आदि अचर बहुपदों के उदाहरण हैं । एक शून्येतर अचर बहुपद की घात शून्य होती है ।
शून्य बहुपद: अचर बहुपद 0 को शून्य बहुपद कहा जाता है । शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है [।

अभ्यास के लिए बुनियादी प्रश्न (Basic Questions for Practice)

प्रश्न 1: निम्नलिखित व्यंजकों में से कौन-से बहुपद हैं और कौन-से नहीं? कारण सहित बताएँ।
(a) $3x^2 - 4x + 15$
(b) $y^2 + \sqrt{2}$
(c) $3\sqrt{t} + t\sqrt{2}$
(d) $y + \frac{2}{y}$