MP Board 10th mathematics Real numbers Question Bank

MP Board 10th mathematics Real numbers Question Bank: आपने जो विषय (HCF और LCM) चुना है, उससे जुड़े कुछ महत्वपूर्ण तथ्य यहाँ दिए गए हैं जो परीक्षा के लिए उपयोगी हैं:

अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization): किसी भी भाज्य संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखना, HCF और LCM निकालने का पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम है।
- उदाहरण: $92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$ .
HCF (महत्तम समापवर्तक): दो या अधिक संख्याओं का HCF, उन संख्याओं में मौजूद “उभयनिष्ठ (common) अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों” का गुणनफल होता है।
- आपके उदाहरण (510 और 92) में: एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड ‘2’ है, और उसकी सबसे छोटी घात $2^1$ है। इसलिए HCF = 2 है।
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य): दो या अधिक संख्याओं का LCM, उन संख्याओं के “सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों” का गुणनफल होता है।
- आपके उदाहरण में: सभी गुणनखंड 2, 3, 5, 17, 23 हैं। इनकी सबसे बड़ी घातें $2^2, 3^1, 5^1, 17^1$ और $23^1$ हैं, जिनका गुणनफल 23460 है।
सबसे महत्वपूर्ण सूत्र (यह केवल दो संख्याओं के लिए लागू होता है):
$HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$

(दो संख्याओं का HCF और LCM का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।)
- यह सूत्र उत्तर की जाँच (Verification) करने के लिए बहुत उपयोगी है, जैसा कि आपने अपने चयनित पाठ में देखा है ( $46920 = 46920$ )।
- अगर आपको HCF और दोनों संख्याएँ पता हैं, तो आप इस सूत्र से LCM निकाल सकते हैं: $LCM = \frac{a \times b}{HCF}$
अतिरिक्त तथ्य:
- HCF हमेशा LCM को पूरी तरह विभाजित करता है। (HCF is always a factor of LCM).
- आपके उदाहरण में: 23460, 2 से पूरी तरह विभाज्य है।

MP Board 10th mathematics Real numbers Question Bank

प्र.1. सही विकल्प चुनिये

96 और 404 का HCF होगा:
- (a) 120
- (b) 4
- (c) 10
- (d) 3
- उत्तर: (b) 4
12 और 15 का HCF होगा:
- (a) 3
- (b) 4
- (c) 10
- (d) 5
- उत्तर: (a) 3
दो संख्याओं का गुणनफल = 32 तथा उनका LCM = 8 है तो उनका HCF होगा:
- (a) 4
- (b) 8
- (c) 32
- (d) 256
- उत्तर: (a) 4
4 और 7 का महत्तम समापवर्तक (HCF) होगा:
- (a) 1
- (b) 2
- (c) 3
- (d) 4
- उत्तर: (a) 1
संख्याओं 5, 15, 20 के लिए LCM और HCF का अनुपात होगा:
- (a) 9:1
- (b) 4:3
- (c) 11:1
- (d) 12:1
- उत्तर: (d) 12:1
निम्नलिखित में से कौनसी अपरिमेय संख्या है:
- (a) 2
- (b) 3
- (c) 5
- (d) उपरोक्त सभी
- उत्तर: (d) उपरोक्त सभी
12, 15 और 21 का LCM होगा:
- (a) 180
- (b) 315
- (c) 420
- (d) 252
- उत्तर: (c) 420
यदि दो संख्याओं का गुणनफल 135 तथा उनका HCF 3 हो तो उनका LCM होगा:
- (a) 45
- (b) 315
- (c) 420
- (d) 135
- उत्तर: (a) 45
17, 23 और 29 का HCF होगा:
- (a) 1
- (b) 29
- (c) 23
- (d) 17
- उत्तर: (a) 1
11 और 13 का HCF होगा:
- (a) 11
- (b) 13
- (c) 143
- (d) 1
- उत्तर: (d) 1
8, 9 और 25 का LCM होगा:
- (a) 72
- (b) 225
- (c) 1800
- (d) 2000
- उत्तर: (c) 1800
5−2 कौनसी संख्या है:
- (a) परिमेय
- (b) अपरिमेय
- (c) परिमेय और अपरिमेय दोनों
- (d) उपरोक्त में से कोई नहीं
- उत्तर: (b) अपरिमेय
15 और 20 का LCM होगा:
- (a) 60
- (b) 300
- (c) 30
- (d) 90
- उत्तर: (a) 60

प्र.2. रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिये

संख्याओं 8, 9 और 25 के HCF का मान …….. होगा |
- उत्तर: 1
2 एक …….. संख्या है |
- उत्तर: अपरिमेय
135 और 225 का HCF …….. है |
- उत्तर: 45
32 एक …….. संख्या है |
- उत्तर: अपरिमेय

प्र.3. सत्य / असत्य लिखिये

एक प्राकृत संख्या का अभाज्य गुणनखंडन, उसके गुणनखंडों के क्रम को छोड़ते हुए अद्वितीय होता है |
- उत्तर: सत्य
प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है |
- उत्तर: सत्य
प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है |
- उत्तर: असत्य
15 और 21 का LCM 105 है |
- उत्तर: सत्य
21 एक परिमेय संख्या है |
- उत्तर: असत्य
दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है |
- उत्तर: सत्य
26 और 91 का HCF 13 होगा |
- उत्तर: सत्य

प्र.4. सही जोड़ी मिलाइये

स्तम्भ – अ	स्तम्भ – ब	उत्तर
1. 306 और 657 का HCF	(i). अपरिमेय	1. → (iii). 9
2. 2 संख्या है:	(ii). 27	2. → (i). अपरिमेय
3. 9 और 27 का LCM है	(iii). 9	3. → (ii). 27

प्र.5. एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिये

94 और 404 का HCF लिखिए |
- उत्तर: 2
संख्या 156 के अभाज्य गुणनखंड लिखिए |
- उत्तर: 22×3×13
दो प्राकृत संख्याओं के लिए HCF और LCM में क्या संबंध होता है ?
- उत्तर: HCF(a,b)×LCM(a,b)=a×b
6, 12 और 30 का LCM कितना होगा ?
- उत्तर: 60
क्या 5 एक अपरिमेय संख्या है ?
- उत्तर: हाँ
संख्याओं 8, 9 और 25 का HCF कितना होगा?
- उत्तर: 1
संख्या 5005 के अभाज्य गुणनखंड लिखिए |
- उत्तर: 5×7×11×13

प्र.6: संख्याओं 135 और 225 का HCF ज्ञात कीजिए।

हल:

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हल: अभाज्य गुणनखंडन विधि से:

135 के गुणनखंड: $135 = 3 \times 45$ $135 = 3 \times 3 \times 15$ $135 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 3^3 \times 5$
225 के गुणनखंड: $225 = 5 \times 45$ $225 = 5 \times 5 \times 9$ $225 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 = 3^2 \times 5^2$

HCF के लिए, हम उभयनिष्ठ (common) गुणनखंडों की सबसे छोटी घात लेते हैं: $HCF = 3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45$

उत्तर: HCF = 45

प्र.7: संख्या 140 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

$140 = 2 \times 70$

$140 = 2 \times 2 \times 35$

$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7$

उत्तर: $140 = 2^2 \times 5 \times 7$

प्र.8: संख्या 156 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

$156 = 2 \times 78$

$156 = 2 \times 2 \times 39$

$156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$

उत्तर: $156 = 2^2 \times 3 \times 13$

प्र.9: संख्या 3825 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

$3825 = 5 \times 765$

$3825 = 5 \times 5 \times 153$

$3825 = 5 \times 5 \times 3 \times 51$

$3825 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 17$

उत्तर: $3825 = 3^2 \times 5^2 \times 17$

प्र.10: संख्या 7429 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

(यह 17 से विभाज्य है)

$7429 = 17 \times 437$

(437, 19 से विभाज्य है)

$7429 = 17 \times 19 \times 23$

उत्तर: $7429 = 17 \times 19 \times 23$

प्र.11: संख्याओं 9 और 25 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF ज्ञात कीजिए।

हल:

$9 = 3 \times 3 = 3^2$

$25 = 5 \times 5 = 5^2$

इन दोनों में कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

उत्तर: HCF = 1

प्र.16: …जाँच कीजिए कि क्या n का कोई मान है… जिसके लिए $4^n$ अंक शून्य (0) पर समाप्त होता है।

हल:

यदि कोई संख्या अंक 0 पर समाप्त होती है, तो वह 10 से विभाज्य होनी चाहिए। इसका मतलब है कि उसके अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 दोनों होने चाहिए।

$4^n$ के गुणनखंड करने पर:

$4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$

$4^n$ के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 है, 5 नहीं है।

उत्तर: $n$ के किसी भी प्राकृत मान के लिए $4^n$ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकता।

प्र.17: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

हम इसे विरोधाभास (contradiction) द्वारा सिद्ध करेंगे।

मान लीजिए $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
तो, हम $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं (अर्थात, $a$ और $b$ में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है) और $b \neq 0$ .
$b\sqrt{2} = a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2b^2 = a^2$ .
इसका अर्थ है कि $a^2$ , 2 से विभाज्य है। यदि $a^2$ , 2 से विभाज्य है, तो $a$ भी 2 से विभाज्य होगा।
तो, हम $a = 2c$ लिख सकते हैं (जहाँ $c$ कोई पूर्णांक है)।
$a$ का यह मान समीकरण (4) में रखने पर: $2b^2 = (2c)^2$ => $2b^2 = 4c^2$ => $b^2 = 2c^2$ .
इसका अर्थ है कि $b^2$ , 2 से विभाज्य है, इसलिए $b$ भी 2 से विभाज्य होगा।
बिंदु (5) और (8) से, $a$ और $b$ दोनों 2 से विभाज्य हैं।
यह हमारी प्रारंभिक मान्यता (बिंदु 2) का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
यह विरोधाभास हमारी गलत कल्पना के कारण हुआ है।अतः, $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्र.18: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

(यह हल प्र.17 के समान है)

मान लीजिए $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है, $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ (जहाँ $a, b$ सह-अभाज्य हैं, $b \neq 0$ ).
$3b^2 = a^2$ .
$a^2$ , 3 से विभाज्य है, इसलिए $a$ भी 3 से विभाज्य है।
$a = 3c$ मान रखने पर: $3b^2 = (3c)^2$ => $3b^2 = 9c^2$ => $b^2 = 3c^2$ .
$b^2$ , 3 से विभाज्य है, इसलिए $b$ भी 3 से विभाज्य है।
$a$ और $b$ दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है, जो हमारी सह-अभाज्य की मान्यता का खंडन करता है।अतः, $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्र.19: सिद्ध कीजिए कि $7\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

मान लीजिए $7\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
तो, $7\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ (जहाँ $a, b$ पूर्णांक हैं, $b \neq 0$ ).
$\sqrt{2} = \frac{a}{7b}$ .
चूँकि $a$ , $b$ और 7 पूर्णांक हैं, $\frac{a}{7b}$ एक परिमेय संख्या होगी।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या है।
लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।अतः, $7\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्र.20: संख्या 4, 16 और 20 HCF ज्ञात कीजिए।

हल:

$4 = 2 \times 2 = 2^2$

$16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

$20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$

HCF (उभयनिष्ठ गुणनखंड की सबसे छोटी घात) = $2^2$

उत्तर: HCF = 4

प्र.21: HCF (306, 657) = 9 दिया है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं: $HCF \times LCM = \text{दो संख्याओं का गुणनफल}$

$9 \times LCM = 306 \times 657$

$LCM = \frac{306 \times 657}{9}$

$LCM = 34 \times 657$

$LCM = 22338$

उत्तर: LCM = 22338

प्र.22: 13 और 39 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

$13 = 13$

$39 = 3 \times 13$

$HCF = 13$

$LCM = 3 \times 13 = 39$

उत्तर: HCF = 13, LCM = 39

प्र.23: संख्याओं 6 और 20 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

$6 = 2 \times 3$

$20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$

HCF (उभयनिष्ठ, छोटी घात) = $2$

LCM (सभी, बड़ी घात) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 15 = 60$

उत्तर: HCF = 2, LCM = 60

प्र.24: संख्याओं 6, 72 और 120 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

$6 = 2 \times 3$

$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$

$120 = 10 \times 12 = (2 \times 5) \times (2^2 \times 3) = 2^3 \times 3 \times 5$

HCF (उभयनिष्ठ, छोटी घात) = $2^1 \times 3^1 = 6$

LCM (सभी, बड़ी घात) = $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360$

उत्तर: HCF = 6, LCM = 360

प्र.25: …पूर्णांकों 12, 15 और 21 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

$15 = 3 \times 5$

$21 = 3 \times 7$

HCF (उभयनिष्ठ) = $3$

LCM (सभी, बड़ी घात) = $2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 12 \times 35 = 420$

उत्तर: HCF = 3, LCM = 420

प्र.26: व्याख्या कीजिए कि $7 \times 11 \times 13 + 13$ और $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5$ भाज्य संख्याएँ क्यों हैं?

हल:

भाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके 1 और स्वयं के अलावा भी गुणनखंड होते हैं।

पहली संख्या: $7 \times 11 \times 13 + 13$ इसमें से 13 कॉमन लेने पर: $= 13 \times ( (7 \times 11) + 1 )$ $= 13 \times (77 + 1)$ $= 13 \times 78$ चूंकि इस संख्या का एक गुणनखंड 13 (और 78) है, यह एक भाज्य संख्या है।
दूसरी संख्या: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5$ इसमें से 5 कॉमन लेने पर: $= 5 \times ( (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) + 1 )$ $= 5 \times (1008 + 1)$ $= 5 \times 1009$ चूंकि इस संख्या का एक गुणनखंड 5 (और 1009) है, यह एक भाज्य संख्या है।

प्र.27: दर्शाइए कि $5 - \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है?

हल:

मान लीजिए $5 - \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।

तो, $5 - \sqrt{3} = \frac{a}{b}$ (जहाँ $a, b$ पूर्णांक हैं, $b \neq 0$ ).

$\sqrt{3}$ को एक तरफ करने पर:
$5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$
$\frac{5b - a}{b} = \sqrt{3}$

चूँकि $a$ , $b$ और 5 पूर्णांक हैं, $\frac{5b - a}{b}$ एक परिमेय संख्या होगी।

इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ भी एक परिमेय संख्या है।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, $5 - \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्र.28: …96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए और फिर इनका LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

HCF:
$96 = 2 \times 48 = 2^2 \times 24 = 2^3 \times 12 = 2^4 \times 6 = 2^5 \times 3$
$404 = 2 \times 202 = 2^2 \times 101$
HCF (उभयनिष्ठ, छोटी घात) = $2^2 = 4$

LCM:
हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $HCF \times LCM = 96 \times 404$
$4 \times LCM = 96 \times 404$
$LCM = \frac{96 \times 404}{4}$
$LCM = 96 \times 101 = 9696$

उत्तर: HCF = 4, LCM = 9696

उत्तर: HCF = 4, LCM = 9696

प्र.29: संख्याओं 26 और 91 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा जाँच कीजिए…

हल:

HCF और LCM:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
HCF = 13
LCM = $2 \times 7 \times 13 = 182$

जाँच:
दो संख्याओं का गुणनफल = $26 \times 91 = 2366$
$HCF \times LCM = 13 \times 182 = 2366$
अतः, $\text{गुणनफल} = HCF \times LCM$ (सत्यापित)

प्र.30: संख्याओं 510 और 92 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा जाँच कीजिए…

हल:

HCF और LCM:
$510 = 10 \times 51 = (2 \times 5) \times (3 \times 17) = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 46 = 2^2 \times 23$
HCF (उभयनिष्ठ, छोटी घात) = $2$
LCM (सभी, बड़ी घात) = $2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 4 \times 15 \times 17 \times 23 = 60 \times 17 \times 23 = 1020 \times 23 = 23460$

जाँच:
दो संख्याओं का गुणनफल = $510 \times 92 = 46920$
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
अतः, $\text{गुणनफल} = HCF \times LCM$ (सत्यापित)

प्र.31: संख्याओं 17, 23 और 29 का … HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

$17 = 17$ (अभाज्य)

$23 = 23$ (अभाज्य)

$29 = 29$ (अभाज्य)

HCF:चूँकि ये तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इनमें कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड (1 के अलावा) नहीं है।HCF = 1
LCM:LCM इनका गुणनफल होगा। $LCM = 17 \times 23 \times 29 = 391 \times 29 = 11339$

उत्तर: HCF = 1, LCM = 11339