MP Board 12th Mathematics Vector Algebra Question Bank कक्षा 12 गणित अध्याय-10 सदिश बीजगणित प्रश्न बैंक

MP Board 12th Mathematics Vector Algebra Question Bank: कक्षा 12 गणित अध्याय-10 सदिश बीजगणित प्रश्न बैंक MP Board 12th Mathematics Vector Algebra Question Bank परिक्षपयोगी प्रश्नो का संग्रह जो परीक्षा मे अत्यंत उपयोगी हैं ।

ज़रूर, यहाँ आपके द्वारा स्कैन किए गए “सदिश बीजगणित” (Vector Algebra) नोट्स का LaTeX/MathJax का उपयोग करके प्रतिलेखन (transcription) दिया गया है:

अध्याय-10 सदिश बीजगणित

स्मरणीय तथ्य (Memorable Facts)

$\star$ ऐसी राशि जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, सदिश राशि कहलाती है।

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$\star$ सदिश $\text{AB}$ को $\vec{AB}$ या $\mathbf{a}$ से प्रदर्शित करते हैं।

$\star$ $\text{A}$ को प्रारम्भिक बिन्दु तथा $\text{B}$ को अन्तिम बिन्दु कहते हैं।

$\star$ $\vec{AB} = - \vec{BA}$

$\star$ स्थिति सदिश (Position Vector): मूल बिन्दु $\text{O}(0, 0, 0)$ के सापेक्ष किसी बिन्दु $\text{P}$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं, तो सदिश $\vec{OP}$ को बिन्दु $\text{P}$ का स्थिति सदिश कहते हैं, जहाँ $\text{O}$ प्रारम्भिक बिन्दु तथा $\text{P}$ अन्तिम बिन्दु है।

अतः $\text{P}$ का स्थिति सदिश $= \vec{OP}$

$= x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$

$\star$ यदि $\text{A}$ व $\text{B}$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}$ व $\vec{b}$ हैं तो $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$\star$ दिक कोज्या (Direction Cosines): माना $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ , $X$ -अक्ष, $Y$ -अक्ष एवं $Z$ -अक्ष के साथ क्रमशः $\alpha, \beta$ एवं $\gamma$ कोण बनाता है तो $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ को $\vec{r}$ की दिककोज्याएँ कहा जाता है।

$\star$ दिक कोज्याओं को $l, m, n$ से प्रदर्शित किया जाता है। अर्थात

$\cos\alpha = l$

$\cos\beta = m$

$\cos\gamma = n$

$l = \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

$m = \cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

$n = \cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

$l^2 + m^2 + n^2 = 1 \text{ या } \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

$\star$ शून्य सदिश (zero vector, null vector): वह सदिश जिसका प्रारम्भिक एवं अन्तिम बिन्दु सम्पाती होता है। इसे $\vec{0}$ से या $\vec{AA}, \vec{BB} \dots$ आदि से निर्दिष्ट किया जाता है। इसका परिमाण शून्य होता है।

$\star$ संरेख सदिश (Collinear Vectors): दो या दो से अधिक सदिश जो एक ही रेखा के समांतर हों, संरेख सदिश कहलाते हैं।

$\star$ समान सदिश (Equal Vector): दो सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ समान सदिश कहलाते हैं यदि उनके परिमाण एवं दिशा समान है। इन्हें $\vec{a} = \vec{b}$ के रूप में लिखा जाता है।

$\star$ ऋणात्मक सदिश (Negative of a vector): एक सदिश जिसका परिमाण, दिये हुए सदिश के समान है परन्तु दिशा विपरीत हो ऋणात्मक सदिश कहलाता है। उदाहरण सदिश $\vec{BA}$ का ऋणात्मक सदिश है।

$\vec{AB} = - \vec{BA}$

$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$

$\vec{AA} = \vec{0}$

$\star$ अदिश से सदिश का गुणनफल: $\lambda \cdot \vec{a}$
यहाँ $\lambda$ , सदिश $\vec{a}$ का संरेख है तथा $\lambda$ का मान धनात्मक या ऋणात्मक होने के अनुसार इसकी दिशा समान या विपरीत होती है।

$\star$ एक सदिश के घटक (Components of a vector):
यदि $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ हो तो $x, y, z$ $\vec{r}$ के अदिश घटक कहलाते हैं तथा $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ सदिश $\vec{r}$ के सदिश घटक कहलाते हैं।

$\star$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश: $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।

$\star$ किसी सदिश का परिमाण: यदि $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ हो तो सदिश $\vec{r}$ का परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\star$ सदिशों के योग का त्रिभुज नियम

$\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ} \text{ या } \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

$\star$ $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$ सदिश योगफल के गुणधर्म

क्रम विनिमय नियम का पालन करता है। अर्थात $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
साहचर्य नियम का पालन करता है। अर्थात $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
शून्य सदिश $\vec{0}$ को सदिश योगफल के लिये योज्य सर्वसमिका कहा जाता है। अर्थात $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$

$\star$ किसी सदिश का इकाई सदिश: किसी सदिश $\vec{a}$ का इकाई सदिश $\hat{a}$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है तथा $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

$\star$ दो बिन्दुओं को मिलाने वाला सदिश:
यदि $\vec{A} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j} + z_1\hat{k}$ तथा
$\vec{B} = x_2\hat{i} + y_2\hat{j} + z_2\hat{k}$ हो तो

$\vec{AB} = (x_2\hat{i} + y_2\hat{j} + z_2\hat{k}) - (x_1\hat{i} + y_1\hat{j} + z_1\hat{k})$

$= (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$

$\star$ खण्ड सूत्र (Section Formula): यदि बिन्दु $\text{R}$ , $\text{P}$ एवं $\text{Q}$ को $m : n$ में अंत: विभाजित करता है तो $\text{R}$ का स्थिति सदिश $\vec{OR}$ होगा।

$\vec{OR} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$

$\star$ यदि बिन्दु $\text{R}$ , $\text{P}$ और $\text{Q}$ को बाह्यतः विभाजित करता है तो $\vec{OR} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}$

$\star \text{यदि } \vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} \text{ तथा}$

$\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k} \text{ हो तब}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

$\star \text{दो सदिशों का सदिश गुणनफल (Vector Product or cross product): दो शून्योत्तर सदिशों } \vec{a} \text{ तथा } \vec{b} \text{ का सदिश}$

$\text{गुणनफल } \vec{a} \times \vec{b} \text{ से निर्दिष्ट किया जाता है और } \vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \hat{n} \text{ में जहाँ } \theta, \vec{a} \text{ व } \vec{b} \text{ के बीच का कोण है}$

$(0 \leq \theta \leq \pi) \text{ तथा } \hat{n} \text{ एक मात्रक सदिश है जो } \vec{a} \text{ व } \vec{b} \text{ के लम्बवत् है।}$

$\star \text{महत्वपूर्ण तथ्य :-}$

$\text{1. } \vec{a} \times \vec{b} \text{ एक सदिश राशि है}$

$\text{2. यदि } \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

$\text{या } \vec{a} || \vec{b} \text{ या } \vec{a} = \vec{0} \text{ अथवा } \vec{b} = \vec{0}$

$\text{3. } \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$

$\text{4. सदिश गुणनफल क्रम विनिमय नियम का पालन नहीं करता। अर्थात } \vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$

$\star \quad \hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$

$\star \quad \hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$

$\star \quad \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0}$

$\star \quad \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k} \text{ एवं } \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$

$\star \quad \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} \text{ एवं } \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$

$\star \quad \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j} \text{ एवं } \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$

$\star \quad \vec{a} \text{ व } \vec{b} \text{ के लम्बवत मात्रक सदिश} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$

$\star \quad \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल :- यदि } \vec{a} \text{ और } \vec{b} \text{ त्रिभुज की संलग्न भुजाओं को प्रदर्शित करते हैं तब}$

$\Delta ABC \text{ का क्षे.} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \text{ या }$

$\Delta \text{ का क्षे.} = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$

$\star \quad \text{समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल :- यदि } \vec{a} \text{ व } \vec{b} \text{ किसी समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाओं को प्रदर्शित करते हैं तो}$

$\text{समांतर चतुर्भुज का क्षे.} = |\vec{a} \times \vec{b}|$

$= |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$

$\star \quad \text{यदि } \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta \text{ दिया हो तो दोनों सदिशों के बीच का कोण } \theta$

$\text{समी } \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \text{ द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।}$

$\star \quad \text{यदि } \vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \hat{n} \text{ दिया हो तो दोनों के बीच का कोण } \theta \text{ ज्ञात करने के लिये}$

$\text{या } |\vec{a} \times \vec{b}| = ||\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \hat{n} |$

$\text{या } |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\sin\theta| |\hat{n}|$

$\text{या } |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \quad (\text{चूँकि } |\hat{n}| = 1 \text{ तथा } 0 \leq \theta \leq \pi \text{ के लिए } \sin\theta \geq 0)$

$\text{या } \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \sin\theta$

ज़रूर, यहाँ आपके द्वारा स्कैन किए गए बहुविकल्पीय प्रश्नों (Multiple Choice Questions) का LaTeX/MathJax का उपयोग करके प्रतिलेखन (transcription) दिया गया है:

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनिए (Choose the correct option)

(i) किसी त्रिभुज $\text{ABC}$ के लिए निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है
(a) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$
(b) $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$
(c) $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = \vec{0}$
(d) $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{AC} = \vec{0}$

(ii) यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है
(a) $\vec{b} = \pi \vec{a}$ किसी अदिश $\pi$ के लिए
(b) $\vec{a} = \pm \vec{b}$
(c) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के क्रमागत घटक समानुपाती नहीं है
(d) दोनों सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ की दिशा समान है परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।

(iii) यदि शून्येतर सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $a$ है और $\pi$ एक शून्येतर अदिश है तथा $\pi \vec{a}$ एक मात्रक सदिश है यदि :
(a) $\pi = 1$
(b) $\pi = -1$
(c) $a = |\pi|$
(d) $a = \frac{1}{|\pi|}$

(iv) यदि सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}| = 3$ और $|\vec{b}| = \frac{\sqrt{2}}{3}$ तब $|\vec{a} \times \vec{b}|$ एक मात्रक सदिश है यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है :
(a) $\frac{\pi}{6}$
(b) $\frac{\pi}{4}$
(c) $\frac{\pi}{3}$
(d) $\frac{\pi}{2}$

(v) यदि आयत के शीर्ष $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ और $\text{D}$ हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$ , $\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$ , $\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$ और $-\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$ का क्षेत्रफल है:
(a) $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई
(b) $1$ वर्ग इकाई
(c) $2$ वर्ग इकाई
(d) $4$ वर्ग इकाई

(vi) यदि दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच कोण $\theta$ हो तो $\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$ होगा यदि
(a) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
(b) $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$
(c) $0 < \theta < \pi$
(d) $0 \leq \theta \leq \pi$

(vii) यदि दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण $\theta$ है तो $\vec{a} + \vec{b}$ एक मात्रक सदिश है यदि
(a) $\theta = \frac{\pi}{4}$
(b) $\theta = \frac{\pi}{3}$
(c) $\theta = \frac{\pi}{2}$
(d) $\theta = \frac{2\pi}{3}$

(viii) $\hat{i} \times (\hat{j} \times \hat{k}) + \hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) + \hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j})$ का मान है:
(a) $0$
(b) $-1$
(c) $1$
(d) $3$

(ix) यदि दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ हो तो $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$ जब $\theta$ बराबर है :
(a) $\theta = \frac{\pi}{4}$
(b) $\theta = \frac{\pi}{3}$
(c) $\theta = \frac{\pi}{2}$
(d) $\theta = \frac{2\pi}{3}$

(x) $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश होगा –
(a) $\hat{i}$
(b) $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
(c) $a^2$
(d) $|\vec{a}|$

(xi) किसी त्रिभुज $\text{ABC}$ में $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$ का मान होगा –
(a) $\vec{0}$
(b) $1$
(c) $\vec{a}$
(d) $\vec{a}$

(xii) यदि $\vec{OA} = \vec{a}$ तथा $\vec{OB} = \vec{b}$ हो तो $\vec{AB}$ का मान होगा –
(a) $\vec{a} + \vec{b}$
(b) $\vec{b} - \vec{a}$
(c) $\vec{a} - \vec{b}$
(d) $a^2 + b^2$

(xiii) निम्न में से शून्य सदिश है –
(a) $\vec{AA}$
(b) $\vec{AB}$
(c) $\vec{BA}$
(d) $|\vec{AB}|$

(xiv) $\hat{i} \times \hat{i}$ का मान होगा –
(a) $\vec{0}$
(b) $1$
(c) $\hat{2}$
(d) कुछ नहीं

(xv) $\hat{i} \times \hat{j}$ का मान होगा –
(a) $\hat{k}$
(b) $\hat{i}$
(c) $\hat{j}$
(d) $\vec{0}$

(xvi) $\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k})$ का मान होगा –
(a) $\hat{k}$
(b) $\hat{i}$
(c) $1$
(d) $\vec{0}$

(xvii) यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समान्तर हों तो $\vec{a} \times \vec{b}$ होगा –
(a) $1$
(b) $ab \sin\theta$
(c) $ab$
(d) $\vec{0}$

(xviii) $\hat{i} \times (\hat{j} \times \hat{k})$ का मान होगा –
(a) $\hat{j}$
(b) $\hat{i}$
(c) $\vec{0}$
(d) $0$

(xix) $l, m, n$ को कहते हैं –
(a) दिक-स्थान
(b) दिक कोज्या
(c) कोण
(d) सदिश

(xx) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ है एक –
(a) सदिश राशि
(b) अदिश राशि
(c) संरेख सदिश
(d) ऋणात्मक सदिश

(xxi) $\vec{a} \times \vec{b}$ है एक –
(a) सदिश राशि
(b) अदिश राशि
(c) संरेख सदिश
(d) समान सदिश

(xxii) यदि $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ हो तो सदिश $\vec{r}$ का परिमाण होगा –
(a) $x + y + z$
(b) $x^2 + y^2 + z^2$
(c) $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
(d) $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$

(xxiii) $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$ का मान होगा –
(a) $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
(b) $\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}$
(c) $ab - ac$
(d) $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

(xxiv) दो सदिशों $5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ तथा $\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ के बीच का कोण होगा –
(a) $30^\circ$
(b) $0^\circ$
(c) $90^\circ$
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न-2 निम्नलिखित में से सत्य/असत्य लिखिए।

i) त्रिभुज की तीनों भुजाओं को एक क्रम में लेने पर उनका सदिश योग 1 होता है।
ii) दिए हुए सदिश $\vec{a}$ के लिए $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ , $\vec{a}$ की दिशा में मात्रक सदिश होता है।
iii) एक सदिश के सदिश घटक इसके दिक अनुपात कहलाते हैं।
iv) यदि किसी समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं तो उसका क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा प्राप्त होता है।
v) यदि $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$ हो तो $\vec{a}$ व $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ होगा।
vi) $\hat{i} \times (\hat{j} \times \hat{k}) + \hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) + \hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j})$ का मान $1$ है।
vii) यदि $\theta$ का मान $\pi$ हो तो $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| |\vec{b}|$ होगा।
viii) यदि $\text{A}$ व $\text{B}$ का स्थिति सदिश $\vec{a}$ व $\vec{b}$ हो तो $\vec{AB}$ का मान $(\vec{b} - \vec{a})$ होगा।
ix) $(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ का परिमाण $1$ है।
x) $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ होता है।
xi) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ है।
xii) $(3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ और $(2\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k})$ परस्पर लंब हैं।
xiii) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5\sqrt{2}$ , $|\vec{a}| = 2$ , $|\vec{b}| = 5$ हो तो दोनों के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ होगा।
xiv) $l^2 + m^2 + n^2$ का मान $1$ होता है।

प्र. 3. सही जोड़ी बनाइये –

क्र.सं.	स्तम्भ A (Column A)	स्तम्भ B (Column B)
(i)	$\text{P}(2, -3)$ व $\text{Q}(-1, -1)$ तो	\vec{PQ}
(ii)	$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 8\hat{k}$ तथा $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ हो तो $</td><td>\vec{a} + \vec{b}</td></tr><tr><td>(iii)</td><td>$ \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) $</td><td>(c) 10</td></tr><tr><td>(iv)</td><td>यदि$ \vec{a} = \hat{i} – \hat{j} + 5\hat{k} $तथा$ \vec{b} = 3\hat{i} – 2\hat{k} + \hat{j} $हो तो$ \vec{a} \cdot \vec{b} $</td><td>(d)$ \vec{0} $</td></tr><tr><td>(v)</td><td>$ (\hat{i} + \hat{j}) $के समांतर इकाई सदिश</td><td>(e) शून्य सदिश</td></tr><tr><td>(vi)</td><td>जिस सदिश का आदि एवं अंतिम बिन्दु सम्पाती हो।</td><td>(f)$ \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{j}}{\sqrt{2}} $</td></tr><tr><td>(vii)</td><td>यदि$ \vec{a} \perp \vec{b} $तब$	\vec{a} + \vec{b}
(viii)	$\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} =$	(h) $</td></tr></tbody></table></figure> <!-- /wp:table --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading"><strong>प्रश्न 4. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।</strong></h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> i) यदि दो शून्येतर सदिशों$ \vec{a} $व$ \vec{b} $तथा$ \theta = \frac{\pi}{2} $तो$ \|\vec{a} \times \vec{b}\| = \dots \dots \dots \dots \dots \dots $ii)$ \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \dots \dots \dots \dots \dots \dots $iii) यदि बिन्दु$ \text{A}, \text{B} $और$ \text{C} $संरेख हैं तो$ \|\vec{AC}\| = \dots \dots \dots \dots \dots \dots + \|\vec{BC}\| $iv) दो सदिशों$ \vec{a} $और$ \vec{b} $के लिए सदैव$ \|\vec{a} \cdot \vec{b}\| \dots \dots \dots \dots \dots \dots \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| $v) यदि$ \vec{a} $व$ \vec{b} $लम्बवत हो तो$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \dots \dots \dots \dots \dots \dots $vi) यदि$ \vec{a} $व$ \vec{b} $समान्तर हो तो$ \vec{a} = \dots \dots \dots \dots \dots \dots $vii) यदि$ \vec{a} $व$ \vec{b} $समान्तर हो तो$ \vec{a} \times \vec{b} = \dots \dots \dots \dots \dots \dots $viii) यदि$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} $हो तो$ \vec{a} $व$ \vec{b} $के बीच का कोण$ \dots \dots \dots \dots \dots \dots $होगा।ix)$ l^2 + m^2 + n^2 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots $, जहाँ$ l, m, n $किसी रेखा की दिक कोज्याएँ हैं।x) यदि$ \vec{a} = \vec{b} $हो तो ये दोनों$ \dots \dots \dots \dots \dots \dots $कहलाते हैं।xi)$ \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} $हो तो$ (x, y, z) $सदिश$ \vec{r} $के$ \dots \dots \dots \dots \dots \dots $कहलाते हैं। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading"><strong>प्रश्न 5. एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिये।</strong></h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> i) दो सदिशों$ \vec{a} $और$ \vec{b} $के लिए त्रिभुज असमिका लिखिए।ii) सदिश$ \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} $के अनुदिश एक मात्रक सदिश लिखिए।iii) सदिश$ \vec{b} = 2\hat{i} – 7\hat{j} + 4\hat{k} $का परिमाण ज्ञात कीजिए।iv) क्या दो सदिशों के योग के लिए क्रम-विनिमेयता का पालन होता है?v)$ 3\hat{i} + 4\hat{j} $की दिशा में इकाई सदिश क्या होगा?vi)$ \hat{i} – 3\hat{j} + \sqrt{15}\hat{k} $का मापांक क्या है?vii) यदि$ \vec{OP} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} $हो तो सदिश$ \vec{OP} $की लम्बाई क्या होगी।viii)$ \hat{i} \times (\hat{j} \times \hat{k}) $का मान क्या है?ix)$ \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} $की दिशा में इकाई सदिश होगा।x)$ a\hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k} $व$ 3\hat{i} + 6\hat{j} – 5\hat{k} $परस्पर लम्बवत हो तो$ a $का मान होगा।xi) यदि$ \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} $हो तो$ \vec{a} \cdot \vec{a} $का मान क्या होगा।xii)$ 6\hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k} $की दिक कोज्याएँ क्या होगी।xiii) सदिश बीजगणित में विस्थापन किस प्रकार की राशि है। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading"><strong>प्रश्न क्रमांक 6 -</strong></h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> 1) सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा दीजिये।2) मात्रक सदिश की परिभाषा दीजिये।3) सदिशों के सदिश गुणनफल की परिभाषा दीजिये।4)$ x, y, z $का मान ज्ञात करो यदि सदिश$ \vec{a} = (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) $तथा$ \vec{a} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) $समान सदिश हैं।5) सिद्ध करो$ \hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 $6) सिद्ध करो$ \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} $7) सिद्ध करो$ \hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0 $8) सिद्ध करो$ \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k} $9) सदिश$ \vec{a} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) $के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिये।10)$ (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) $की दिक कोज्याएँ ज्ञात करो।11) यदि$ \|\vec{a}\| = 1, \|\vec{b}\| = 2 $तथा$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 $हो तो इसके बीच का कोण ज्ञात करो।12) यदि$ \vec{a} = (\hat{i} – 7\hat{j} + 7\hat{k}) $तथा$ \vec{b} = (3\hat{i} – 2\hat{j} + 2\hat{k}) $हो तो$ \|\vec{a} \times \vec{b}\| $का मान ज्ञात करो।13) सदिशों के अदिश गुणनफल का क्रमविनिमेय नियम सिद्ध करो। अर्थात$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $14) सिद्ध करो$ \vec{a} \times \vec{b} = – (\vec{b} \times \vec{a}) $15) यदि$ \vec{a} = 5\hat{i} – \hat{j} – 3\hat{k} $और$ \vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} – 5\hat{k} $हो तो सिद्ध करो कि$ (\vec{a} + \vec{b}) $और$ (\vec{a} – \vec{b}) $लम्बवत हैं।16) सदिश$ \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k} $का सदिश$ \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} $पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिये।17) यदि$ \|\vec{a}\| = 2, \|\vec{b}\| = 3 $तथा$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 $हो तो$ \|\vec{a} – \vec{b}\| $का मान ज्ञात करो।18)$ (\hat{i} + \hat{j}) $पर सदिश$ (\hat{i} – \hat{j}) $का प्रक्षेप ज्ञात कीजिये।19)$ (3\vec{a} – 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 7\vec{b}) $का मान ज्ञात करो।20) यदि$ \vec{a} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) $और$ \vec{b} = (3\hat{i} + 5\hat{j} – 2\hat{k}) $हो तो$ \|\vec{a} \times \vec{b}\| $का मान ज्ञात करो। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:paragraph --> <strong>21)</strong>$ x, y $और$ z $के मान ज्ञात कीजिए यदि सदिश$ \vec{a} = x\hat{i} + 2\hat{j} + z\hat{k} $और$ \vec{b} = 2\hat{i} + y\hat{j} + \hat{k} $समान हैं।<strong>22)</strong> सदिशों$ \vec{a} = \hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k} $और$ \vec{c} = \hat{i} – 6\hat{j} – 7\hat{k} $का योगफल ज्ञात कीजिए।<strong>23)</strong> दर्शाइये कि सदिश$ 2\hat{i} – 3\hat{j} + 4\hat{k} $और$ -4\hat{i} + 6\hat{j} – 8\hat{k} $संरेख हैं।<strong>24)</strong> सदिश$ \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} $और$ 3\hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k} $के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।<strong>25)</strong> दो सदिशों$ \vec{a} $तथा$ \vec{b} $के परिमाण क्रमशः$ \sqrt{3} $एवं$ 2 $हैं और$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6} $है तो$ \vec{a} $तथा$ \vec{b} $के बीच कोण ज्ञात कीजिए।<strong>26)</strong> सदिश$ -\hat{i} + \hat{j} – \hat{k} $की दिक कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।<strong>27)</strong> सदिश$ 5\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k} $के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात करो जिसका परिमाण$ 8 $इकाई है।<strong>28)</strong>$ x $का मान ज्ञात करो यदि$ x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) $एक इकाई सदिश है।<strong>29)</strong> यदि$ \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} – \hat{j} + 3\hat{k} $और$ \vec{c} = \hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k} $हो तो वेक्टर$ 2\vec{a} – \vec{b} + 3\vec{c} $के समान्तर मात्रक सदिश ज्ञात कीजिये।<strong>30)</strong> दर्शाइये कि सदिश$ \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} $अक्षों$ \vec{OX}, \vec{OY} $तथा$ \vec{OZ} $के साथ बराबर झुका हुआ है।<strong>31)</strong> दो बिन्दुओं$ \text{P}(2, 3, 4) $तथा$ \text{Q}(4, 1, -2) $को मिलाने वाले सदिश के मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।<strong>32)</strong> दर्शाइये कि बिन्दु$ \text{A}, \text{B} $और$ \text{C} $जिनके स्थिति सदिश क्रमशः$ \vec{a} = (3\hat{i} – 4\hat{j} – 4\hat{k}), \vec{b} = (2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}) $और$ \vec{c} = (\hat{i} – 3\hat{j} – 5\hat{k}) $हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।<strong>34)</strong>$ \hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k} $और$ 3\hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k} $के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।<strong>35)</strong> सदिश$ \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} $का सदिश$ 7\hat{i} – \hat{j} + 8\hat{k} $पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिये।<strong>36)</strong> दर्शाइये कि बिन्दु$ \text{A}(1, 2, 7), \text{B}(2, 6, 3) $और$ \text{C}(3, 10, -1) $संरेख हैं।<strong>37)</strong> दर्शाइये कि सदिश$ 2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}, \hat{i} – 3\hat{j} – 5\hat{k} $और$ 3\hat{i} – 4\hat{j} – 4\hat{k} $एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।<strong>38)</strong> यदि$ \vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} $और$ \vec{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} – 2\hat{k} $तो$ \|\vec{a} \times \vec{b}\| $ज्ञात कीजिए।<strong>39)</strong> उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ$ \vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k} $और$ \vec{b} = \hat{i} – \hat{j} + \hat{k} $द्वारा दी गई है।<strong>40)</strong>$ x $का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए$ x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) $एक मात्रक सदिश है।<strong>42)</strong> एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष बिन्दु$ \text{A}(1, 1, 1), \text{B}(1, 2, 3) $और$ \text{C}(2, 3, 1) $हैं।<strong>43)</strong> सदिश$ (\vec{a} + \vec{b}) $और$ (\vec{a} – \vec{b}) $में से प्रत्येक के लम्बवत मात्रक सदिश ज्ञात करो जहाँ$ \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} $एवं$ \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} $<strong>44)</strong> एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो जिसके शीर्ष बिन्दु$ \text{A}(1, 1, 1), \text{B}(1, 2, 3) $और$ \text{C}(2, 3, 1) $हैं।<strong>45)</strong>$ \lambda $और$ \mu $ज्ञात करो यदि$ (2\hat{i} + 6\hat{j} + 27\hat{k}) \times (\hat{i} + \lambda\hat{j} + \mu\hat{k}) = \vec{0} $हो।<strong>50)</strong> एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो जिसकी संलग्न भुजाएँ$ \vec{a} = (\hat{i} – 3\hat{j} + \hat{k}) $तथा$ \vec{b} = (2\hat{i} – 7\hat{j} + \hat{k}) $द्वारा परिभाषित है।<strong>51)</strong> यदि एक मात्रक सदिश$ \vec{a} $,$ \hat{i} $के साथ$ \frac{\pi}{3} $,$ \hat{j} $के साथ$ \frac{\pi}{4} $और$ \hat{k} $के साथ एक न्यूनकोण$ \theta $बनाता है तो$ \theta $का मान ज्ञात करो।<strong>52)</strong> माना$ \vec{a} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}), \vec{b} = (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}) $और$ \vec{c} = (c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}) $हो तब सिद्ध करो$ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} $<strong>53)</strong> माना$ \|\vec{a}\|=3, \|\vec{b}\|=4, \|\vec{c}\|=5 $और इनमें से प्रत्येक अन्य दो सदिशों के योगफल पर लम्बवत है तो$ \|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\| $का मान ज्ञात करो।<strong>54)</strong> बिन्दुओं$ \text{P}(\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}) $और$ \text{Q}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) $को मिलाने वाली रेखा को$ 2 : 1 $में (i) अंतः और (ii) बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु$ \text{R} $का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिये।<strong>55)</strong> बताइये कि दिये गये तीनों सदिश मात्रक सदिश हैं तथा ये परस्पर एक दूसरे के लम्बवत हैं।$ \frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}), \frac{1}{7}(3\hat{i} – 6\hat{j} + 2\hat{k}), \frac{1}{7}(6\hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k}) $<strong>56)</strong> यदि$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $मात्रक सदिश इस प्रकार है कि$ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} $तब$ \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} $का मान ज्ञात करो। <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading"><strong>उत्तर :- (अध्याय 10)</strong></h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading">प्रश्न क्रमांक-1</h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> i) cii) aiii) div) bv) cvi) bvii) dviii) cix) cx) bxi) axii) bxiii) axiv) axv) axvi) cxvii) dxviii) bxix) bxx) bxxi) axxii) cxxiii) dxxiv) b <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading">प्रश्न क्रमांक-2</h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> i) असत्यii) सत्यiii) असत्यiv) सत्यv) सत्यvi) सत्यvii) सत्यviii) सत्यix) असत्यx) असत्यxi) सत्यxii) सत्यxiii) सत्यxiv) सत्य <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading">प्रश्न क्रमांक-3</h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> i) bii) aiii) div) cv) fvi) evii) hviii) g <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading">प्रश्न क्रमांक-4</h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> i)$ \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| $ii)$ \vec{0} $iii)$ \|\vec{AB}\| $iv)$ \leq $v)$ 0 $vi)$ \lambda \vec{b} $vii)$ \vec{0} $viii)$ \pi $ix)$ 1 $x) समान सदिशxi) घटक <!-- /wp:paragraph --> <!-- wp:separator --> <hr class="wp-block-separator has-alpha-channel-opacity"/> <!-- /wp:separator --> <!-- wp:heading {"level":3} --> <h3 class="wp-block-heading">प्रश्न क्रमांक-5</h3> <!-- /wp:heading --> <!-- wp:paragraph --> i)$ \|\vec{a} + \vec{b}\| \leq \|\vec{a}\| + \|\vec{b}\| $ii)$ \frac{\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{6}} $iii)$ \sqrt{62} $iv) हाँv)$ \frac{1}{5}(3\hat{i} + 4\hat{j}) $vi)$ 5 $vii)$ \sqrt{3} $viii)$ \hat{i} $ix)$ \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) $x)$ 9 $xi)$ 6 $xii)$ \frac{6}{7}, \frac{2}{7}, -\frac{3}{7}$ xiii) सदिश Leave a Comment Cancel reply Comment Name Email Website Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment. 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अध्याय-10 सदिश बीजगणित

स्मरणीय तथ्य (Memorable Facts)

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनिए (Choose the correct option)

प्रश्न-2 निम्नलिखित में से सत्य/असत्य लिखिए।

प्र. 3. सही जोड़ी बनाइये –

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