MP Board 12th Physics Application of Gauss Law :गाउस नियम के अनुप्रयोग

MP Board 12th Physics Application of Gauss Law गाउस नियम के अनुप्रयोग

MP Board 12th Physics Application of Gauss Law: गाउस नियम एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग सममिति वाले निकायों के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की गणना करने के लिए किया जाता है। यहाँ इसके तीन प्रमुख अनुप्रयोग दिए गए हैं।

1. अनंत लंबाई के एकसमान आवेशित सीधे तार के कारण विद्युत क्षेत्र

आइए एक अनंत लंबाई के सीधे तार पर विचार करें जिस पर एकसमान रैखिक आवेश घनत्व λ है। इस तार के कारण किसी बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए, जो तार से r दूरी पर है, हम एक गाउसीय पृष्ठ का निर्माण करते हैं।

गाउसीय पृष्ठ:

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एक बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ की कल्पना करें जिसकी लंबाई l और त्रिज्या r है, और जिसका अक्ष आवेशित तार के संपाती है।

फ्लक्स की गणना:

इस बेलन के तीन भाग हैं: दो समतल वृत्ताकार सिरे (end caps) और एक वक्रित पार्श्व पृष्ठ (curved lateral surface)।

समतल सिरों से फ्लक्स: इन सिरों पर, विद्युत क्षेत्र E और क्षेत्रफल सदिश dS एक दूसरे के लंबवत होते हैं (90∘ का कोण)। इसलिए, E⋅dS=EdScos(90∘)=0। दोनों सिरों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होता है।
वक्रित पार्श्व पृष्ठ से फ्लक्स: इस पृष्ठ पर, विद्युत क्षेत्र E और क्षेत्रफल सदिश dS दोनों एक ही दिशा में होते हैं (त्रिज्या के अनुदिश बाहर की ओर)। इसलिए, E⋅dS=EdScos(0∘)=EdS।बेलन के वक्रित पृष्ठ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स है:ϕ=∫EdS=E∫dS=E(2πrl)

गाउस नियम का अनुप्रयोग:

गाउस नियम के अनुसार, फ्लक्स पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश q का ϵ01 गुना होता है।

इस बेलन के अंदर का आवेश q=λl है।

$\phi = \frac{q}{\epsilon_0} = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$

अब, दोनों फ्लक्स समीकरणों को बराबर करने पर:

E(2πrl)=ϵ0λl

E=2πϵ0rλ

यह विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक है, जो तार से दूरी r के व्युत्क्रमानुपाती है।

2. अनंत समतल एकसमान आवेशित चादर के कारण विद्युत क्षेत्र

आइए एक अनंत समतल चादर पर विचार करें जिस पर एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व σ है। इस चादर के कारण किसी बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम एक बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ का निर्माण करते हैं।

गाउसीय पृष्ठ:

एक बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ की कल्पना करें जिसका अक्ष चादर के लंबवत है। बेलन की लंबाई 2r है, और यह चादर के आर-पार जाती है, जिससे चादर के दोनों तरफ r दूरी पर बिंदु P स्थित है।

फ्लक्स की गणना:

इस बेलन के तीन भाग हैं: दो समतल वृत्ताकार सिरे (end caps) और एक वक्रित पार्श्व पृष्ठ।

वक्रित पार्श्व पृष्ठ से फ्लक्स: इस पृष्ठ पर, विद्युत क्षेत्र E चादर से लंबवत बाहर की ओर है, जबकि क्षेत्रफल सदिश dS वक्रित पृष्ठ के अनुदिश है। इसलिए, दोनों के बीच का कोण 90∘ है, और इस पृष्ठ से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य होता है।
समतल सिरों से फ्लक्स: इन सिरों पर, विद्युत क्षेत्र E और क्षेत्रफल सदिश dS एक ही दिशा में होते हैं। दोनों सिरों से कुल फ्लक्स:ϕ=∫बायाँ सिराE⋅dS+∫दायाँ सिराE⋅dSϕ=E∫dS+E∫dS=2EAजहाँ A प्रत्येक सिरे का क्षेत्रफल है।

गाउस नियम का अनुप्रयोग:

बेलन के अंदर का आवेश q=σA है।

गाउस नियम के अनुसार:

$\phi = \frac{q}{\epsilon_0} = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}$

दोनों फ्लक्स समीकरणों को बराबर करने पर:

2EA=ϵ0σA

E=2ϵ0σ

यह विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक है, जो चादर से दूरी पर निर्भर नहीं करता।

3. एकसमान आवेशित पतले गोलीय खोल के कारण विद्युत क्षेत्र

एक पतले गोलीय खोल पर विचार करें जिसकी त्रिज्या R है और जिस पर एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व σ है। इस खोल के केंद्र पर कुल आवेश q है। हम इसके कारण विद्युत क्षेत्र को दो स्थितियों में ज्ञात करते हैं।

स्थिति 1: जब बिंदु खोल के बाहर हो (r>R)

एक ऐसे गोलीय गाउसीय पृष्ठ की कल्पना करें जिसकी त्रिज्या r है और जो गोलीय खोल के संपाती है। गाउस नियम के अनुसार:

$\phi = \int \vec{E} \cdot \vec{dS} = \frac{q}{\epsilon_0}$